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8.3 低速與高速行車下的路徑規劃與回授迴圈設計#

前因：一個迴路無法包打天下#

8.2 節的幾何控制器在溫和工況下夠用，但完整自動駕駛迴路必須回答三個問題：走哪條線（規劃）？線上的誤差如何即時修正（橫向回授）？速度如何配合曲率與障礙（縱向回授）？ 低速與高速對這三題給出截然不同的答案，而答案的差異源於 8.1 節的模型差異：低速側偏可忽略（運動學主導），高速側偏與荷重轉移主導（動力學主導）。

規劃與控制的分工#

規劃頻率低（ \(1\text{--}10\ \text{Hz}\) ）、控制頻率高（ \(50\text{--}100\ \text{Hz}\) ），兩者透過參考路徑交換資訊。這種時間尺度分離允許把系統視為級聯迴路，各自穩定性可分開分析。

低速工況：運動學主導#

當 \(v < 5\ \text{m/s}\) 左右：

  • 用運動學單軌模型即可，路徑規劃核心約束是最小轉彎半徑 \(R_{\min} = L / \tan\delta_{\max}\) 。
  • 規劃器偏好曲率連續的路徑（如 clothoid、Reeds–Shepp），因為轉向角是連續物理量，曲率突變會造成轉向角速度飽和。
  • 橫向控制用純追蹤即可（8.2），縱向多用簡單 PID 追蹤速度曲線。
  • 特點：橫向與縱向幾乎不耦合，可獨立設計。

實例（自動停車）：平行停車要求在 \(2 R_{\min}\) 量級的空位完成 S 形路徑，規劃器以 Reeds–Shepp 演算法搜尋含倒車的可行路徑，追蹤層以低速純追蹤執行——倒車時 \(\dot{\theta} = (v/L)\tan\delta\) 中 \(v < 0\) ，誤差動態反號，控制器增益必須依行進方向調整。

高速工況：動力學主導#

當 \(v > 15\ \text{m/s}\) ：

  • 輪胎側偏、荷重轉移、以及側向加速度上限（舒適性約 \(a_y \le 3\ \text{m/s}^2\) ）成為主導約束。
  • 規劃器必須輸出速度剖面：依曲率 \(\kappa(s)\) 反算允許速度，例如由側向加速度限制得：
\[ v_{\max}(s) = \sqrt{\frac{a_{y,\max}}{|\kappa(s)|}} \]
  • 橫向控制改用動力學模型與狀態回授（LQR 或 MPC），8.1 節的動力學單軌模型正是狀態空間形式，可直接套用。

LQR 橫向控制器#

以橫向誤差 \(e_y\) 、橫向速度、航向誤差 \(e_{\theta}\) 、橫擺誤差為狀態，控制量為前輪轉角，動力學單軌模型線性化後為 \(\dot{z} = A(v) z + B(v) \delta + E(v)\kappa_{\text{ref}}\) 。LQR 求解：

\[ \min_{\delta} \int_0^{\infty} \left( z^{\mathsf T} Q z + \delta^{\mathsf T} R \delta \right) dt \quad \Rightarrow \quad \delta = -K(v)\, z \]

後果：增益 \(K\) 是速度的函數，實務上以增益排程（gain scheduling）隨 \(v\) 切換——這正是「低速/高速分別設計」在數學上的體現。

橫向與縱向的耦合與解耦#

橫向與縱向透過兩個通道耦合：

  1. 摩擦橢圓：縱向力與側向力共享輪胎摩擦預算 \(\left( F_x / F_{x,\max} \right)^2 + \left( F_y / F_{y,\max} \right)^2 \le 1\) 。急加速會削弱轉向能力（前驅車的不足轉向）。
  2. 幾何耦合：彎道中縱向速度直接決定側向加速度 \(a_y = v^2 \kappa\) 。

實務解法是弱耦合設計：縱向規劃遵守 \(v_{\max}(s)\) 曲線（吸收幾何耦合），橫向控制考慮當前 \(v\) （吸收模型耦合），摩擦橢圓則由「舒適性約束 + 超速保護」隱式處理。只有賽車或緊急閃避才需要顯式的耦合最優控制。

與 MPC 的銜接#

模型預測控制把規劃與控制統一在同一框架：

\[ \min_{\delta(\cdot), a(\cdot)} \; \sum_{k=0}^{N-1} \Big\| z_k \Big\|_Q^2 + \Big\| \delta_k \Big\|_R^2 + \Big\| \delta_{k+1} - \delta_k \Big\|_S^2 \]
\[ \text{s.t.} \quad z_{k+1} = f(z_k, \delta_k, a_k), \quad |\delta_k| \le \delta_{\max}, \quad |\dot{\delta}_k| \le \dot{\delta}_{\max}, \quad |a_k| \le a_{\max} \]

MPC 相對幾何/LQR 的優勢與代價：

  • 顯式處理約束：轉向角、角速度、加速度上限直接寫進優化，不靠事後限幅。
  • 預測未來：能提前減速入彎（利用 \(v_{\max}(s)\) 預覽）。
  • 橫縱一體：可以同時優化 \(\delta\) 與 \(a\) ，處理摩擦橢圓耦合。
  • 代價：每步需解二次規劃，對即時性與模型精度要求高；預測時域 \(N\) 與頻率的取捨是工程核心。

級聯架構（工業常見折衷）：上層 MPC 生成平滑的速度剖面與鬆弛路徑，下層用高頻 LQR/Stanley 追蹤——兼顧預測能力與計算餘裕。

迴路的閉合#

完整迴路的驅動關係可總結為：

小結#

  • 規劃（低頻）與控制（高頻）以參考路徑級聯，時間尺度分離使兩層可分別設計與驗證。
  • 低速以最小轉彎半徑與曲率連續路徑為約束，橫縱近解耦，幾何控制器足夠。
  • 高速必須引入動力學模型、速度剖面 \(v_{\max}(s) = \sqrt{a_{y,\max}/|\kappa|}\) 與增益排程 LQR。
  • MPC 以顯式約束與預測能力統一橫縱控制，是幾何法極限的自然延伸；級聯架構是其工程折衷。

延伸到下一章#

本章完成了「車輛模型 → 幾何控制 → 規劃與回授閉環」的主線。下一章將把視野擴大到模型不確定性與學習方法：當輪胎剛度、載重甚至路面摩擦都未知時，自適應與強化學習如何接手第 8 章固定模型留下的空白。