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1922 - Stern–Gerlach 實驗#

案件摘要#

1922 年，Stern 與 Gerlach 讓銀原子束通過非均勻磁場，發現原子束分裂為兩條而非連續分佈——「空間量子化」首次被直接觀測，但當時無人能解釋為何只有兩條，這個謎為 1925 年電子自旋鋪路。

前因 -- 為什麼會有這個案子#

  • 1913 年 Bohr 模型雖成功解釋氫光譜，但「電子軌道在空間中是否取離散方向」純屬假設。
  • Sommerfeld（1916） 引入空間量子化 \(m_l\) 量子數解釋 Zeeman 效應——但從未被直接觀測。
  • Stern（1921） 設計實驗：用銀原子束檢驗空間量子化，並測量 Bohr 磁子的真偽。
  • 經典物理預測：原子磁矩方向隨機連續分佈，原子束應展開為連續帶。

線索與推理 -- 數學式、程式、理論#

線索一：磁矩與非均勻磁場中的力#

原子帶有磁矩 \(\vec{\mu}\) （來自電子軌道運動）。在均勻磁場中只受力矩（進動），無平移力；但在非均勻磁場中，磁矩不同取向受到不同大小的力：

\[ F_z = \nabla(\vec{\mu} \cdot \vec{B})\Big|_z \approx \mu_z \frac{\partial B_z}{\partial z} \]

其中 \(\mu_z\) 是磁矩在 \(z\) 方向的分量。若 \(\mu_z\) 連續分佈 → 原子束連續展開；若 \(\mu_z\) 離散 → 原子束分裂為分立線。

Bohr 磁子：

\[ \mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e} = 9.274\times 10^{-24}\,\text{J/T} \]

線索二：Stern–Gerlach 裝置與驚人結果#

裝置：銀原子在爐中蒸發 → 狹縫準直成束 → 通過強度大、梯度陡的非均勻磁場（ \(\partial B_z/\partial z \sim 10\,\text{T/m}\) ，磁場長 3.5 cm）→ 沉積在冷凝板上（玻璃板上的銀膜呈可見影像）。

實驗結果（1922 年 2 月）： - 經典預測：連續的橢圓形銀斑。 - 實際觀測：兩條清晰分離的銀線！

偏移量估算：原子在磁場中飛行時間 \(t = L/v\) ，橫向位移

\[ z = \frac{1}{2}\frac{F_z}{m_{Ag}} t^2 = \frac{1}{2}\frac{\mu_z}{m_{Ag}}\frac{\partial B_z}{\partial z}\left(\frac{L}{v}\right)^2 \]

代入 \(\mu_z \sim \mu_B\) 、 \(v \sim 500\,\text{m/s}\) 、 \(L \sim 3.5\,\text{cm}\) ，得 \(z \sim 0.1\,\text{mm}\) ——恰好可觀測。實驗測得的分裂量也證實磁矩大小約為 \(1\,\mu_B\) （Bohr 磁子存在）。

推理一：空間量子化被證實，但藏著謎#

由 Sommerfeld 量子化，軌道角動量 \(l\) 的 \(z\) 分量取 \(2l+1\) 個值：

\[ \mu_z = -m_l \mu_B, \quad m_l = -l, -l+1, \dots, l \]

問題：銀原子基態應該是 \(l = 1\) （依當時理解），預測 \(2(1)+1 = 3\) 條線（ \(m_l = -1, 0, +1\) ）——但實驗只有兩條！

推理二： \(l = 0\) 卻有兩條線之謎#

Stern 與 Gerlach 當時無法解釋。謎底要等到量子力學完備之後：

  • 依 Schrödinger 方程（1926） + Pauli 不相容原理，銀原子 47 個電子中，46 個填滿內殼層（軌道角動量兩兩抵消），最外層 \(5s\) 電子處於 ** \(l = 0\) ** 態——軌道磁矩為零， \(m_l\) 只有 1 個值（0），按軌道理論應只有一條線（不偏折）！
  • 實驗卻有兩條——唯一解釋：這個未配對電子擁有一種全新的、內禀的自由度——電子自旋 \(s = 1/2\) ，其 \(z\) 分量只有兩個值：
\[ m_s = \pm\frac{1}{2} \;\Rightarrow\; \mu_z = \pm g_s \mu_B m_s \approx \pm\mu_B \]

（電子 \(g\) 因子 \(g_s \approx 2\) ，故自旋磁矩大小恰為一個 Bohr 磁子。）兩條線 = 自旋向上 vs 向下。

1925 年 Uhlenbeck 與 Goudsmit 提出電子自旋假說，Pauli 以二分量波函數（Pauli 矩陣）形式化——Stern–Gerlach 的謎團結案。

程式驗證：經典連續 vs 量子兩條分線#

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

muB = 9.274e-24
mAg, L, dBdz = 1.79e-25, 0.035, 10.0
v = np.random.normal(500, 50, 20000)      # 原子速度分佈
t = L / v
z_classic = 0.5 * (muB*np.random.uniform(-1,1,len(v))/mAg) * dBdz * t**2
z_quantum = 0.5 * (np.random.choice([-1,1],len(v))*muB/mAg) * dBdz * t**2

plt.figure(figsize=(8,4))
plt.subplot(1,2,1)
plt.hist(z_classic*1e3, bins=80, color='gray')
plt.title('Classical: continuous band'); plt.xlabel('z (mm)')
plt.subplot(1,2,2)
plt.hist(z_quantum*1e3, bins=80, color='steelblue')
plt.title('Quantum: two spots (spin up/down)'); plt.xlabel('z (mm)')
plt.tight_layout(); plt.show()

執行結果：左圖（經典隨機 \(\mu_z\) ）是單一連續帶；右圖（ \(\mu_z = \pm\mu_B\) ）分裂為兩條——與 Stern–Gerlach 實驗影像一致。

結案推理：量子測量的原型#

以量子力學語言重述：SG 實驗是對自旋態的測量。測量算符 \(S_z\) 的本徵值只有 \(\pm\hbar/2\) ，任何輸入態都被「投影」到兩個本徵態之一：

\[ |\psi\rangle = \alpha|{\uparrow}\rangle + \beta|{\downarrow}\rangle \;\xrightarrow{\;S_z \text{ 測量}\;}\; |{\uparrow}\rangle \;(\text{機率 } |\alpha|^2) \;\text{或}\; |{\downarrow}\rangle \;(\text{機率 } |\beta|^2) \]

級聯 SG 實驗（再串一個旋轉 90° 的磁場）更顯示測量的不可逆投影性——這成為量子測量問題與量子資訊（量子位元 qubit \(|0\rangle, |1\rangle\) ）的原型。

結案 -- 後果與影響#

  • 空間量子化首次被直接證實；「兩條線之謎」由 1925 電子自旋結案。
  • 自旋成為一切粒子（電子、質子、中子）的基本性質；Pauli 不相容原理（1925）→ 元素週期表的量子解釋 → 化學鍵理論。
  • Stern–Gerlach 裝置成為量子測量的教科書原型：qubit 的物理實現、量子退相干實驗、分子束技術皆源於此。
  • Stern 得 1943 年諾貝爾獎（分子束方法與質子磁矩）；Gerlach 因二戰角色未獲獎。
  • 深遠影響：SG 實驗證明「測量會改變系統」——哥本哈根詮釋的核心證據。

關鍵人物與文獻#

  • O. Stern & W. Gerlach：Zeitschrift für Physik 8, 110 (1922)；9, 349 (1922)；Stern 諾貝爾獎 1943。
  • G. Uhlenbeck & S. Goudsmit：Naturwissenschaften 13, 953 (1925)（電子自旋假說）。
  • W. Pauli：Zeitschrift für Physik 31, 765 (1925)（不相容原理）；諾貝爾獎 1945。
  • A. Sommerfeld：空間量子化（1916）。