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5.2 有限視界最佳化與約束條件處理#

5.2.1 前因：1990 年代的穩定性疑慮#

5.1 節末尾指出，滾動優化「每步只施加第一步」的策略缺乏顯而易見的穩定性理由。1990 年代初，文獻中甚至出現了 MPC 閉環不穩定的實際案例：當預測視界 \(N_p\) 太短、或模型失配過大時，控制器可能驅使系統振盪甚至發散。這促使理論界在 1990 年代後期到 2000 年代初發展出以終端代價（terminal cost）與終端集合（terminal set）為核心的穩定性理論，如今已成為教科書標準。

5.2.2 問題設定：帶約束的有限視界最佳化#

考慮離散時間線性系統與狀態、輸入約束：

\[ x_{k+1} = A x_k + B u_k, \qquad x_k \in \mathcal{X}, \quad u_k \in \mathcal{U} \]

其中 \(\mathcal{X}\) 與 \(\mathcal{U}\) 是包含原點的凸多面體集合，例如輸入飽和 \(|u| \le u_{\max}\) 。在時刻 \(k\) ，MPC 求解：

\[ \min_{u_0,\dots,u_{N-1}} \; V_N(x_k, \mathbf{u}) = \sum_{i=0}^{N-1} \left( x_{k+i}^{\top} Q \, x_{k+i} + u_{k+i}^{\top} R \, u_{k+i} \right) + x_{k+N}^{\top} P \, x_{k+N} \]
\[ \text{subject to} \quad x_{k+i+1} = A x_{k+i} + B u_{k+i}, \quad x_{k+i} \in \mathcal{X}, \quad u_{k+i} \in \mathcal{U} \]
\[ x_{k+N} \in \mathcal{X}_f \]

三個約束角色分明：路徑約束 \(x \in \mathcal{X}\) 、 \(u \in \mathcal{U}\) 規範過程中的可行域；終端約束 \(x_{k+N} \in \mathcal{X}_f\) 為穩定性理論的樞紐。

5.2.3 穩定性的代價函數觀點#

穩定性證明的核心想法是比較連續兩個時刻的最佳值函數。設

\[ V_N^{\star}(x) = \min_{\mathbf{u}} V_N(x, \mathbf{u}) \]

我們要證明 \(V_N^{\star}\) 是閉環系統的 Lyapunov 函數。關鍵技巧是「還原平移」論證：

  1. 在 \(k\) 時刻取得最優序列 \(u_0^{\star}, \dots, u_{N-1}^{\star}\) ；
  2. 在 \(k+1\) 時刻，取候選序列 \(u_1^{\star}, \dots, u_{N-1}^{\star}, u_{\mathrm{f}}(x_{k+N}^{\star})\) ，其中 \(u_{\mathrm{f}}(\cdot)\) 是終端回饋律（例如 LQR 增益 \(u_{\mathrm{f}} = K x\) ）；
  3. 候選序列的代價與 \(V_N^{\star}(x_k)\) 之差為：
\[ V_N(x_{k+1}, \mathbf{u}_{\mathrm{cand}}) - V_N^{\star}(x_k) = -\left( x_k^{\top} Q \, x_k + u_k^{\star\top} R \, u_k^{\star} \right) + \underbrace{\left( x_{k+N+1}^{\star\top} P \, x_{k+N+1}^{\star} - x_{k+N}^{\star\top} P \, x_{k+N}^{\star} \right)}_{\text{終端代價的變化}} \]

若能令末項 \(\le -x_{k+N}^{\star\top} Q \, x_{k+N}^{\star} - u_{k+N}^{\star\top} R \, u_{k+N}^{\star}\) ，則得到衰減不等式：

\[ V_N^{\star}(x_{k+1}) \le V_N^{\star}(x_k) - \left( x_k^{\top} Q \, x_k + u_k^{\top} R \, u_k \right) \]

此即 \(V_N^{\star}\) 沿閉環軌跡嚴格遞減，閉環漸近穩定。

5.2.4 終端代價與終端集合的設計條件#

上述論證要成立， \(P\) 、 \(\mathcal{X}_f\) 、 \(u_{\mathrm{f}}\) 必須滿足三個條件：

  1. Lyapunov 不等式（終端代價的衰減性）：
\[ (A + B K)^{\top} P \, (A + B K) - P \le -Q - K^{\top} R \, K \]
  1. 不變性：終端集合 \(\mathcal{X}_f\) 在 \(u_{\mathrm{f}}(x) = K x\) 下正向不變，即
\[ x \in \mathcal{X}_f \;\Rightarrow\; (A + BK)x \in \mathcal{X}_f, \quad Kx \in \mathcal{U}, \quad (A+BK)x \in \mathcal{X} \]
  1. 包含性： \(\mathcal{X}_f \subseteq \mathcal{X}\) （終端集合必須在約束集合內）。

當 \((A,B)\) 可控且 \(Q, R\) 嚴格正定時，取 \(P\) 為對應 LQR 的 Riccati 解、 \(K\) 為 LQR 增益，條件 1 自動成立； \(\mathcal{X}_f\) 則可取為最大可容許集合，以線性規劃計算。

5.2.5 QP 化：約束如何變成矩陣不等式#

線性 MPC 的最佳化問題是一個二次規劃。將所有預測堆疊為 \(X = [x_1; \dots; x_N]\) 、 \(U = [u_0; \dots; u_{N-1}]\) ，動態方程可寫成：

\[ X = \Gamma \, x_k + \Psi \, U \]

其中 \(\Gamma\) 、 \(\Psi\) 由 \(A\) 、 \(B\) 的冪次組成。代入後，問題化為標準 QP：

\[ \min_{U} \; \frac{1}{2} U^{\top} H U + g^{\top} U, \qquad \text{s.t.} \quad C_U U \le b_U + F \, x_k \]

矩陣 \(H\) 由 \(Q\) 、 \(R\) 與 \(P\) 堆疊而成（永遠半正定）， \(C_U\) 編碼了輸入上下限、輸出約束與終端集合。約束右端的 \(F x_k\) 項表示每個採樣時刻都要依當前狀態更新約束——這也是 MPC 的一個著名隱患：若不保證 \(F x_k\) 可行，QP 可能無解。終端集合的引入同時解決了可行性繼承問題：一旦在 \(k\) 時刻可行， \(k+1\) 時刻必可行。

5.2.6 實例：連續攪拌反應器（CSTR）的溫度控制#

CSTR 進行放熱反應，狀態為濃度 \(x_1\) 與溫度 \(x_2\) ，輸入為冷卻套管溫度 \(u\) ：

  • 溫度上限 \(x_2 \le T_{\max}\) （安全約束，硬約束）；
  • 冷卻能力 \(u_{\min} \le u \le u_{\max}\) （執行器約束）；
  • 目標：把反應穩定在接近最佳轉化率的操作點。

該操作點本身在開環下不穩定，且 PID 控制容易觸發溫度上限。採用帶終端約束的 MPC 後：QP 會預見「若現在加大進料，30 秒後溫度將撞到 \(T_{\max}\) 」這一後果，從而提前限制動作。這就是預測與約束結合的價值——控制器在違規發生前就改變行為。

5.2.7 軟約束與實務妥協#

嚴格的硬約束可能導致 QP 不可行（例如大的輸出擾動使 \(y \le y_{\max}\) 無法維持）。實務做法是引入鬆弛變數 \(\varepsilon \ge 0\) 並在其上加重罰：

\[ \min_{U, \varepsilon} \; V_N(x_k, U) + \rho \, \varepsilon^{\top} S \, \varepsilon, \qquad \text{s.t.} \quad y_{\min} - \varepsilon \le y \le y_{\max} + \varepsilon \]

工業 MPC（如 AspenTech DMCplus、Honeywell RMPCT）普遍採用此「軟約束 + 優先序」設計，兼顧安全性與可行性。

小結#

2000 年代的理論突破將 MPC 的穩定性問題轉化為代價函數的 Lyapunov 分析：合適的終端代價 \(P\) 、終端回饋 \(K\) 與不變終端集合 \(\mathcal{X}_f\) 共同保證值函數遞減，閉環穩定與約束可行得以同時成立。帶約束的 MPC 最終化為標準 QP，這為線上求解器的研究鋪路。

延伸到下一節#

穩定性理論確立後，瓶頸轉移到速度：每個採樣週期內必須解完一個 QP，對快速系統（馬達、車輛）而言，通用最佳化軟體太慢。2010 年代的回應有二：一是將 QP 的解預先離線算成顯式分段線性函數（顯式 MPC），二是專為嵌入式硬體設計的高效 QP 求解器（如 OSQP 的 ADMM 演算法）——這是 5.3 節的主題。