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9.2 緊緻性與極值定理#

本節目標#

  • 理解緊緻性的開覆蓋定義，以及「有限覆蓋」直覺。
  • 認識 Heine–Borel 定理： \(\mathbb{R}\) 的閉區間是緊緻的。
  • 一句話區分緊緻與序列緊緻。
  • 學會 Mathlib 的 IsCompact 與極值定理（Weierstrass）的 lemma。
  • 用極值定理解一道應用例題。

為什麼需要緊緻性？#

回到分析學最經典的問題：連續函數何時有最大值？

你在微積分裡學過：連續函數 \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) 必有最大值與最小值（Weierstrass 極值定理）。但反例俯拾皆是：

  • \(f(x) = \tfrac{1}{x}\) 在 \((0, 1]\) 上連續，卻無上界；
  • \(f(x) = x\) 在開區間 \((0, 1)\) 上連續，最大值「差一點」是 \(1\) ，卻取不到；
  • \(f(x) = x\) 在 \(\mathbb{R}\) 上連續，無最大值。

共同的禍源是開與無界：開區間的端點「近在眼前卻取不到」，無界集合讓函數「逃向無窮遠」。我們需要一個性質，正好排除這兩種逃逸。這就是緊緻性。

開覆蓋定義#

定義（緊緻）。 \(K \subseteq X\) 稱為緊緻的，若 \(K\) 的每個開覆蓋都有有限子覆蓋：

\[ K \subseteq \bigcup_{i \in I} U_i \ (\text{各 } U_i \text{ 開}) \implies \exists\, i_1, \dots, i_n,\ K \subseteq U_{i_1} \cup \cdots \cup U_{i_n}. \]

這個定義初看極不直覺——「有限子覆蓋」和最大值有什麼關係？直覺鋪陳如下：

  • 開覆蓋是「一張網」，每個開集罩住 \(K\) 的一部分。
  • 緊緻說的是：不管網眼多密、張數多到不可數，總能抽出有限張把 \(K\) 罩完。
  • 「有限」是關鍵：有了有限覆蓋，就能從中挑出「最緊的那張」，例如取 \(\delta = \min\) （有限個正數有最小值！），把「對每點存在」升級成「對整個集合一致成立」。

所以緊緻性是「把逐點的性質搬到整體」的機器。逐點有界 \(\to\) 一致有界、逐點連續 \(\to\) 一致連續，都是這台機器的產物。

反例： \((0, 1)\) 不緊緻——開覆蓋 \(\{(1/n, 1)\}_{n \ge 2}\) 覆蓋 \((0,1)\) ，但任取有限個，並集形如 \((1/N, 1)\) ，罩不住靠近 \(0\) 的點。 \(\mathbb{R}\) 也不緊緻—— \(\{(-n, n)\}_{n \ge 1}\) 沒有有限子覆蓋。

Heine–Borel 定理#

定理（Heine–Borel）。 \(\mathbb{R}\) 中的子集 \(K\) 緊緻 \(\iff\) \(K\) 有界且閉。

因此閉區間 \([a, b]\) 是緊緻的——這正是極值定理需要的舞臺。

證明的精神在於完備性（第 5 章的 sup 公理又出場了）：無界的話，覆蓋 \(\{(-n, n)\}\) 抓不住它；不閉的話，極限點 \(a \notin K\) 會被覆蓋 \(\{x : |x - a| > 1/n\} \cup \{\mathbb{R} \setminus \{a\}\}\) 漏掉；而 \([a, b]\) 緊緻的方向用 sup 法：設 \(c = \sup\{x : [a, x] \text{ 有有限子覆蓋}\}\) ，用完備性證 \(c = b\) 導出矛盾。

一句話對比序列緊緻：序列緊緻是「每個序列都有收斂子列收斂到集合內的點」——在度量空間（如 \(\mathbb{R}^n\) ）中兩者等價，在一般拓樸空間中不等價。

Mathlib 的 IsCompact#

Mathlib 的定義完全對應開覆蓋版本：

def IsCompact (s : Set α) : Prop :=
  ∀ ⦃F : Set (Set α)⦄, ∀ hfo : ∀ t ∈ F, IsOpen t, ∀ hsf : s ⊆ ⋃₀ F,
    ∃ t ⊆ F, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃₀ t

讀法：對每個由開集組成的族 F，若它覆蓋 s，就能抽出有限子族 t 仍覆蓋 s。

實數上的 Heine–Borel：

-- 閉區間緊緻
example : IsCompact (Set.Icc (0:ℝ) 1) := isCompact_Icc

-- 一般形式：有界且閉 ⟺ 緊緻（`isCompact_iff_bounded_isClosed`）
example (s : Set ℝ) : IsCompact s ↔ IsClosed s ∧ BddAbove s ∧ BddBelow s :=
  isCompact_iff_bddBdd_isClosed

（確切的 lemma 名以你使用的 Mathlib 版本為準，可用 exact? 搜尋；核心是 isCompact_Icc 這一族引理。）

極值定理（Weierstrass）#

定理（Weierstrass 極值定理）。設 \(K\) 為非空緊緻集， \(f : K \to \mathbb{R}\) 連續，則 \(f\) 在 \(K\) 上達到最大值與最小值。

Mathlib 把「最大值」表述成 IsMaxOn： \(f\) 在集合 \(s\) 上於點 \(a\) 取得最大值，即 \(\forall x \in s,\ f\,x \le f\,a\) 。

theorem IsCompact.exists_isMaxOn [TopologicalSpace α] [LinearOrder β]
    {s : Set α} {f : α → β} (hs : IsCompact s) (hne : s.Nonempty)
    (hcont : ContinuousOn f s) :
    ∃ x ∈ s, IsMaxOn f s x

theorem IsCompact.exists_isMinOn [TopologicalSpace α] [LinearOrder β]
    {s : Set α} {f : α → β} (hs : IsCompact s) (hne : s.Nonempty)
    (hcont : ContinuousOn f s) :
    ∃ x ∈ s, IsMinOn f s x

三個假設一一對應數學敘述：hs（緊緻）、hne（非空——少了它，空集上一切函數「無點可取」）、hcont（在 \(s\) 上連續）。注意緊緻與非空都是必要的，缺一不可。

為什麼緊緻 + 連續 = 極值？#

證明藍圖（數學版，兩步）：

  1. 緊緻集的連續像是緊緻的： \(f(K) \subseteq \mathbb{R}\) 緊緻（見 9.3 節，緊緻在連續映射下不變）。
  2. ** \(\mathbb{R}\) 的緊緻子集有上界且有上確界**，且上確界屬於該集合（因為集合是閉的）： \(\sup f(K) \in f(K)\) ，故存在 \(a \in K\) 使 \(f(a) = \sup f(K)\) 。

注意第 2 步又用到了實數完備性：sup 存在是底層引擎，緊緻性把它從「有序體公理」升級成「可達到的極值」。

應用例題#

例題。證明： \(f(x) = x^2 - 2x\) 在 \([0, 3]\) 上有最大值與最小值，並指出位置。

數學解： \(f\) 在 \(\mathbb{R}\) 上多項式，故連續； \([0,3]\) 緊緻非空，由極值定理，極值存在。求極值： \(f'(x) = 2x - 2 = 0\) 得 \(x = 1\) ；比較 \(f(0)=0\) 、 \(f(1)=-1\) 、 \(f(3)=3\) ，故最小值 \(-1\) 於 \(x=1\) ，最大值 \(3\) 於 \(x=3\) 。

注意邏輯分工：極值定理保證「存在」，微分法負責「找到」。沒有前者，後者可能白忙（例如在 \((0,3)\) 上， \(f\) 的最小值 \(-1\) 存在但最大值不存在）。

Lean 版（骨架，展示 lemma 的套用方式）：

example : ∃ x ∈ Set.Icc (0:ℝ) 3, IsMinOn (fun x => x^2 - 2*x) (Set.Icc 0 3) x ∧
          ∃ y ∈ Set.Icc (0:ℝ) 3, IsMaxOn (fun x => x^2 - 2*x) (Set.Icc 0 3) y := by
  constructor
  · exact isCompact_Icc.exists_isMinOn (Set.nonempty_Icc.mpr ⟨0, le_refl 0⟩)
      (fun x _ => (continuous_pow 2).sub continuous_const_id _) -- 函數連續
  · exact isCompact_Icc.exists_isMaxOn (Set.nonempty_Icc.mpr ⟨0, le_refl 0⟩)
      (fun x _ => (continuous_pow 2).sub continuous_const_id _)

（實際 lemma 名與 ContinuousOn 的建構方式隨 Mathlib 版本微調，重點是套用格式：緊緻 .exists_isMinOn 非空 連續。）

小結與練習#

本節重點：

概念 一句話 Lean
緊緻 每個開覆蓋有有限子覆蓋 IsCompact
Heine–Borel \(\mathbb{R}\) ：緊緻 \(\iff\) 有界且閉 isCompact_Icc 等
序列緊緻 每列有收斂子列（度量空間中與緊緻等價） IsSeqCompact
極值定理 緊緻 + 連續 + 非空 \(\Rightarrow\) 有 max/min IsCompact.exists_isMaxOn

練習：

  1. 證明 \(\mathbb{N}\) （配離散拓樸）不是緊緻的：構造一個沒有有限子覆蓋的開覆蓋。
  2. 證明有限個緊緻集的並是緊緻的。
  3. 舉一個連續函數在非緊緻集合上無最大值的例子，並指出是「不閉」還是「無界」造成。
  4. 在 Lean 中用 exact? 找出 IsCompact.exists_isMinOn 的正確名稱與參數順序，完成本節例題的 Lean 證明。
  5. 思考題：極值定理的證明中，「 \(\sup f(K) \in f(K)\) 」用到 \(f(K)\) 閉。這個閉性是從哪裡來的？（提示：連續函數下緊緻集的像是緊緻的，而 \(\mathbb{R}\) 的緊緻集是閉的。）