5.3 顯式 MPC 與即時優化求解器#

5.3.1 前因：理論已備，速度成為瓶頸#

5.2 節確立了帶終端約束的線性 MPC 可化為標準 QP，並有嚴格的穩定性保證。但工程落地面臨算力經濟學的考驗：對採樣週期為毫秒級的系統（伺服馬達、汽車動力學、電力電子），在硬體上每步求解一個含數百個約束的 QP，在 2010 年以前幾乎不可行。問題於是分裂為兩條路線：

離線路線：把 QP 的解「預先」算好，線上只需查表——顯式 MPC（Explicit MPC）。
線上路線：設計專為嵌入式硬體優化的求解器，使 QP 求解本身快到毫秒級——即時 QP 求解器。

兩條路線共同背後的驅動力是嵌入式計算平台的普及：微控制器算力增長使「控制器 = 求解器」的架構能離開機房、進入即時迴路。

5.3.2 顯式 MPC：解作為分段線性函數#

Bemporad、Morari 等人在 2000 年代初證明了一個深刻的結構性結果：帶約束線性 MPC 的最優解是狀態的分段線性（piecewise affine, PWA）函數。

回顧 5.2 節的 QP：

\[ \min_{U} \; \frac{1}{2} U^{\top} H U + g^{\top} U, \qquad \text{s.t.} \quad C_U U \le b_U + F x \]

用 KKT 條件（Karush–Kuhn–Tucker）分析：對固定的主動約束集 \(\mathcal{A}(x)\) ，最優解是 \(x\) 的仿射函數：

\[ U^{\star}(x) = -H^{-1} \left( g + C_{\mathcal{A}}^{\top} \lambda^{\star} \right), \qquad \lambda^{\star} = \left( C_{\mathcal{A}} H^{-1} C_{\mathcal{A}}^{\top} \right)^{-1} \left( b_{\mathcal{A}} + F_{\mathcal{A}} x - C_{\mathcal{A}} H^{-1} g \right) \]

主動約束集只有在 \(x\) 跨越特定超平面時才改變，因此狀態空間被劃分為有限個多面體區域 \(\mathcal{R}_i\) ，每區域上 \(U^{\star}(x)\) 仿射：

\[ U^{\star}(x) = K_i x + c_i, \qquad \forall x \in \mathcal{R}_i = \{ x \;:\; G_i x \le h_i \} \]

離線列舉所有區域後，線上控制退化為「多面體會員測試 + 一次矩陣乘法」，只需微秒級。

flowchart LR
    A[離線: 狀態空間多參數 QP] --> B[列舉主動約束集]
    B --> C[多面體區域 R_i 與仿射律 K_i, c_i]
    C --> D[線上: 找到 x 所在區域]
    D --> E[套用 u = K_i x + c_i]

5.3.3 顯式 MPC 的代價：區域爆炸#

顯式 MPC 的區域數量隨視界 \(N\) 與約束數量指數增長：一個 \(n = 4\) 、 \(N = 10\) 的問題可能產生上千個區域。記憶體與查找時間隨之膨脹，因此顯式 MPC 適合低維、短視界、高速的系統。對高維問題，區域爆炸使離線計算不可行——這正是線上求解器路線存在的理由。

5.3.4 即時 QP 求解器之一：內點法#

內點法（Interior Point Method, IPM）以障礙函數處理不等式約束，每步求解一個牛頓系統：

\[ \min_U \; \frac{1}{2} U^{\top} H U + g^{\top} U - \mu \sum_j \ln \left( b_j + (F x)_j - (C U)_j \right) \]

其優點是迭代次數幾乎不隨問題規模增長（通常 10–30 次即收斂），且每次迭代有良好的條件性質。MPC 的 QP 有特殊結構：KKT 系統是塊狀带狀（block-banded）的，可用condensed 或結構保持的稀疏分解，使每次迭代的計算量從 \(O(N^3)\) 降到 \(O(N)\) 。這類「結構感知 IPM」成為 2010 年代嵌入式 MPC 求解器（如 FORCES、FIORDOS）的核心。

5.3.5 即時 QP 求解器之二：ADMM 與 OSQP#

交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers, ADMM）以更寬鬆的收斂率換取極簡的每步迭代。OSQP（2016 年提出的開源求解器）將 QP 寫為：

\[ \min_{z} \; \frac{1}{2} z^{\top} P z + q^{\top} z, \qquad \text{s.t.} \quad l \le A z \le u \]

其 ADMM 迭代僅涉及一次 KKT 線性系統求解與一次投影：

\[ \begin{aligned} z^{j+1} &= \arg\min_z \; \frac{1}{2} z^{\top} P z + q^{\top} z + \frac{\sigma}{2} \| z - z^j \|^2 + \frac{\rho}{2} \| A z - v^j + y^j \|^2 \\ v^{j+1} &= \Pi_{[l,u]} \left( A z^{j+1} + y^j \right) \\ y^{j+1} &= y^j + A z^{j+1} - v^{j+1} \end{aligned} \]

其中 \(\Pi_{[l,u]}\) 是對盒約束的投影（逐元素截斷，計算近乎免費）。若因子化 KKT 矩陣一次後重複使用，每次迭代只剩前代後代（back substitution），在微控制器上單次迭代僅需微秒。OSQP 的成熟使「百毫瓦級微控制器上跑 MPC」成為現實。

5.3.6 嵌入式 MPC 的工程實務#

面向	典型做法
硬體	Cortex-M 級微控制器、FPGA、DSP
定點化	Q15/Q31 定點數取代浮點，需注意數值範圍
矩陣預因子化	KKT 矩陣離線 LDL 因子化，線上只做回代
熱啟動	以上一步解為初值，迭代次數大幅下降
失敗回退	達到迭代上限時沿用上一步控制量，保證安全性

熱啟動與終端約束的組合尤其重要：因為相鄰採樣時刻的最優解變化很小，熱啟動常使迭代次數降到個位數，這是「滾動優化的時間連續性反過來降低計算負擔」的典型案例。

5.3.7 實例：四旋翼無人機的姿態 MPC#

四旋翼姿態控制是嵌入式 MPC 的標竿應用：狀態維度約 12（位置、速度、姿態、角速度），輸入 4 個馬達轉速，約束包括轉速上下限與傾角上限。採用 \(N = 20\) 的 MPC 與 OSQP 型求解器，在 1 kHz 的控制頻率下於飛行控制器上即時運行，實現了穿越狹窄障礙的敏捷飛行。同樣的問題用顯式 MPC 則因區域爆炸而不可行，正好印證兩條路線的適用邊界。

小結#

2010 年代將 MPC 從「機房裡的先進控制」推進到「晶片上的即時控制器」。顯式 MPC 證明了最優控制律的 PWA 結構，適合低維高速系統；內點法與 ADMM 求解器（OSQP 等）利用 QP 的稀疏與帶狀結構實現毫秒級線上求解，適合高維問題。理論結構、演算法設計與硬體算力在此形成三向驅動。

延伸到下一節#

以上框架有一個根本假設：模型已知且線性。對非線性工業程序，模型從哪裡來？2010 年代，系統識別領域出現了 Koopman 算子理論這一新範式——它承諾把非線性動力學「提升」到高維線性空間，使線性 MPC 的全套工具得以沿用。這是 6.1 節的主題。