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4.2 適應性控制#

前言：參數會變，控制器也該變#

LQR 與 LQG 都假設模型已知且固定。但真實系統的參數會漂移：飛機品質隨燃油消耗改變、機器人手臂負載不同、化學程序觸媒老化。若按「最壞情況」設計，性能必然保守；若按標稱情況設計，遇到極端參數可能失穩。

適應性控制（Adaptive Control）提出第三條路：線上估計未知參數，並即時調整控制器。它的哲學是「邊飛邊學」——控制系統自身就是一個線上學習器。這也使適應性控制成為控制理論與現代機器學習之間最早的橋樑。

歷史脈絡：從自動駕駛儀到事故#

適應性控制起於 1950 年代的超音速飛機自動駕駛儀：飛行包線跨越次音速到超音速，空氣動力參數劇變，固定增益無法勝任。早期 MIT 法則（見下）即誕生於此。但理論初期缺乏穩定性證明，發展斷斷續續。1970 年代 Lyapunov 方法注入後，證明體系成形；然而 1980 年前後發生數起著名的自適應系統不穩定事件（Rohrs 反例等）：在某些未建模動態與雜訊下，參數估計漂移導致閉迴路失穩。這場危機迫使學界嚴肅對待強健性，催生了強健自適應方法，也直接推動了第 4.3 節的強健控制學派——事故成為理論演進的驅動力。

模型參考自適應控制（MRAC）#

MRAC 的架構：指定一個理想的參考模型 \(\dot{x}_m = A_m x_m + B_m r\) ，要求受控體跟隨它。

MIT 法則（梯度自適應）#

最早的設計用最速下降法最小化誤差平方 \(J = \frac{1}{2} e^2\) ，參數更新律為

\[ \dot{\theta} = -\Gamma \, e \, \frac{\partial e}{\partial \theta}, \qquad \Gamma \succ 0 \text{ 為自適應增益} \]

MIT 法則（得名於 1950 年代 MIT 儀器實驗室）直觀、易實作，但沒有穩定性保證——增益 \(\Gamma\) 過大或雜訊存在時可能失穩，正是 Rohrs 反例式事故的溫床。

Lyapunov 為基礎的自適應律#

現代做法反過來：先選 Lyapunov 函數，再推出自適應律。以一階系統 \(\dot{x} = a x + u\) （ \(a\) 未知）為例。取控制器 \(u = \hat{a}_p x - a_m x\) ，追蹤誤差 \(e = x - x_m\) ，選

\[ V = \frac{1}{2} e^2 + \frac{1}{2\gamma} \tilde{a}^2, \qquad \tilde{a} = \hat{a}_p - a_p \]

求導並選擇自適應律 \(\dot{\hat{a}}_p = -\gamma e x\) ，可驗證

\[ \dot{V} = -a_m e^2 \leq 0 \quad (a_m > 0) \]

由 4.1 節的直接法： \(V\) 不增 ⟹ \(e\) 與 \(\tilde{a}\) 有界；再用 Barbalat 引理得 \(e \to 0\) 。注意： \(\tilde{a}\) 有界但不必然收斂到零（除非滿足持續激勵條件）——估計收斂與控制收斂是兩件事。

系統辨識與持續激勵#

適應性控制的另一半是系統辨識（System Identification）：線上估計參數。最小平方法（RLS）與梯度法是兩大工具。參數能否收斂到真值，取決於輸入訊號是否持續激勵（Persistently Exciting, PE）：

\[ \int_{t}^{t+T} \phi(\tau) \phi^{\top}(\tau) \, d\tau \succeq \alpha I > 0, \quad \forall t \]

遞迴最小平方法（RLS）#

若將辨識問題寫成線性回歸 \(y_k = \phi^{\top}_k \theta^*\) （ \(\theta^*\) 為待估參數），RLS 以指數遺忘因子 \(\lambda_f \in (0, 1]\) 逐步更新：

\[ \hat{\theta}_k = \hat{\theta}_{k-1} + K_k \left( y_k - \phi^{\top}_k \hat{\theta}_{k-1} \right), \qquad K_k = P_{k-1} \phi_k \left( \lambda_f + \phi^{\top}_k P_{k-1} \phi_k \right)^{-1} \]

其中 \(P_k\) 是參數估計的協方差矩陣。 \(\lambda_f = 1\) 對應純最小平方； \(\lambda_f < 1\) 讓舊資料指數淡出，適合追蹤緩慢時變參數——但遺忘太快會在訊號不夠豐富時造成協方差爆發與參數漂移，又回到「學習 vs. 強健」的張力。

直覺：要辨識 \(n\) 個參數，訊號必須「夠豐富」——正弦訊號需要至少 \(\frac{n+1}{2}\) 個不同頻率。這是系統辨識版的「資料多樣性決定學習上限」，與機器學習中「資料分布覆蓋度決定泛化能力」遙相呼應。

實例：飛行器品質自適應#

無人機吊掛未知負載時，等效品質 \(m\) 與轉動慣量改變，PID 增益失配。以 MRAC 架構：參考模型設定理想角回應，自適應律線上估計 \(\frac{1}{m}\) 進入前饋增益。實驗顯示，負載從 0 kg 變到 1 kg 時，固定增益控制器超調量顯著增大，MRAC 則在數秒內恢復原響應。這類「參數劇變下維持性能」正是適應性控制的價值所在。

適應性控制的內在張力#

面向 優點 風險
性能 參數匹配時性能逼近參考模型 過渡期誤差可能放大
收斂 Lyapunov 保證誤差有界/收斂 參數收斂需 PE 條件
強健性 能追蹤緩慢時變參數 對未建模動態、雜訊敏感

1980 年代的教訓可以用一句話概括：自適應律的「學習速度」與「強健性」互相拉扯—— \(\Gamma\) 大學得快但易受雜訊與未建模動態激發而漂移。強健化的手段包括： \(\sigma\) -修正、 \(e_1\) -修正、投影算子、死區（dead-zone）等，每一種都是在 Lyapunov 框架內加入修正項，代價是放棄部分漸近性質。這個張力，正是 1990 年代強健控制學派興起的直接原因。

與機器學習的關係#

MRAC 的「模型 + 梯度更新 + 穩定性證明」結構，可視為最早的線上學習系統。今日的類神經網路自適應控制、高斯過程強健化、以及基於強化學習的控制，都可視為把「可調參數 \(\theta\) 」從線性參數化推廣到非線性函數逼近器。但 Lyapunov 證明的框架仍是判斷這些新方法能否安全部署的尺規——理論不因模型花俏而失去地位。

小結#

  • 適應性控制以「線上估參 + 控制器重構」應對未知或時變參數，源於 1950 年代飛控需求。
  • MIT 法則直觀但無穩定性保證；Lyapunov 法反向設計自適應律，保證誤差有界並收斂。
  • 參數收斂需要持續激勵；控制收斂與參數收斂是兩個層次。
  • 1980 年代的不穩定事件（Rohrs 反例）暴露對未建模動態的脆弱性，引發強健化修正浪潮。

延伸到下一節#

適應性控制「邊學邊控」，強健控制則問另一個問題：與其學習，不如一開始就設計一個經得起所有不確定性的控制器。1990 年代， \(H_{\infty}\) 迴路塑造以小增益定理為核心，把「最壞情況」直接寫進數學。兩派哲學之爭，請見 4.3。