跳轉到

11.1 步行機器的簡化物理模型：倒單擺模型（LIPM）與質心動力學擴展、ZMP#

前言：為什麼步行需要「簡化」#

雙足步行是一個高維、混合動力（hybrid dynamics）的問題：膝關節碰撞、腳底接觸切換、多剛體耦合，使得完整方程組幾乎無法直接用於實時控制。控制理論百年來給出的答案是「降階」——把幾十個自由度壓縮成一個足以捕捉「不倒下」本質的模型。線性倒單擺模型（Linear Inverted Pendulum Model, LIPM）正是這一思想的代表作，也是後續所有學習式 locomotion 方法的解析基礎。理解 LIPM，等於理解了強化學習獎勵函數與穩定性約束的「前因」。

11.1.1 LIPM 的推導#

假設機器人質心（CoM）高度 \(h\) 恆定、腿質量可忽略、繞質心的角動量變化可忽略，則質心水平動力學可寫為：

\[ m \ddot{x} = \frac{m g}{h} (x - p_x) \]

其中 \(p_x\) 是足底壓力中心（Center of Pressure, CoP）的水平位置。定義時間常數 \(\omega = \sqrt{g/h}\) ，並以 ZMP 位置 \(p_x\) 作為控制輸入，得到經典的線性系統：

\[ \ddot{x} = \omega^2 (x - p_x) \]

這是一個「不稳定」的二階系統——倒單擺天生想倒，控制器必須不斷移動支點 \(p_x\) 來「追著質心跑」。狀態空間形式為：

\[ \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x \\ \dot{x} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ \omega^2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ \dot{x} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ -\omega^2 \end{bmatrix} p_x \]

11.1.2 ZMP：步行的穩定性判據#

零力矩點（Zero Moment Point, ZMP）由 Vukobratović 於 1969 年提出，定義為地面上使水平力矩為零的點。當 ZMP 位於支撐多邊形（support polygon）內時，機器人不會繞腳邊翻倒，此狀態稱為動態平衡：

\[ p_{\min} \le p_x = x - \frac{h}{g} \ddot{x} \le p_{\max} \]

這條不等式把「步行不倒」翻譯成了控制系統語言中的約束條件：質心加速度 \(\ddot{x}\) 越大，ZMP 離質心越遠，留給穩定的餘裕越小。著名的 ZMP 軌跡規劃法（如 Wieber 的預覽控制）即是用 LQR/預覽控制追蹤一條位於支撐多邊形內的 ZMP 參考軌跡：

\[ \min_{u} \int_0^\infty \left( \|p_{\text{ref}}(t) - p(t)\|^2 + r u^2 \right) dt \]

這正是本書第 3 章 LQR 框架在步行問題上的直接重生。

11.1.3 質心動力學擴展#

LIPM 的三個假設在實際機器人上會破壞：質心高度變化（蹲起、上下樓）、角動量變化（擺臂、軀幹旋轉）。擴展方向包括：

  • 可變高度 LIPM：允許 \(h(t)\) 變化，此時系統變為
\[ \ddot{x} = \frac{g + \ddot{z}}{z} (x - p_x) \]

\(\ddot{z}\) 成為額外控制輸入，能主動改變「有效重力」，這是跳躍與奔跑的解析根源。

  • 角動量 LIPM（LIPM with angular momentum）：把軀幹角動量變化率 \(\dot{L}\) 加回方程：
\[ \ddot{x} = \omega^2 (x - p_x) + \frac{\dot{L}}{m h} \]
  • 捕獲點（Capture Point, CP）：定義 \(x_{\text{cp}} = x + \dot{x}/\omega\) ，其含義是「機器人停下來所需要踏到的位置」。CP 落在支撐多邊形內即可站穩，這一概念已成為推動恢復（push recovery）控制的標準工具。

11.1.4 實例：從 ASIMO 到 Atlas 與 Unitree#

  • Honda ASIMO 與早期人形機器人（如 HRP 系列）採用 ZMP 軌跡規劃 + 全身逆運動學，步態穩定但僵硬，難以應對未建模擾動——這正是解析模型的「後果」：模型失配放大為跌倒。
  • Boston Dynamics Atlas（液壓版） 在跳躍、後空翻動作中依賴模型預測控制（MPC）搭配 LIPM 類質心模型，在飛行相位與觸地相位間切換混合動力學。
  • Unitree H1 / G1 的人形策略雖以 RL 為主，但其獎勵設計中「ZMP 餘裕」「捕獲點距離」「質心高度恒定」等項，全是 LIPM 概念的存活與變形——學習取代了推導，卻沒有取代物理直覺。

11.1.5 前因後果：解析模型與學習的分工#

解析模型提供 學習方法吸收的方式
穩定性判據（ZMP/CP） 獎勵項、終止條件
質心降階動力學 策略輸入的特徵（速度估計基準）
步長–週期參數化 參考軌跡生成器，RL 只學跟蹤修正

因果鏈條十分清晰：解析降階模型給出「何為穩定」的可計算定義 → 該定義轉化為獎勵與約束 → RL 在模擬中搜尋滿足定義的動作策略 → 策略輸出再由低階 WBC（見 11.3）映射到關節力矩。LIPM 從「直接控制器」退居為「穩定性文法」，這是模擬與學習時代經典控制存活的第一種姿態。

小結#

  • LIPM 用「質點 + 恒定質心高度」的假設把步行壓縮為一個線性倒單擺，使 \(\ddot{x} = \omega^2 (x - p_x)\) 可解析處理。
  • ZMP 與捕獲點把「不倒下」轉為可計算的約束與指標，構成步態規劃與恢復控制的基礎。
  • 可變高度與角動量擴展使解析模型覆蓋跳躍、奔跑等動態步態。
  • 在學習式 locomotion 中，LIPM 概念以獎勵、終止條件與參考軌跡的形式存活。

延伸到下一節#

LIPM 告訴我們「什麼樣的質心軌跡是穩定的」，但真實四足與人形機器人在亂石、斜坡上所面對的接觸不確定性遠超解析模型。下一節將看到：當深度強化學習遇上 GPU 並行模擬（Isaac Gym），數千個「虛擬機器人」同時摔倒與爬起，策略便從海量交互中學會了 LIPM 文法之外的魯棒步態。