前230年 · 阿基米德窮竭法：圓周率緝拿案#

卷宗編號：Case-0230-Exhaustion｜偵探：阿基米德（Archimedes）｜地點：敘拉古

案發現場#

西元前三世紀的地中海世界，藏著一樁懸了數百年的奇案：圓，到底有多大。

埃及人說圓面積是直徑的八分之九再平方，巴比倫人取圓周率為 \(3\) ，《聖經》裡的銅海也暗示同一個粗糙數字。商人要算糧倉容積，工匠要造圓柱神廟，天文學家要量天體軌道，可是誰也說不清，圓周與直徑之比究竟是個什麼數。

更棘手的還有第二現場：敘拉古王懷疑金匠在王冠裡摻了銀。國王要真相，卻不准把王冠熔掉。一個是無限曲線的謎，一個是不許破壞證物的謎。兩樁案子，看似無關，卻指向同一個兇手——連續與無限。

阿基米德接下委託時，希臘幾何學只有直尺、圓規與歐多克索斯的比例論。他沒有代數符號，沒有小數點，沒有電腦。他唯一的武器，是邏輯。

偵查過程#

線索一：曲線抓不到，就用直線包圍它#

阿基米德的第一個推理轉折是：既然圓周是彎的、摸不著的，那就派兩隊「線人」從內外兩側夾擊。

他在圓內接一個正多邊形，又在圓外切一個正多邊形。圓周長 \(C\) 必定被夾在兩者之間。設圓直徑為 \(d\) ，內接多邊形周長為 \(p_n\) ，外切多邊形周長為 \(P_n\) ，邊數為 \(n\) ，則：

兩邊同除以 \(d\) ，就得到圓周率的上下界。邊數越多，包圍圈越緊。這就是窮竭法的靈魂：不直接追捕無限，而是用有限步步進逼，把誤差逼到牆角。

線索二：從六邊形出發，倍增邊數#

偵查從最好下手的地方開始：正六邊形。內接正六邊形邊長等於半徑，這是現成的突破口。

阿基米德用角平分線的幾何關係，把邊數一路倍增： \(6 \to 12 \to 24 \to 48 \to 96\) 。每倍增一次，就用勾股定理與比例關係更新邊長。設內接 \(n\) 邊形邊長為 \(s_n\) ，外切 \(n\) 邊形邊長為 \(t_n\) ，迭代關係可寫成現代形式：

他全程只用分數運算，硬是把開方的不精確性用不等式兩頭擋住。算到九十六邊形時，包圍圈終於收網。

線索三：收網數字#

經過冗長的分數圍捕，阿基米德宣布了數學史上第一份「數值誤差報告」：

換成小數，約為 \(3.1408 < \pi < 3.1429\) 。嫌犯 \(\pi\) 的活動範圍，被壓縮到寬度不到 \(0.003\) 的小巷裡。

上表為現代換算值，阿基米德原著全用分數表述，但夾擊結構完全一致。

parallel 案件：王冠裡的銀#

另一頭，王冠案也在收網。阿基米德在浴缸裡靈光一閃：物體浸入水中減輕的重量，等於它排開的水重。設物體重為 \(W\) ，浮力為 \(B\) ，排開液體密度為 \(\rho\) ，體積為 \(V\) ，則：

金比銀重，只要把王冠與等重純金同浸水中，比較溢水量，摻假無所遁形。傳說他裸奔上街高喊「尤里卡」，正是這樁並案告破的瞬間。

理論定性：窮竭法的三條鐵律#

1. 夾擊：構造可計算的上下界序列，而非猜一個近似值。
2. 單調收斂：邊數增加時，下界遞增、上界遞減，絕不反覆。
3. 誤差可證：每一步的誤差都有明確上界，這正是現代數值分析的祖訓。

結案報告#

阿基米德破了雙案。圓周率案中，他證明曲線量可以用直線序列任意逼近，開創了「數值逼近」的先河；王冠案中，他留下浮力定律，成為流體靜力學的起點。

此案的遺產極為深遠：

• 方法遺產：窮竭法是積分的雛形，兩千年後被牛頓、萊布尼茲 formalize 為微積分，又被馮·諾伊曼搬進電腦。
• 精神遺產：「給出近似值時必須同時給出誤差界」，這條規矩從本案一直沿用到今日的區間運算與驗證計算。
• 未竟線索：阿基米德沒有代數符號與極限語言， \(96\) 邊形已是人力極限。真正的「無限細分」自動化，要等到尤拉方法與電腦登場。

用現代眼光看，本案是計算模擬學的第零章：世界可以寫成幾何，幾何可以化為算術，算術可以一步步逼近真相。

證據與工具#

• 核心不等式：圓周率被鎖定在 \(3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}\) 之間。
• 夾擊公式：內接周長 \(p_n\) 與外切周長 \(P_n\) 構成的雙序列，是最早的收斂性證明框架。
• 浮力公式： \(B = \rho V g\) ，靜水稱重法至今仍是密度量測標準。
• 手算工具：角平分定理、勾股定理、歐多克索斯比例論；全程分數運算，以不等式控制開方誤差。
• 可重演實驗：取圓直徑 \(d = 1\) ，用程式將邊數倍增至 \(n = 1536\) ，觀察上下界如何收斂到 \(3.1416\) 附近。
• 延伸閱讀：《圓的度量》、《論浮體》；後續案件直通牛頓運動方程，因為微積分正是窮竭法的合法繼承人。

補充：程式實作#

對應程式：-0230-archimedes_pi.py

本文核心理論是雙側夾擊：圓周長必介於內接與外切正多邊形周長之間。 設圓半徑為 \(1\) ，內接正 \(n\) 邊形周長為 \(2n \sin(\pi/n)\) ，外切周長為 \(2n \tan(\pi/n)\) 。 兩者同除以直徑 \(2\) ，即得下界 \(L = n \sin(\pi/n)\) 與上界 \(U = n \tan(\pi/n)\) 。 邊數沿 \(6 \to 12 \to 24 \to 48 \to 96\) 倍增時，下界遞增、上界遞減，寬度單調收縮。 兇手 \(\pi\) 終於被逼進寬度僅 \(1.68e-03\) 的死巷，長達兩千年的圍捕在此收網。

執行指令：

python3 _code/-0230-archimedes_pi.py

實測關鍵輸出（本機真實執行結果抄錄）：

n= 6: 下界 3.0000000000，上界 3.4641016151，寬度 4.64e-01
n=12: 下界 3.1058285412，上界 3.2153903092，寬度 1.10e-01
n=24: 下界 3.1326286133，上界 3.1596599421，寬度 2.70e-02
n=48: 下界 3.1393502030，上界 3.1460862151，寬度 6.74e-03
n=96: 下界 3.1410319509，上界 3.1427145996，寬度 1.68e-03
true pi = 3.1415926536，落在下界與上界之間
VERIFY lower96 = 3.141032（大於 $3.1408$ ，符合阿基米德下界）
VERIFY upper96 = 3.142715（小於 $3.1429$ ，符合阿基米德上界）
PASS

讀者可將邊數列延伸至 \(n = 1536\) ，觀察區間寬度縮小的速率，並對照真值 \(3.1415926536\) 計算誤差。

上述下界與上界均為程式以雙精度三角函數直接求值所得，未使用分數逼近，與原文分數表述互相印證。

完整程式如下：

# -*- coding: utf-8 -*-
"""0230 Archimedes 夾擊 pi（對應 wiki：計算模擬學 / 阿基米德窮竭法求 pi）
圓半徑=1：內接正 n 邊形周長=2n·sin(pi/n)，外切正 n 邊形周長=2n·tan(pi/n)，
故下界 L=n·sin(pi/n) < pi < n·tan(pi/n)=上界 U。
取 n=6,12,24,48,96（倍增），驗證 n=96 時 3.1408 < pi < 3.1429。
只用 numpy，固定種子。
"""
import numpy as np

np.random.seed(0)

ns = [6, 12, 24, 48, 96]
print(f"{'n':>5} {'lower=n sin(pi/n)':>20} {'upper=n tan(pi/n)':>20} {'width':>12}")
results = {}
for n in ns:
    lower = n * np.sin(np.pi / n)
    upper = n * np.tan(np.pi / n)
    results[n] = (lower, upper)
    print(f"{n:>5d} {lower:>20.10f} {upper:>20.10f} {upper - lower:>12.2e}")

lo96, hi96 = results[96]
print(f"true pi = {np.pi:.10f}")
print(f"96邊: 下界={lo96:.6f} (理論下界→pi), 上界={hi96:.6f}")

# 驗證數字：理論值 vs 實測
ok_lo = lo96 > 3.1408
ok_hi = hi96 < 3.1429
ok_bracket = (lo96 < np.pi < hi96)
print(f"VERIFY lower96={lo96:.6f} (>3.1408? {ok_lo})")
print(f"VERIFY upper96={hi96:.6f} (<3.1429? {ok_hi})")
print(f"VERIFY bracket: {lo96:.6f} < pi={np.pi:.6f} < {hi96:.6f} ? {ok_bracket}")
assert ok_lo, f"下界不夠緊: {lo96}"
assert ok_hi, f"上界不夠緊: {hi96}"
assert ok_bracket, "pi 不在夾擊區間內"
print("PASS")