1993 -- Steven Heston 的隨機波動率模型：解開波動率微笑之謎#

案件描述#

1993 年，Steven Heston 在《Review of Financial Studies》發表《選擇權定價的隨機波動率閉式解》（A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options）。他面對的是 1987 年之後困擾市場的謎題：

為什麼 Black–Scholes 隱含波動率隨執行價呈「微笑」曲線？

答案：波動率本身也是隨機的——而且 Heston 找到了一個有閉式解（特徵函數形式）的模型。

前因：1987 年留下的微笑#

1987 年黑色星期一之前，美股選擇權的隱含波動率大致平坦（符合同一個 \(\sigma\) 的假設）。
1987 年之後，市場出現持久的「微笑」（equity smirk）：深價外賣權（OTM put）的隱含波動率遠高於價平——市場用價格投票：常態分配錯了，股價會崩、會跳。
已有的修正路線：
常數彈性變異數（CEV, Cox 1976）
跳躍擴散（Merton 1976）
ARCH/GARCH 的統計路線（1982/1986）
線索：Heston 意識到這些路線各有缺陷——他想要一個：波動率隨機、可擬合微笑、且有閉式解（能用特徵函數快速定價）的模型。

推理過程#

線索一：雙變數隨機過程#

Heston 模型：價格與方差（波動率的平方）都是隨機過程：

\[ dS_t = \mu S_t \, dt + \sqrt{v_t}\, S_t \, dW_t^{(1)} \]

\[ dv_t = \kappa(\theta - v_t) \, dt + \xi \sqrt{v_t} \, dW_t^{(2)}, \qquad dW^{(1)} dW^{(2)} = \rho \, dt \]

五個參數各司其職：

參數	意義	對應微笑的哪部分
\(\theta\)	長期方差水準	整體高度
\(\kappa\)	均值回歸速度	短端行為
\(\xi\)	方差的波動率（vol of vol）	笑的深度
\(\rho\)	價格與方差的相關	笑的歪斜（skew）

數學解讀： \(\rho < 0\) （股價跌時波動升）產生負偏斜——正是美股 smirk； \(\xi\) 越大，兩端翹得越高——正是微笑。

線索二：方差的 Feller 條件#

方差過程 \(dv = \kappa(\theta - v)dt + \xi\sqrt{v}\,dW\) 是 CIR 過程（Cox–Ingersoll–Ross 1985）——平方根項保證方差非負（可為零但撞到零時彈回），Feller 條件 \(2\kappa\theta > \xi^2\) 保證不觸零。

線索三：特徵函數與閉式解#

Heston 的殺手級技巧：歐式選擇權價格可寫成特徵函數的反傅立葉積分（用 Carr–Madan 的記號重述）：

\[ C(K) = \frac{e^{-rT}}{2}\left[S_0 - \frac{\sqrt{S_0 K}}{\pi} \int_0^\infty \mathrm{Re}\left[e^{iu\ln(S_0/K)} \varphi(u - i/2)\right] \frac{du}{u}\right] \]

其中 \(\varphi(u) = E^Q[e^{iu \ln S_T}]\) 是 \(\ln S_T\) 的特徵函數——Heston 用仿射過程理論解出 \(\varphi\) 的閉式形式（兩個 Riccati ODE 的解）。

實務意義：有了閉式特徵函數，定價只需一次數值積分——比蒙地卡羅（見 1977-Boyle蒙地卡羅選擇權定價.md）快上千倍，還能做隱含波動率校準（calibration）。

現代程式重現：Heston 定價與微笑#

import numpy as np
from scipy.integrate import quad

def heston_phi(u, S, v, kappa, theta, xi, rho, r, T):
    """Heston 特徵函數（仿射解）"""
    a = kappa*theta; b = kappa
    d = np.sqrt((rho*xi*u*1j - b)**2 + xi**2*(u**2 + u*1j))
    g = (b - rho*xi*u*1j - d) / (b - rho*xi*u*1j + d)
    C = (r*u*1j*T + a/(xi**2)*((b - rho*xi*u*1j - d)*T
         - 2*np.log((1 - g*np.exp(-d*T))/(1-g))))
    D = (b - rho*xi*u*1j - d)/(xi**2) * (1 - np.exp(-d*T)) / (1 - g*np.exp(-d*T))
    return np.exp(C + D*v + u*1j*np.log(S))

def heston_call(S, K, v, kappa, theta, xi, rho, r, T):
    """以特徵函數反積分定價"""
    f = lambda u: np.real(np.exp(-u*1j*np.log(K))
        * heston_phi(u, S, v, kappa, theta, xi, rho, r, T) / (1j*u))
    integral = 0.5 * quad(f, 0, 100)[0]
    return S - np.sqrt(S*K)/np.pi * integral + np.exp(-r*T)*K/2 * 2  # Lewis 形式簡化

# 校準：用市價隱含波動率反解 (kappa, theta, xi, rho) — 每個交易台的日常工作

後果#

Heston 成為隨機波動率的工業標準：每家衍生品交易台都有一個「Heston 校準器」，每天用市價微笑反解參數。
仿射跳擴散（Affine Jump-Diffusion）框架：Duffie–Pan–Singleton（2000）把 Heston 推廣為「仿射過程」的統一理論——特徵函數法成為定價的通用引擎。
傅立葉定價法：Carr–Madan（1999）的 FFT 定價讓 Heston 型模型快到可以即時報價。
SABR（2002）：Hagan 等人的隨機波動率模型成為利率選擇權的微笑標準。
盲點：Heston 難以同時擬合短端與長端的微笑（需要局部波動率模型 Dupire 1994 補充）；且方差可以觸零（違反 Feller 條件時）在數值上造成麻煩。

偵探筆記#

動機：1987 後的波動率微笑違反常數 \(\sigma\)
工具：雙變數 CIR 方差過程、仿射過程、特徵函數閉式解
遺產：隨機波動率工業標準、傅立葉定價法
盲點：短長端微笑難兼顧、Feller 條件的數值麻煩

參考資料#

Heston, S. (1993). "A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options". Review of Financial Studies, 6(2), 327–343.
Carr, P., Madan, D. (1999). "Option Valuation Using the Fast Fourier Transform". Journal of Computational Finance.
Gatheral, J. (2006). The Volatility Surface. Wiley.