1847 年：Boole 布林代數 — 把邏輯變成計算#
偵探：George Boole。案發地：愛爾蘭 Cork 女王學院。卷宗：《思想規律》（The Laws of Thought）。
案發現場#
-0350-Aristotle三段論.md 統治邏輯兩千年，但它只是分類學，不是計算法。數學家追問：邏輯能否像代數一樣算？
Boole 接到的報案來自兩處：一是萊布尼茲「推理演算」（calculus ratiocinator）的未竟遺願，二是當時英國代數學派（Peacock、De Morgan）把代數從數字解放為符號形式的運動。
如果「且」「或」「非」能變成 \(+\) 、 \(×\) 、 \(-\) 那樣的運算，推理就成了方程式求解。這正是 Boole 要破的案。
後續：1879-Frege概念文字.md 批評它不夠強，1900-Hilbert23問題.md 卻繼承了它的代數精神。
偵查過程（含數學式/表格/理論）#
第一條線索：類的外延代數#
Boole 把命題看成類（class）的等式。設 \(x\) 、 \(y\) 為類，則：
| 邏輯 | Boole 寫法 | 現代讀法 |
|---|---|---|
| \(x\) 且 \(y\) | \(x y\) | \(x ∧ y\) |
| \(x\) 或 \(y\) | \(x + y\) | \(x ∨ y\) （互斥並，後修正為包含或） |
| 非 \(x\) | \(1 - x\) | \(¬x\) |
| 全域 \(1\) 、空類 \(0\) | \(1\) 、 \(0\) | \(⊤\) 、 \(⊥\) |
於是「所有 \(S\) 都是 \(P\) 」變成方程式 \(s (1 - p) = 0\) ，即 \(S\) 與非 \(P\) 之交為空。三段論 Barbara 變成代數消元。
第二條線索：冪等律 \(x^2 = x\)#
普通代數中只有 \(0\) 、 \(1\) 滿足 \(x^2 = x\) 。Boole 反其道而行：規定邏輯演算的基本律就是冪等律 \(x^2 = x\) ：
前兩條說「 \(x\) 且 \(x\) 還是 \(x\) 」「 \(x\) 或 \(x\) 還是 \(x\) 」；第三條是矛盾律的代數臉孔。這把邏輯類與數域區分開來：邏輯是「只取 \(0\) 、 \(1\) 值的代數」。
真值表（Boole 時代尚未標準化，後人整理）：
| \(x\) | \(y\) | \(x ∧ y\) | \(x ∨ y\) | \(¬x\) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
只要列出 \(2^n\) 行，真假無所遁形——這是第一個「判定程序」。
第三條線索：布林代數公理表#
現代抽象版本（Huntington 公理系之一）：
| 公理 | \(∧\) 版 | \(∨\) 版 |
|---|---|---|
| 交換律 | \(x ∧ y = y ∧ x\) | \(x ∨ y = y ∨ x\) |
| 結合律 | \((x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z)\) | \((x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z)\) |
| 吸收律 | \(x ∨ (x ∧ y) = x\) | \(x ∧ (x ∨ y) = x\) |
| 分配律 | \(x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)\) | \(x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)\) |
| 同一律 | \(x ∧ 1 = x\) | \(x ∨ 0 = x\) |
| 補餘律 | \(x ∧ ¬x = 0\) | \(x ∨ ¬x = 1\) |
滿足此表者皆為布林代數：二值 \(\\{0,1\\}\) 、集合冪集、命題等價類、開關電路皆是同構犯——不同案發現場，同一作案手法。
結案報告#
Boole 結案：邏輯＝二值代數。推理即解方程式，真值表即判決書。
遺產：
- 命題邏輯獲得計算基礎，直接通往 1929-Herbrand定理.md 與 SAT 求解。
- Shannon 1938 年把布林代數接到繼電器電路，今日 CPU 仍是 Boole 代數的肉身。
- 界限：仍無量詞，無法處理「對一切 \(x\) 」。Frege 在 1879-Frege概念文字.md 補上這一刀。
從 Hilbert（1900-Hilbert23問題.md）到 Russell（1910-PrincipiaMathematica.md），人人都站在 Boole 的肩膀上把邏輯寫成符號演算。
證據與工具#
關鍵公式：
Python 驗證冪等律與分配律（窮舉 \(0\) 、 \(1\) ）：
for x in [0, 1]:
assert (x & x) == x # 冪等
assert (x | (not x)) == 1 # 補餘
for x in [0, 1]:
for y in [0, 1]:
for z in [0, 1]:
assert (x & (y | z)) == ((x & y) | (x & z))
print("Boole 公理在二值模型成立")
延伸閱讀：想看代數如何長出量詞，請到 1879-Frege概念文字.md；想看命題邏輯如何變成自動證明，請到 1929-Herbrand定理.md；而電路與證明的深層同一性，要等 1934-Gentzen自然演繹.md 的 Curry-Howard 伏筆。