1964 -- William Sharpe 的 CAPM：beta 的誕生#

案件描述#

1964 年 1 月，William Sharpe 在《Journal of Finance》發表《資本資產價格：風險條件下的市場均衡理論》（Capital Asset Prices）。這篇論文提出了一個簡潔到令人屏息的公式：

任何資產的期望報酬，只由一個數字——beta——決定。

這就是資本資產定價模型（Capital Asset Pricing Model, CAPM）。它把 Markowitz 的 \(n \times n\) 共變異數矩陣，壓縮成一個單因子模型。

前因：Markowitz 的計算難題#

• Markowitz（1952）要求投資人計算 \(n\) 檔資產的完整共變異數矩陣：50 檔股票需要 1,275 個共變異數項，實務上不可行。
• Markowitz 主管 Sharpe 在蘭德公司（RAND Corporation）工作時，向 Markowitz 請教博士論文題目。Markowitz 建議他把「簡化投資組合的計算」當作方向。
• 線索：Sharpe 最初的論文（1963，SIM 單指數模型）是純粹的計算簡化。但他隨後追問一個更深的問題：如果所有人都用 Markowitz 的方法投資，市場均衡時價格會長什麼樣？——這是從「個體最佳化」到「一般均衡」的跳躍。

推理過程#

線索一：市場組合與分離定理#

在均衡中，如果所有投資人都在同一條效率前緣上做選擇，則（Tobin 分離定理）：

1. 所有人都持有同一個風險資產組合——即**市場組合 \(M\) **（加權後就是市場本身）。
2. 個人只透過無風險資產 \(r_f\) 與 \(M\) 的組合比例，調整自己的風險偏好。

這條「資本配置線」是：

線索二：beta 的推導#

對任意資產 \(i\) ，在均衡中它的超額報酬只對市場超額報酬敏感：

關鍵推理：在 CAPM 均衡中，只有系統性風險（beta）有報酬，非系統性風險沒有——因為非系統性風險可以透過分散免費消除，沒有人會為可以免費消除的風險付錢。

\(\beta = 0\) 的資產只能賺無風險利率； \(\beta > 1\) 的資產報酬高於市場（也跌得更兇）。

線索三：證券市場線（SML）#

把 CAPM 畫成圖：橫軸 \(\beta\) 、縱軸 \(E[R_i]\) ，所有資產必須落在一條直線上——證券市場線。任何偏離 SML 的資產，就是被錯定價的套利機會。

現代程式重現：估計 beta#

import numpy as np

def beta_regression(asset_returns, market_returns, rf=0.0):
    """用 OLS 估計 beta:  R_i - rf = alpha + beta * (R_M - rf)"""
    y = asset_returns - rf
    x = market_returns - rf
    beta = np.cov(y, x)[0, 1] / np.var(x)
    alpha = y.mean() - beta * x.mean()
    return alpha, beta

# Jensen's alpha: 若 alpha 顯著異於 0，表示該資產擊敗 CAPM 預測
# 這正是 1968 年 Jensen 檢驗基金經理人績效的方法

後果#

• 基金績效評估革命：Jensen（1968）用 CAPM 的 alpha 檢驗基金經理人，發現絕大多數 alpha 為負——「你的基金經理人有沒有技術」從此有了科學標準（延續 Cowles 1933 的問題）。
• 指數化投資的理論基礎：CAPM 說「持有市場組合」，Bogle（1976）的 Vanguard 指數基金把它變成產品。
• 企業財務的實務標準：WACC 計算中的股權成本至今仍普遍用 CAPM 估計。
• Sharpe 獲 1990 年諾貝爾獎。
• 盲點與後續：實證發現報酬不只由 beta 決定——Fama–French 三因子模型（1993）加入規模（SMB）與價值（HML）因子；Roll 批評（1977）指出市場組合根本無法觀測。CAPM 雖然「錯了」，但作為基準模型至今無人取代。

偵探筆記#

• 動機：Markowitz 共變異數矩陣的計算不可行性
• 工具：一般均衡、分離定理、單因子線性定價
• 遺產：beta、alpha、SML、指數化投資
• 盲點：市場組合不可觀測（Roll 批評）、單因子假設的實證失敗

參考資料#

• Sharpe, W. (1964). "Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk". Journal of Finance, 19(3), 425–442.
• Sharpe, W. (1963). "A Simplified Model for Portfolio Analysis". Management Science.
• Jensen, M. (1968). "The Performance of Mutual Funds in the Period 1945–1964". Journal of Finance.