3.2 動態交互預測：彈性碰撞、摩擦力、關節約束與流體變形#

3.2.1 碰撞是交互的原子事件#

3.1 節處理的是孤立的物體：每一個物體各自依循自己的方程演化，彼此不相干。一旦兩個物體接觸，情況就根本性地改變了——此後的軌跡不再是各自的函數，而是耦合的結果。這意味著碰撞是世界模型必須建模的原子事件：它是交互的最小時間單位，是「兩個物體的命運從此交織」的瞬間。

碰撞之所以特別適合作為學習與評測的對象，有三個實質原因。第一，它是可觀測的離散跳變：接觸前後的位置與速度會出現明顯的不連續，這在連續的影片序列中容易偵測。第二，它有封閉形式的解析解，至少在一維、理想化的情形下如此，因此可以作為強監督訊號。第三，它暴露了模型是否真的學到「質量」與「材質」這些物理量，因為碰撞後的結果對這些參數高度敏感。

3.2.2 一維彈性碰撞的解析解#

考慮沿同一條直線運動的兩個物體，質量分別為 \(m_1\) 與 \(m_2\) ，碰撞前速度分別為 \(v_1\) 與 \(v_2\) ，碰撞後的速度記為 \(v_1'\) 與 \(v_2'\) 。對於完全彈性的碰撞，有兩條守恆律可用：

第一式是動量守恆（系統不受外力），第二式是動能守恆（碰撞無能量損失）。把第二式改寫成兩物體相對速度乘積的形式，再與第一式聯立消去，可以解出：

這個結果有幾個直覺上很好的特例。當 \(m_1 \gg m_2\) （小球撞大牆），第一式化為 \(v_1' \approx v_1\) 、 \(v_2' \approx 2 v_1 - v_2\) ：小球的速率幾乎不變，而大球以「鏡像反射」的方式獲得速度——這正是保齡球撞瓶的近似。當 \(m_1 = m_2\) 時，兩式化為 \(v_1' = v_2\) 與 \(v_2' = v_1\) ：兩物體交換速度。這個等質量交換性質是所有碰撞物理中最常被引用的特例，也是判斷模型是否正確的簡易測試。

值得補充的是，動量守恆這條式子其實不需要任何關於碰撞性質的假設——它是外力為零時的必然結果，即使碰撞完全非彈性、即使能量全部轉換成變形與熱，動量守恆依然成立。相對地，動能守恆才是那個額外的假設。這個區分在實務上很重要：它意味著只要模型能學會「外力為零時總動量不變」，它就已經掌握了碰撞物理中最穩健的一部分；而能量守恆的細節（有多少轉成熱）則可以交給資料與可視化判斷來細化。先守住較弱但更普適的守恆律，是學習式物理模型一個務實的策略。

三維情形並不更難，只是把每個速度分量獨立處理即可，因為碰撞衝量沿法線方向，各分量互不耦合。

3.2.3 恢復係數與非彈性碰撞#

真實世界的碰撞很少是完全彈性的。用恢復係數（coefficient of restitution） \(e\) 描述碰撞後法向相對速度與碰撞前法向相對速度之比：

其中 \(e \in [0, 1]\) ， \(e=1\) 對應完全彈性， \(e=0\) 對應完全非彈性（兩物體黏在一起共同運動），而中間的塑膠球撞擊、濕泥巴落地則落在中間值。把這個係數代入上面的動量守恆式，即得到一般形式的解。

這裡出現一個對世界模型而言非常重要的物理事實：恢復係數不是從影片中直接可觀測的量。模型看到的是碰撞前後的運動，它必須從資料中反推 \(e\) 、 \(m_1\) 、 \(m_2\) 這三個無法單獨辨識的參數。這正是不可辨識性（identifiability）的第一個物理實例：在沒有其他約束的情況下，同一段觀測可以用許多不同的 \((e, m_1/m_2)\) 組合解釋。這也是第 3.3 節要處理的因果問題在物理層面的第一個化身——把參數的結構先驗（ \(0 \leq e \leq 1\) 、質量為正）加進模型，可以大幅收斂可行解的範圍。

3.2.4 摩擦力與靜摩擦門檻#

摩擦與碰撞的本質不同：碰撞是瞬時事件，摩擦是持續作用力。而更特別的是，摩擦具有門檻效應，這解釋了日常經驗裡最具戲劇性的一個物理場景——斜面上的箱子為什麼「先不動、再滑動」。

庫侖摩擦模型將摩擦力寫成：

其中 \(N\) 是法向力（在水平面上 \(N = mg\) ，在斜面上 \(N = mg \cos \theta\) ）， \(\mu_s\) 與 \(\mu_k\) 分別為靜摩擦與動摩擦係數。當沿斜面方向的重力分量 \(mg \sin \theta\) 小於靜摩擦上限 \(\mu_s N\) 時，箱子保持靜止，實際靜摩擦力恰好等於 \(mg \sin \theta\) ；一旦超過門檻，摩擦力跳降至 \(\mu_k N\) ，箱子開始加速下滑。門檻臨界角為：

這個門檻帶來兩種截然不同的行為模式，且切換是不連續的。對連續時間的預測模型而言，這是一個本質上難以平滑逼近的問題：只要參數估計有微小誤差，箱子就會被判定為「應該滑動」而開始移動，即使它其實靜止。實務上常用的處理是引入一個速度門檻帶（如 \(|v| < \epsilon\) 時視為靜止）與一個較大的靜摩擦係數（通常取動摩擦的 \(1.2\) 到 \(2\) 倍）來製造遲滯區（hysteresis），避免在門檻附近來回震盪。

從學習的觀點看，摩擦門檻是「直覺物理」的又一個絕佳例子：人類不需要知道 \(\mu_s\) 的數值，就能判斷「這個箱子會不會滑下來」，因為我們從傾斜程度與物體材質的經驗中學到了這條門檻的定性位置。世界模型要能預測傾倒行為（例如第 9 章的人形機器人），就必須內化這條門檻，而不只是內化「接觸面之間有阻力」這種模糊概念。

3.2.5 關節約束與接觸#

接觸的處理涉及一類被稱為關節／接觸約束（joint constraints）的技術。當兩個物體進入接觸狀態時，它們的相對運動被限制：法向速度必須歸零（不可穿透），切向速度則受摩擦限制（可滑動但有阻力）。

一個標準的接觸求解流程包含以下步驟：

1. 偵測：找出距離小於閾值的物體對。
2. 位置修正：沿法線方向把重疊的物體推開，消除穿透。常用做法是依質量比例分配修正量：

其中 \(d\) 為穿透深度， \(\hat{\mathbf{n}}\) 為單位法線。 3. 速度修正：求解衝量，使法向相對速度不為正（物體不得分離穿透），同時施加摩擦衝量上限 \(\mu |j_n|\) 。

sequenceDiagram
    participant I as 積分器
    participant D as 碰撞偵測
    participant C as 接觸求解器
    participant S as 狀態更新
    I->>D: 推進位置 (預測步)
    D->>D: 計算重疊深度 d 與法線 n
    D->>C: 送入接觸對
    C->>C: 位置修正: 依質量比例分攤穿透
    C->>C: 速度投影: 法向分量歸零
    C->>C: 摩擦衝量: 上限 mu * jn
    C->>S: 回傳修正後速度
    S->>S: 檢查靜摩擦門檻 (決定滑動或靜止)
    S-->>I: 新狀態進入下一時間步

這套流程有一個常被低估的設計要點：順序依賴性。位置修正與速度修正的先後會影響結果，尤其在多物體堆疊（桌子上的書堆、倒地的抽屜）這類場景。物理引擎通常需要反覆迭代求解接觸網絡，這也解釋了為什麼真實的剛體模擬在複雜接觸下非常耗費算力——約束越多，非線性越強，收斂越慢。

3.2.6 連續介質與形變#

剛體是對真實世界的近似，而這個近似的邊界在某些現象上很快就被突破。彈性的球落地會變形再回彈，水會飛濺，柔軟的沙發會凹陷而非被穿透。處理這類現象需要不同的數學工具。

最簡單且最常用的是彈簧—阻尼模型：把物體之間的接觸（或物體自身的形變）建模為一組彈簧與阻尼器，彈簧常數 \(k\) 提供回復力，阻尼係數 \(c\) 提供能量耗散。這一模型可以寫成狀態空間形式，並且天然地支持反傳（第 3.4 節的反事實路徑之一）。它的缺點是剛度與時間步長之間存在嚴格的穩定性限制：剛度越高，需要的時間步越短，模擬成本呈平方級上升。

流體的處理則更為困難。常見的近似層次有三種：首先是粒子法（SPH），把流體離散成帶壓力的粒子集合，用密度估計計算壓力力，能自然處理自由表面且容易與其他物理耦合；其次是格子／有限體積方法，把流體放在網格上求解壓力泊松方程，精度高但成本大；最後是深度學習式的流體近似（如 FluidNet 系列），用網路直接回傳速度場或密度場，速度快但對長時間積分與複雜邊界仍不穩定。

在可形變物體的處理上，一條實用的路線是混合表示：主體仍用剛體描述整體運動，只在接觸區域或變形劇烈的區域加上局部形變場（例如用神經輻射場或網格形變表示凹陷）。這種分層策略的好處是保留了剛體模型的速度與穩定性，同時捕捉到視覺上最明顯的形變痕跡。

3.2.7 三種學習式世界模型的實作路線#

在學習式世界模型中，物理知識的注入方式可以歸為三條路線，它們在監督訊號來源、泛化能力與實作成本上有系統性的差異。

物理引擎式的做法是讓模擬器扮演環境的角色，模型學習的是引擎產生的軌跡。它最大的優勢是提供了完美對齊的標籤：每一幀的物體位置、速度、接觸力、是否滿足支撐約束都能直接讀出。Dreamer 系列在 Atari 與 DMC 上獲得的成功，很大程度上建立在能無限生成軌跡的模擬器之上（第 1 章已述）。但這種做法的瓶頸在於真實世界的長尾：模擬器的材質、摩擦係數、接觸細節都是人工設定的，模型若過度依賴這些設定，就會在真實攝影機下失效。

資料驅動式的做法是從像素與動作序列中直接學動力學。它的優勢是能捕捉物理引擎難以建模的現象（布料、煙火、柔軟物體、真實接觸的複雜細節），而且不依賴任何手寫的物理規則。代價則是它學到的是環境的統計常態：在真實影片中物理違例少見，模型沒有機會學到「物體不該穿透桌面」這條否定性規則，因此容易生成看似合理但物理上不可能的畫面——第 10 章將此稱為物理幻覺。

混合式是當前最主流的務實路線，其做法是保留資料驅動的表達能力，同時以物理約束作為引導或損失的組成部分。常見的實作包括：以守恆量（總動量、能量）作為預測頭的正則項；以接觸與支撐的可滿足性作為生成結果的可行性過濾器；或在對抗式生成中，用物理判別器篩掉不可能的樣本。第 5 章的物理約束引導屬於這一類的延伸。

3.2.8 交互的難度梯度與評測指標#

不同類型的交互對模型的要求差異極大，可以排成一個難度梯度。

第一級是單一剛體在靜態環境中的運動：只有重力與邊界，沒有交互，3.1 節的拋體公式已足以應付。第二級是兩物體的碰撞與單純接觸：需要質量、恢復係數與碰撞法線，解析解可作監督。第三級是多體接觸網絡：如球堆、積木塔，需要穩健的接觸求解與迭代，剛體模型在此開始變得昂貴而脆弱。第四級是可形變物體：需要彈簧阻尼或網格形變，模擬成本陡增，且視覺與力學的耦合更難建構。第五級是連續介質：流體、破碎、彈性布料，通常需要專門的近似方法。

評測時，指標也必須對應到物理量，而不是籠統的感知指標。常見的三類如下。

接觸準確率：預測中物體首次接觸的時間與位置，相對於真實資料的誤差。這是最直接測量「模型是否知道東西會撞上」的指標。

速度誤差：在接觸事件前後，預測速度與真實速度的差（例如 \(L_1\) 或相對誤差）。這個指標測量的是碰撞解的正確性，而不只是位置正確。

支撐違反率：在宣稱為靜止的時間步中，模型預測的物體與下方物體之間出現穿透、或是物體下方無支撐卻保持靜止的比例。這個指標直接延續 3.1 節的主題，是最容易量化的物理一致性格測。

3.2.9 小結#

碰撞把「各自獨立的物體」轉化為「互相糾纏的系統」，也因此成為模型物理能力的天然試金石。一維彈性碰撞提供了閉式解，恢復係數揭示了參數的不可辨識性，摩擦門檻揭示了不連續行為，關節約束揭示了多體接觸的數值困難，可形變與流體則揭示了剛體近似的邊界。

三條實作路線各有代價，而當前最務實的是混合式：讓資料提供表達力，讓物理提供約束。至於「物理規則本身帶有什麼結構」——它不是一組彼此獨立的數學等式，而是一張有方向、有層次、可以施加干預的因果網絡。這正是下一節的主題。

不過在收束之前，還有一項常被低估的工程細節值得提出：接觸事件的時間戳解析精度。物理引擎通常以固定的時間步（例如 \(1/240\) 秒）離散積分，而真實影片的取樣率遠低於此（常見為 30 fps）。當模型要在影片時間軸上對齊接觸事件時，會遇到一個數值問題——引擎認為的接觸發生在第 \(57.3\) 步，而觀測到的第一個「看起來有接觸」的影格可能在第 \(58\) 步。若不處理這個離散化誤差不僅是錯一格影格的問題，它會系統性地偏誤速度估計：把「接觸前」的速度錯配到「接觸後」的影格上，會讓學到的恢復係數出現偏差，而偏差方向在各場景中一致，模型便會把它學成一個偏置。

解法之一是讓模型在預測時採用連續時間的接觸事件表示，而非把事件綁定到影格邊界；例如把接觸建模為一個具有事件時刻 \(t_c\) 與衝量幅度的原子記錄，由解碼器在連續時間上重建速度變化。另一個更簡單但有效的做法是在資料預處理時，以子影格插值把接觸時刻對齊到觀測精度。這種「時間對齊」的細節，往往比換更大的網路更能改善物理預測的準確度，也說明了為什麼第 1 章強調物理引擎提供對齊標籤的價值——對齊本身就是一種稀缺資源。