跳轉到

1738 -- Daniel Bernoulli 聖彼得堡悖論：風險厭惡的誕生#

案件描述#

1738 年，瑞士數學家 Daniel Bernoulli 在聖彼得堡科學院發表《風險測度的新理論之闡述》（Specimen theoriae novae de mensura sortis）。他解決了一個困擾數學界 25 年的悖論：

聖彼得堡悖論：一個「期望收益無限大」的賭局，沒有人願意付超過幾十塊錢去玩——為什麼？

他的答案創立了一個全新的概念：期望效用（expected utility）與風險厭惡（risk aversion）。這是 300 年後 Markowitz（1952）與所有現代金融理論的心理學基礎。

前因：無限大的期望#

  • 1713 年，Daniel 的堂哥 Nicolaus Bernoulli 在寫給 Montmort 的信中提出這個悖論：

擲銅板直到出現正面為止。若第 \(n\) 次才出現正面，贏 \(2^{n-1}\) 元。你願意付多少錢玩？

  • 數學難題：期望收益是
\[ E = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \cdot 2^{n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} = \infty \]

期望無限大——理論上應該願意付任何價錢。但任何人（包括數學家自己）只願意付 10–50 元。理論與直覺徹底矛盾。 - 線索：Daniel Bernoulli 在聖彼得堡與歐拉共事，他追問的不是「怎麼算」，而是「為什麼算出來的東西不符合人的行為」——這是從數學到心理學的跳躍。

推理過程#

線索一：價值不是金錢——是效用#

Daniel Bernoulli 的洞察：

金錢的價值不是線性的——100 元對窮人的價值遠大於對富人的價值。

他提出用「效用」（moral expectation，後世稱 utility）代替金錢本身：

\[ U(w) = \ln(w) \]

對數效用：財富越多，每一塊錢的邊際效用越小（邊際效用遞減）。

線索二：期望效用解開悖論#

用對數效用計算聖彼得堡賭局的「期望效用收益」：

\[ E[U] = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \ln(2^{n-1}) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{2^n} \ln 2 = \ln 2 < \infty \]

有限了！ 而且可以反解出「確定等值」（certainty equivalent）：

\[ CE = e^{E[U] - \ln(w_0)} \]

對中等財富的人，CE 約為 2–4 元——與人的實際意願吻合。

歷史意義：這是第一次「用一個變換（效用函數）修正期望值，使理論符合人的行為」——這正是現代行為金融與風險管理的哲學起點。

線索三：風險厭惡的數學#

對數效用的絕對風險厭惡係數（Arrow–Pratt 度量，1960 年代正式化）：

\[ A(w) = -\frac{U''(w)}{U'(w)} = \frac{1}{w} \]

解讀：財富越多，風險厭惡越低——富人比窮人更敢冒險（絕對意義上）。這解釋了： - 為什麼投資人要分散投資（風險厭惡 → 不願承受全部波動） - 為什麼保險存在（願意付確定的保費，換掉不確定的損失） - 為什麼避險有價值（見 1973-BlackScholes選擇權定價.md）

現代程式重現：聖彼得堡悖論與期望效用#

import numpy as np

def st_petersburg_payoff(n_sims=1_000_000, seed=0):
    """模擬聖彼得堡賭局：期望無限大，但中位數很小"""
    rng = np.random.default_rng(seed)
    # 幾何分配：第 n 次才出現正面的機率 = (1/2)^n
    n = rng.geometric(0.5, n_sims)          # 第一次正面出現在第 n 次
    payoff = 2.0**(n - 1)
    return payoff

payoff = st_petersburg_payoff()
print("樣本期望（有限的樣本下）:", payoff.mean())     # 隨模擬數發散
print("中位數:", np.median(payoff))                   # 1 — 大多數人只贏 1 元
print("P(payoff > 100):", (payoff > 100).mean())      # 極小 — 無限期望來自極罕見的巨大支付

# 對數效用下的確定等值
w0 = 1000
E_log = np.mean(np.log(payoff + 1e-9))
CE = w0 * np.exp(E_log)
print("確定等值（財富 1000）:", CE)   # 幾塊錢 — 符合人的實際意願

後果#

  • 期望效用理論：經 von Neumann–Morgenstern（1944）公理化，成為現代經濟學的決策理論基石。
  • Markowitz 的哲學基礎（1952，見 1952-Markowitz投資組合理論.md）：「投資人關心報酬與風險」——背後正是 Bernoulli 的風險厭惡。Markowitz 自己承認效用理論是先決條件。
  • Arrow–Pratt 風險厭惡度量（1960s）：把 Bernoulli 的直覺正式化，成為資產定價（CAPM 的風險溢價）的理論語言。
  • 保險經濟學：風險厭惡解釋了保險的需求——「願意付確定的小錢，換掉不確定的大損失」。
  • 行為金融的挑戰：Allais 悖論（1953）與 Kahneman–Tversky 的展望理論（1979）發現人的實際行為違反期望效用——「效用革命」之後的「行為革命」。
  • 期望無限大的悖論的另一條解法：現實中的賭局有上限（莊家的財富有限）——「有限莊家」版本（Buffon 也討論過）的期望值是有限的。

偵探筆記#

  • 動機：期望無限大 vs 人的實際意願的矛盾
  • 工具：對數效用、邊際效用遞減、確定等值、風險厭惡係數
  • 遺產：期望效用理論、Markowitz 的哲學基礎、保險經濟學
  • 盲點：實際人違反期望效用（Allais、展望理論）——行為金融的戰場

參考資料#

  • Bernoulli, D. (1738). Specimen theoriae novae de mensura sortis.（英譯：Sommer, L. (1954). "Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk". Econometrica.）
  • von Neumann, J., Morgenstern, O. (1944). Theory of Games and Economic Behavior.