1925-Heisenberg 矩陣力學#

案件摘要#

1925 年 6 月，24 歲的 Werner Heisenberg 為躲避花粉症獨自到北海的 Helgoland 島，決心拋棄電子軌道等不可觀測的概念，只用可觀測量（躍遷頻率與強度）重建力學。7 月與 Born、Jordan 合作完成「三人論文」，創立矩陣力學——第一套完整、邏輯自洽的量子力學。

前因 -- 為什麼會有這個案子#

Bohr 模型與 Sommerfeld 的舊量子論在氫原子之外處處碰壁（氦原子、反常 Zeeman 效應均失敗）。
電子軌道無法觀測，躍遷輻射的頻率與強度才是實驗事實——「理論應只建立在可觀測量之上」是 Heisenberg 的方法論信念（深受 Einstein 影響）。
Kramers 與 Heisenberg 1925 年初的色散理論工作，已出現「躍遷振幅的乘法組合」的雛形。
頻率組合原則（Ritz, 1908）早已指出：譜線頻率滿足 \(\nu_{nm} = (E_n - E_m)/h\) 的組合規則。

線索與推理 -- 數學式、程式、理論#

Umdeutung 論文#

1925 年 7 月，Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen（論運動學與力學關係的量子理論重新詮釋）發表。核心思想：以「躍遷振幅」 \(X(n,m) \sim e^{i\omega_{nm} t}\) 取代經典座標 \(x(t)\) ，其中

\[ \omega_{nm} = \frac{E_n - E_m}{\hbar} \]

滿足頻率組合原則 \(\omega_{nm} = \omega_{nk} + \omega_{km}\) 。

乘法規則的發現#

經典中兩個量的乘積對應 Fourier 分量的乘積；量子版如何相乘？Heisenberg 提出：

\[ X(n,m) = \sum_k X(n,k)\,X(k,m) \]

這正是矩陣乘法的定義！Heisenberg 當時不知道矩陣這個數學物件（矩陣代數當時是純數學冷門領域），只覺得「這種乘法很奇怪」。

Born–Jordan–Heisenberg 三人論文#

Max Born 意識到這是矩陣，與 Jordan、Heisenberg 於 1925 年底發表 Zur Quantenmechanik II，建立完整形式體系：

座標與動量是無窮維矩陣 \(Q, P\) ；
運動方程 \(i\hbar\dot{Q} = [Q, H]\) ， \(i\hbar\dot{P} = [P, H]\) （Heisenberg 運動方程）；
最深處的核心關係——正則對易關係：

\[ QP - PQ = i\hbar I \]

矩陣乘法不可交換： \(QP \neq PQ\) 。這是量子世界與經典世界最本質的差異，日後直接引出 Heisenberg 測不準原理 \(\Delta x\,\Delta p \geq \hbar/2\) 。

諧振子能階的矩陣力學解#

對諧振子 \(H = \frac{P^2}{2m} + \frac{m\omega^2 Q^2}{2}\) ，定義升降算符（矩陣）：

\[ a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(Q + \frac{i}{m\omega}P\right), \qquad a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(Q - \frac{i}{m\omega}P\right) \]

由對易關係可推得 \([a, a^\dagger] = I\) 、 \(H = \hbar\omega\left(a^\dagger a + \frac{1}{2}\right)\) ，能階為

\[ E_n = \hbar\omega\left(n + \frac{1}{2}\right) \]

零點能量 \(\frac{1}{2}\hbar\omega\) 自然浮現——這是舊量子論完全無法給出的。

Python numpy 驗證矩陣力學#

import numpy as np

N = 6                                      # 截斷到 6 個能階
n = np.arange(1, N)
a  = np.diag(np.sqrt(n), 1)                # 降算符矩陣
ad = np.diag(np.sqrt(n), -1)               # 升算符矩陣
I  = np.eye(N)

print("[a, a†] = I ?", np.allclose(a @ ad - ad @ a, I))

hbar, omega, m = 1.0, 1.0, 1.0
Q = np.sqrt(hbar/(2*m*omega)) * (a + ad)
P = -1j * np.sqrt(hbar*m*omega/2) * (a - ad)
H = (P @ P)/(2*m) + (m*omega**2)*(Q @ Q)/2

E = np.diag(H).real[:5]
print("E_n =", E)                          # 期望 [0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5]·ħω
print("E_n = ħω(n+1/2) ?", np.allclose(E, hbar*omega*(np.arange(5)+0.5)))
print("QP - PQ = iħI ?", np.allclose(Q @ P - P @ Q, 1j*hbar*I))

結案 -- 後果與影響#

判決：量子力學的第一套完整形式誕生。矩陣力學 = 可觀測量 + 不可交換代數。
1926 年 Schrödinger 波動力學問世後，Dirac 與 Schrödinger 自己證明兩者數學等價——矩陣力學是波動力學在能量表象的化身。
對易關係 \([Q,P]=i\hbar I\) 引出測不準原理、EPR 爭論、以及整個量子測量理論。
Heisenberg 獲 1932 年諾貝爾物理獎；Born 遲至 1954 年才因統計詮釋獲獎。
現代應用：矩陣力學形式是量子計算（量子位元態空間與么正演化）的直接前身。

關鍵人物與文獻#

Werner Heisenberg（1901–1976），哥廷根/哥本哈根學派。
Max Born（1882–1970）與 Pascual Jordan（1902–1980）。
W. Heisenberg, Z. Phys. 33, 879 (1925)（Umdeutung 論文）。
M. Born & P. Jordan, Z. Phys. 34, 858 (1925)；M. Born, W. Heisenberg & P. Jordan, Z. Phys. 35, 557 (1926)（三人論文）。