1973-SPICE#

案件摘要#

1973 年，Berkeley 的 Laurence Nagel 與 Donald Pederson 發表 SPICE（Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis），把電路設計從「麵包板試誤」變成「電腦數值實驗」。此後五十餘年，幾乎每一顆晶片在流片前都先在 SPICE 的後代裡跑過一遍。

前因 -- 為什麼會有這個案子#

1960 年代末 IC 複雜度暴增（摩爾定律發動），靠麵包板驗證電路已不可能：晶片上的電路無法插在麵包板上。
IBM 有內部程式 ECAP，Berkeley 有 CANCER（Computer Analysis of Nonlinear Circuits, Excluding Radiation）——後來改名 SPICE 以去除敏感字眼並公開釋出。
需求：通用、免費、能在學校與公司的小型機上跑、支援 MOS 元件模型的電路模擬器。
線索：電路方程本質上是非線性微分代數方程組，可由數值方法系統化求解。

線索與推理 -- 數學式、程式、理論#

SPICE 架構#

三層管線：網表解析 → 方程組建立 → 數值求解。

1. 修正節點分析（Modified Nodal Analysis, MNA）：對每個節點寫 KCL（ \(\sum I = 0\) ），用元件的伴隨模型（companion model）把非線性/動態元件線性化後塞進矩陣：

\[ G \cdot x = b \]

其中 \(G\) 是稀疏導納矩陣， \(x\) 是節點電壓（與部分支路電流）向量。

2. Newton-Raphson 非線性求解：含二極體/MOSFET 的電路方程 \(f(x)=0\) 非線性，迭代求解：

\[ x_{k+1} = x_k - \left[J_f(x_k)\right]^{-1} f(x_k) \]

其中雅可比矩陣 \(J_f = \partial f/\partial x\) 。MOSFET 飽和電流模型：

\[ I_D = \frac{1}{2}\beta (V_{GS}-V_{th})^2, \quad \beta = \mu_n C_{ox}\frac{W}{L} \]

每次迭代把元件在其工作點線性化（等效為電導 + 電流源），直到 \(|f(x_k)| < \varepsilon\) 收斂。

3. LU 分解：矩陣求解 \(Gx=b\) 不直接求反矩陣，而做稀疏 LU 分解 \(G = LU\) ，先解 \(Ly=b\) （前代）再 \(Ux=y\) （回代），複雜度 \(O(n^3)\) 降為稀疏情形近似 \(O(n)\) 。SPICE 的稀疏矩陣技術（Sparse matrix package）是它能處理數百節點電路的關鍵。

元件模型（BSIM）#

SPICE 2 用 Level 1–3 MOS 模型（平方律、經驗修正）。
短通道效應（速度飽和、亞閾值漏電、DIBL）使簡單模型失效，Berkeley 在 1980–90 年代發展 BSIM（Berkeley Short-channel IGFET Model）系列，今日 BSIM4/BSIM6 是晶圓廠交付 PDK 的標準模型。
模型參數透過參數萃取（從實測 I-V 曲線擬合）取得，例如用最小平方法最小化 \(\sum_i (I_{meas,i} - I_{model,i}(p))^2\) 。

瞬態分析： \(\frac{dx}{dt}\) 的數值積分#

瞬態分析解微分方程 \(\frac{dx}{dt} = f(x, t)\) （如 \(C\frac{dv}{dt} = i\) ）。SPICE 用隱式方法保證穩定：

後向歐拉（Backward Euler）：

\[ x_{n+1} = x_n + h\, f(x_{n+1}, t_{n+1}) \]

一階精度，但無條件穩定，適合剛性（stiff）電路。

梯形法（Trapezoidal）（SPICE 預設）：

\[ x_{n+1} = x_n + \frac{h}{2}\left[f(x_n,t_n) + f(x_{n+1},t_{n+1})\right] \]

二階精度；SPICE 再搭配 LTE（局部截斷誤差）控制自動調步長，以及 Gear 法處理梯形法的振鈴問題。

Python：簡單 nodal analysis 解 RC 電路#

用後向歐拉 + MNA 解「電流源對並聯 RC」： \(\;C\frac{dv}{dt} + \frac{v}{R} = I\) 。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

R, C, I = 1e3, 1e-9, 1e-3   # 1kΩ, 1nF, 1mA
dt, steps = 1e-8, 300
G = np.array([[1/R + C/dt]])  # 後向歐拉的 MNA 伴隨矩陣

v = np.zeros(steps + 1)
for n in range(steps):
    b = np.array([I + C/dt * v[n]])  # 電容電荷歷史項
    v[n+1] = np.linalg.solve(G, b)[0]

t = np.arange(steps + 1) * dt
plt.plot(t*1e9, v, label='backward Euler')
plt.plot(t*1e9, I*R*(1-np.exp(-t/(R*C))), '--', label='analytic')
plt.xlabel('Time (ns)'); plt.ylabel('V (V)')
plt.title('Nodal Analysis: RC circuit'); plt.legend(); plt.show()

理論穩態 \(V_\infty = IR = 1\,\text{V}\) ，時間常數 \(\tau = RC = 1\,\text{ns}\) ——數值解與解析解重合，驗證了 MNA + 後向歐拉的正確性。這 20 行程式就是 SPICE 的最小核心。

SPICE 衍生家族#

SPICE 2（1975, Nagel）：C 語言重寫前身，成為業界事實標準。
SPICE 3（1985）：C 語言、X 視窗、BSD 授權釋出。
HSPICE（Synopsys）：商業強化版，簽核（sign-off）標準。
LTspice（ADI）：免費商業版，以高速求解器聞名。
ngspice：開源後繼者，SPICE 3f5 的延續。

結案 -- 後果與影響#

Pederson 堅持免費公開釋出 SPICE，使它成為 EDA 產業的種子：Cadence、Synopsys、Mentor 皆由此發芽。
「先模擬、後流片」成為 IC 設計鐵律；模擬正確性直接決定數百萬美元的流片成敗。
BSIM 模型 + SPICE 求解器 + PDK，構成今日晶片設計的基礎設施三件套。
教育影響：全世界電機系學生都用 SPICE 學電路，Pederson 獲 1997/1998 年 IEEE 榮譽獎章級肯定。

關鍵人物與文獻#

Donald Pederson（1925–2004）：Berkeley 教授，SPICE 計畫推手，堅持開放釋出。
Laurence Nagel：SPICE 主要作者，博士論文 "SPICE2: A Computer Program to Simulate Semiconductor Circuits," UC Berkeley, 1975.
L.W. Nagel & D.O. Pederson, "Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis," Midwest Symposium on Circuit Theory, 1973.
BSIM Group, UC Berkeley, https://bsim.berkeley.edu