1687年 · 牛頓運動方程：宇宙機械案#

卷宗編號：Case-1687-Principia｜偵探：Isaac Newton｜共犯兼證人：Halley、Hooke、Kepler

案發現場#

1684年倫敦的一場咖啡館爭論，拉開了科學史上最大刑案的帷幕。胡克誇口說自己能從平方反比引力推出行星橢圓軌道，卻拿不出證明。哈雷心急如焚，北上劍橋叩問牛頓。牛頓淡淡回答：「我早就算出來了。」

案發現場擺著三具「屍體」級的謎團：

當時的嫌疑犯各自為政：笛卡兒說是旋渦以太在推，胡克猜是平方反比卻證不出，牛頓自己也為月地檢驗的數據誤差困擾多年。宇宙像一座沒有總開關的機械鐘，人人聽見滴答聲，卻沒人見過機芯。

牛頓在《自然哲學之數學原理》中亮出三條「辦案鐵律」。用現代符號改寫：

第一定律（慣性）：不受外力時，物體保持等速直線運動，速度 \(v\) 不變。

第二定律（運動方程）：動量變化率正比於外力，即：

\[ F = ma \]

其中 \(F\) 為合力， \(m\) 為慣性質量， \(a\) 為加速度。上式是向量方程，完整的寫法是 \(F = m \ddot{x}\) ，把位置 \(x\) 的二階時間導數與受力直接掛鉤。

第三定律（作用反作用）：兩物體交互作用力大小相等、方向相反。若甲受乙之力為 \(F_{甲}\) ，乙受甲之力為 \(F_{乙}\) ，則：

\[ F_{甲} = -F_{乙} \]

三律一定，拋體、單擺、碰撞、潮汐全部併案處理。偵探終於有了通用搜查令。

牛頓大膽併案：蘋果與月亮是同一兇手所為。任意兩質點之間的引力為：

\[ F = GmM/r^2 \]

其中 \(G\) 為引力常數， \(m\) 與 \(M\) 為兩物體質量， \(r\) 為質心距離，方向沿連線相吸。

他用「月地檢驗」驗證：月球向心加速度約為地面重力加速度的 \(1/3600\) ，而月地距離正好約為地球半徑的 \(60\) 倍， \(60^2 = 3600\) ，吻合平方反比。這一對帳，是科學史上最漂亮的不在場證明之推翻。

天體	軌道半徑 \(r\)	週期 \(T\)	\(T^2/r^3\) 是否常數
水星	\(0.387\) 天文單位	\(88\) 天	是
金星	\(0.723\) 天文單位	\(225\) 天	是
地球	\(1.0\) 天文單位	\(365\) 天	是
火星	\(1.524\) 天文單位	\(687\) 天	是
木星	\(5.203\) 天文單位	\(4333\) 天	是

克卜勒第三定律的常數性，正是平方反比的指紋。

牛頓證明，在 \(F = GmM/r^2\) 之下，兩體問題有解析解：軌道必為圓錐曲線（橢圓、拋物線、雙曲線）。他用幾何方法證明克卜勒橢圓正是平方反比的必然結果。

但當偵探把目光轉向「太陽—地球—月亮」三體時，案情急轉直下。設三體位置為 \(x_1\) 、 \(x_2\) 、 \(x_3\) ，運動方程為：

\[ m_i \ddot{x}_i = \sum_{j \ne i} G m_i m_j \frac{x_j - x_i}{|x_j - x_i|^3} \]

其中 \(i = 1,2,3\) 。這組方程寫得出，卻解不出封閉解。牛頓坦承月球運動論讓他「頭痛欲裂」。兩體是完美破案，三體是無期懸案。

正因三體不可積，牛頓無意中簽發了計算模擬學的出生證明：

1687年《原理》出版，宇宙機械案宣布偵破：同樣的 \(F = ma\) 與 \(F = GmM/r^2\) ，既管蘋果，也管行星與潮汐。哈雷據此預言彗星回歸，1758年聖誕夜應驗，成為結案後最響亮的回聲。

遺產清單：

牛頓沒有發明電腦，但他發明了值得用電腦去算的東西。