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4.1 Lyapunov 穩定性理論#

前言：非線性世界需要新尺規#

第 3 章的最優控制理論大多建立在線性系統之上，而真實系統——機器人關節摩擦、飛行器大攻角失速、化學反應速率——本質上都是非線性的。對線性系統，我們有特徵值這把萬能尺規；對非線性系統，特徵值只描述「某一點附近的局部行為」，無法回答全域問題。

1892 年，俄國數學家 Aleksandr Lyapunov 在博士論文《運動穩定性的一般問題》中提出了兩個方法，其中直接法提供了一種不必解微分方程就能判定穩定性的工具，堪稱非線性系統理論的基石。它的物理直覺來自力學：若系統的「能量」持續耗散且只在平衡點達到極小，系統必將停在平衡點。

穩定性定義#

考慮自治系統 \(\dot{x} = f(x)\) ， \(f(0) = 0\) （原點為平衡點）。

  • 穩定（Lyapunov stable）：任意給 \(\varepsilon > 0\) ，存在 \(\delta > 0\) ，使 \(\|x(0)\| < \delta \Rightarrow \|x(t)\| < \varepsilon, \; \forall t \geq 0\) ——初始擾動不會被放大。
  • 漸近穩定（Asymptotically stable）：穩定，且 \(x(t) \to 0\) ——擾動最終消失。
  • 全域漸近穩定（Globally asymptotically stable）：上述性質對任意初始狀態成立。

間接法：線性化#

Lyapunov 間接法（一階法）：若 \(f\) 可微，計算 Jacobian \(A = \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{x=0}\) 。

  • 若 \(A\) 的特徵值皆具負實部 ⟹ 原點（局部）漸近穩定。
  • 若 \(A\) 有特徵值具正實部 ⟹ 不穩定。
  • 若特徵值落在虛軸上 ⟹ 無法判定，必須使用直接法。

間接法把非線性問題局部化約為線性問題，與第 1 章的線性化設計一脈相承；但它只看見「鄰居」，看不見全域，且在臨界情況束手無策。

直接法：能量的數學化#

Lyapunov 直接法把「能量」抽象化為** Lyapunov 函數** \(V(x)\) 。

定理：若存在連續可微函數 \(V(x)\) 滿足

  1. \(V(0) = 0\) 且 \(V(x) > 0\) （對 \(x \neq 0\) ）——正定；
  2. \(\dot{V}(x) = \frac{\partial V}{\partial x}^{\top} f(x) \leq 0\) ——沿軌跡不增；

則原點穩定。若第 2 條加強為 \(\dot{V} < 0\) （負定），則漸近穩定。若 \(V(x) \to \infty\) 當 \(\|x\| \to \infty\) （徑向無界），則全域漸近穩定。

證明核心只需兩行：沿軌跡

\[ \frac{d}{dt} V(x(t)) = \frac{\partial V}{\partial x}^{\top} \dot{x} = \frac{\partial V}{\partial x}^{\top} f(x) \leq 0 \]

\(V\) 單調不增且有下界，故收斂；配合 Barbalat 引理可進一步得漸近收斂。這個「先找尺度、再看趨勢」的論證模式，將貫穿本章的適應性控制與強健控制。

尋找 Lyapunov 函數：藝術與系統化#

直接法最大的困難是**找 \(V\) **。它像「猜出系統的能量函數」，常用策略：

  1. 物理能量：機械系統用動能 + 位能，電路用電感能 + 電容能。
  2. 二次型猜測： \(V = x^{\top} P x\) ，由矩陣方程 \(A^{\top} P + P A = -Q\) 解出 \(P\) （此即第 3 章 LQR 中自動出現的 Lyapunov 函數——最優性與穩定性在此交會）。
  3. 平方和 / SOS：將 \(\dot{V}\) 表示為多項式平方和，用半正定規劃（SDP）電腦輔助搜尋。
  4. Krasovskii 法：取 \(V = f^{\top}(x) P f(x)\) 。

實例：單擺#

單擺方程（含阻尼 \(b > 0\) ）：

\[ \ddot{\theta} + \frac{b}{m} \dot{\theta} + \frac{g}{l} \sin\theta = 0 \]

取總能量 \(V = \frac{1}{2} \dot{\theta}^2 + \frac{g}{l} (1 - \cos\theta)\) （以擺長 \(l\) 歸一化），求導：

\[ \dot{V} = \dot{\theta} \left( \ddot{\theta} + \frac{g}{l} \sin\theta \right) = -\frac{b}{m} \dot{\theta}^2 \leq 0 \]

此時 \(\dot{V}\) 僅半負定（ \(\dot{\theta} = 0\) 時為零），但利用不變集原理（LaSalle 定理）： \(\dot{V} \equiv 0\) 迫使 \(\dot{\theta} \equiv 0\) ，代回動態得 \(\sin\theta = 0\) ，在 \((-\pi, \pi)\) 內唯一解 \(\theta = 0\) 。故原點全域漸近穩定——物理能量就是天然的 Lyapunov 函數。

反向定理與控制設計#

直接法不只用於分析，更用於設計：

  • Lyapunov 方程：線性系統 \(\dot{x} = A x\) 穩定 ⟺ 對任意 \(Q \succ 0\) 存在唯一 \(P \succ 0\) 滿足 \(A^{\top} P + P A = -Q\) 。這是分析線性系統的另一把尺規。
  • 反向定理（Converse Lyapunov Theorem）：只要系統漸近穩定，就「存在」某個 Lyapunov 函數——保證方法不會因理論缺失而失效，但也提醒我們：找不到不代表不存在，只代表我們還沒找到。
  • 控制 Lyapunov 函數（Control Lyapunov Function, CLF）：尋找 \(V\) 使對每個狀態都存在控制 \(u\) 讓 \(\dot{V} < 0\) ，將「穩定性分析」升級為「穩定化控制器合成」，並可與最優控制結合（Sontag 公式、CLF-QP）。

歷史地位：遲到的榮耀#

Lyapunov 的論文 1892 年以俄文發表，長期未被西歐注意，直到 1930 年代蘇聯學派（以及 Chernoff、LaSalle 等人的推廣）才使直接法成為主流。1950 年代太空計畫需要分析高度非線性的姿態動態（例如自旋衛星的翻轉不穩定），直接法從純數學變成工程工具。需求喚醒了沉睡的理論——這與第 3 章最優控制的故事再次同構。

小結#

  • 非線性系統不能只靠特徵值；Lyapunov 直接法以「廣義能量」單調遞減判定穩定。
  • 間接法（線性化）快速但局部；直接法全域但需找 \(V\) 。
  • 物理能量常是現成的 Lyapunov 函數；LaSalle 不變集處理半負定情況。
  • 直接法不僅分析，也驅動設計：Lyapunov 方程、CLF、以及下一節適應性控制的收斂證明。

延伸到下一節#

當系統參數未知（機器人負載變化、飛行器品質隨油耗改變），固定的控制律無能為力。適應性控制的思路是：即時估計未知參數並調整控制器——而它的收斂性證明，正是用本節的 Lyapunov 方法完成的。請見 4.2。