1979 -- Cox–Ross–Rubinstein 二項樹模型：定價走進每台電腦#

案件描述#

1979 年 9 月，John Cox、Stephen Ross 與 Mark Rubinstein 在《Journal of Financial Economics》發表《選擇權定價：一個簡化的方法》（Option Pricing: A Simplified Approach）。他們用一個簡單到小學生都懂的工具——二叉樹——逼近了 Black–Scholes：

把時間切成小段，每一步價格只往上跳 \(u\) 或往下跳 \(d\) ，從樹的末端倒推回來，就是選擇權價格。

這個模型讓選擇權定價離開了 Itô calculus 的象牙塔，走進每一台電腦、每一本教科書、每一個交易員的試算表。

前因：Black–Scholes 的「黑箱感」#

Black–Scholes（1973）的連續時間數學（Itô 引理、偏微分方程）對實務工作者過於抽象。
更實際的問題：美式選擇權（可以提前執行）沒有解析解——PDE 要處理自由邊界（free boundary）問題，1970 年代的計算機跑不動。
線索：Cox 與 Ross（1976）已經提出「風險中立評價」的直覺。Rubinstein 則在教學中痛感需要一個「離散、直觀、可手算」的模型。三人在 1975–1979 年間合作，最初甚至想證明 Black–Scholes「錯了」——結果反而造出了它最好的數值逼近。

推理過程#

線索一：二叉樹上的無套利#

每一步 \(\Delta t\) ，標的價格從 \(S\) 跳到 \(uS\) （機率 \(q\) ）或 \(dS\) （機率 \(1-q\) ）。一價定律要求：由 \(uS\) 、 \(dS\) 構造的無風險組合必須賺 \(r\) 。

解出風險中立機率：

\[ p = \frac{e^{r\Delta t} - d}{u - d} \]

參數選擇：令 \(u = e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}\) 、 \(d = 1/u\) （CRR 標準參數化），當 \(\Delta t \to 0\) 時二項樹收斂到幾何布朗運動——也就是 Black–Scholes 的世界。

線索二：倒推歸納#

從樹的末端（到期日）開始，支付已知 \(V_T = (S_T - K)^+\) ；每往前一步：

\[ V_t = e^{-r\Delta t}\left[p\, V_{t+\Delta t}^{up} + (1-p)\, V_{t+\Delta t}^{down}\right] \]

美式選擇權的魔法：每一步加一個「執行或繼續」的比較：

\[ V_t^{american} = \max\left(K - S_t,\; e^{-r\Delta t}[p V^{up} + (1-p) V^{down}]\right) \]

就這樣，1970 年代無解的美式選擇權定價問題被一個 max 運算解決了。

線索三：收斂的數學#

CRR 證明：當 \(n \to \infty\) （ \(\Delta t = T/n \to 0\) ），二項樹價格收斂到 Black–Scholes 價格，收斂率 \(O(1/n)\) 。中心極限定理是背後的數學引擎： \(n\) 步二項分配趨近常態分配。

現代程式重現：CRR 二項樹#

import numpy as np

def crr_call(S, K, r, sigma, T, n=1000, american=False):
    dt = T / n
    u = np.exp(sigma * np.sqrt(dt)); d = 1/u
    p = (np.exp(r*dt) - d) / (u - d)
    disc = np.exp(-r*dt)

    # 末端支付
    j = np.arange(n+1)
    ST = S * u**j * d**(n-j)
    V = np.maximum(ST - K, 0)

    # 倒推歸納
    for step in range(n-1, -1, -1):
        V = disc * (p * V[1:] + (1-p) * V[:-1])
        if american:   # 美式：每步可比較提前執行
            j = np.arange(step+1)
            S_t = S * u**j * d**(step-j)
            V = np.maximum(V, S_t - K)
    return V[0]

print(crr_call(100, 100, 0.05, 0.2, 1, n=1000))              # ≈ 10.4506 (BS 歐式)
print(crr_call(100, 100, 0.05, 0.2, 1, n=1000, american=True)) # 略大（提前執行權利金）

# 驗證收斂：n 增大時趨近 Black-Scholes 解析解

後果#

二項樹成為教科書的標準教法——所有金融碩士的第一門衍生品課都從它開始。
美式與路徑相依商品：百慕達選擇權、可轉債、可贖回債券的定價至今仍大量使用（擴展的）二項/三項樹。
教育價值：CRR 讓「風險中立評價」變得直觀——定價 = 在假想的風險中立世界裡做期望折現。
Rubinstein 後來成為選擇權教育的大師，並在 1990 年代與 Reiner 把樹模型擴展到外匯與奇異選擇權。
盲點：多維度標的的樹會組合爆炸（ \(2^d\) ），高維還是要靠蒙地卡羅（見 1977-Boyle蒙地卡羅選擇權定價.md）；且樹模型無法自然處理隨機波動率。

偵探筆記#

動機：Black–Scholes 的抽象性 + 美式選擇權無解析解
工具：二叉樹、倒推歸納、風險中立機率、中心極限定理
遺產：教科書標準、美式定價的通用方法
盲點：維度災難、隨機波動率不相容

參考資料#

Cox, J., Ross, S., Rubinstein, M. (1979). "Option Pricing: A Simplified Approach". Journal of Financial Economics, 7(3), 229–263.
Cox, J., Ross, S. (1976). "The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes". Journal of Financial Economics.