1905 - Einstein 光電效應#

案件摘要#

1905 年（奇蹟之年），Einstein 把 Planck 的 \(h\nu\) 從數學手段升級為實體粒子——光量子（光子），一舉解釋了光電效應的全部謎團，並因此獲 1921 年諾貝爾獎。

前因 -- 為什麼會有這個案子#

1887 年 Hertz 在驗證電磁波的實驗中意外發現：紫外光照在電極上更容易產生火花——光電效應首次現身。
1902 年 Lenard 精確測量發現：出射電子能量與光強度無關，只與頻率有關。
經典波動理論（光是連續電磁波）預測完全相反，三大矛盾無法調和。

線索與推理 -- 數學式、程式、理論#

線索：實驗現象與經典理論的三個矛盾#

實驗事實	經典波動理論預測	矛盾
(1) 電子動能只依賴頻率 \(\nu\)	動能應依賴光強度	強度換不到能量
(2) 存在截止頻率 \(\nu_0\) ， \(\nu < \nu_0\) 時無論多強都無電子	任何頻率，只要時間夠久、強度夠大，能量累積足以打出電子	不存在「蓄能量」機制
(3) 電子發射無時間延遲（ \(< 10^{-9}\) s）	弱光下能量累積需數小時	立即發射無法解釋

推理一：光量子假說#

Einstein 的關鍵洞察：Planck 的量子化不只適用於腔壁振子，光本身就是量子化的。一束光是一顆顆能量為

\[ E = h\nu \]

的光量子。一顆光子一次性把全部能量交給一顆電子——所以沒有時間延遲、強度只決定光子數目（電子數目），與單顆電子能量無關。矛盾 (1)(2)(3) 全部一次解決。

推理二：Einstein 光電方程#

電子脫離金屬需付出能量代價 \(\phi\) （功函數，work function）。能量守恆給出：

\[ K_{max} = h\nu - \phi \]

由 截止頻率 定義：

\[ \nu_0 = \frac{\phi}{h} \]

\(\nu > \nu_0\) ：有電子， \(K_{max}\) 隨 \(\nu\) 線性增加，斜率為 \(h\) 。
\(\nu < \nu_0\) ：無電子，與強度無關。
\(h\nu = \phi\) （臨界）： \(K_{max} = 0\) 。

實驗上以遏止電壓 \(V_s\) 測量： \(e V_s = K_{max} = h\nu - \phi\) ，即

\[ V_s = \frac{h}{e}\nu - \frac{\phi}{e} \]

\(V_s\) – \(\nu\) 圖是一條直線，**斜率 = \(h/e\) **——這是測量 \(h\) 最乾淨的方法。

各金屬功函數（eV）：銫 2.1、鈉 2.3、鋅 4.3、銅 4.7、鉑 6.35。可見光（1.6–3.3 eV）只能打出低功函數金屬的電子，紫外線（> 3.3 eV）則幾乎都能。

推理三：光子的動量#

1909 年 Einstein 進一步指出光子也帶動量；1916–1923 由 Compton 效應完全證實。由相對論能量動量關係 \(E^2 = (pc)^2 + (m c^2)^2\) 與 \(m = 0\) ：

\[ p = \frac{E}{c} = \frac{h\nu}{c} = \frac{h}{\lambda} \]

這是德布羅意物質波 \(\lambda = h/p\) 的先聲。

程式驗證：Millikan 實驗模擬#

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

h = 6.626e-34; e = 1.602e-19
phi = 4.3 * e          # 鋅的功函數 (J)
nu0 = phi / h          # 截止頻率

nu = np.linspace(0.5e15, 1.5e15, 200)
Vs = np.where(nu >= nu0, (h*nu - phi)/e, 0)   # 遏止電壓

plt.figure(figsize=(7,5))
plt.plot(nu*1e-15, Vs, lw=2)
plt.axvline(nu0*1e-15, ls='--', c='r', label=f'cutoff $\\nu_0$ = {nu0*1e-15:.2f} PHz')
plt.xlabel(r'$\nu$ ($10^{15}$ Hz)'); plt.ylabel(r'$V_s$ (V)')
plt.title('Stopping voltage vs frequency (slope = h/e)')
plt.legend(); plt.show()

# 由斜率反推 h
nu_pts = np.linspace(1.2e15, 1.5e15, 10)
Vs_pts = (h*nu_pts - phi)/e
slope = np.polyfit(nu_pts, Vs_pts, 1)[0]
print(f"推得 h = {slope*e:.3e} J·s  (真值 6.626e-34)")

執行結果： \(\nu < \nu_0\) 時 \(V_s = 0\) ，之後線性上升；由斜率反推 \(h\) 與真值一致。

結案 -- 後果與影響#

Millikan（1916） 十年實驗企圖推翻 Einstein 方程，結果反而精確證實之：斜率給出 \(h\) ，誤差 < 1%。Millikan 自己得 1923 諾貝爾獎。
Einstein 得 1921 年諾貝爾獎——不是因相對論，而是「發現光電效應定律」。
光子概念孕育了 Compton 效應（1923）、德布羅意物質波（1924）、量子電動力學（1927–）。
技術遺產：光電倍增管、太陽能電池、數位相機感光元件（CMOS/CCD）皆基於光電效應。
波粒二象性從此成為量子力學的核心思想：光既是波（干涉、繞射）也是粒子（光電、Compton）。

關鍵人物與文獻#

A. Einstein：Annalen der Physik 17, 132 (1905)〈關於光的產生和轉化的一個試探性觀點〉；諾貝爾獎 1921。
H. Hertz：Annalen der Physik 33, 983 (1887)（首次發現）。
P. Lenard：Annalen der Physik 8, 149 (1902)；諾貝爾獎 1905。
R. A. Millikan：Phys. Rev. 7, 355 (1916)；諾貝爾獎 1923。