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1.1 從母體到樣本#

本節目標#

  • 說清楚母體（population）與樣本（sample）的區別，以及參數與統計量的對應
  • 理解為什麼人類史上一再放棄普查、改用抽樣：從 1936 年《Literary Digest》的慘敗，到 1948 年美國總統選舉民調的「杜魯門錯誤」
  • 建立統計推論的基本迴路：樣本 → 統計量 → 推論母體
  • 用 r.set_seed + g.rnorm 模擬「從一個母體抽很多樣本」，親眼看到樣本平均數的波動，並認識抽樣變異

一個開學第一天的問題#

假設你是老師，想知道「全國高中二年級學生的平均身高」。全國有幾十萬人——你不可能一個一個量。你能做的，只是量自己班上 30 個學生，然後用這 30 個數字去猜全國的平均。

這就是統計學的核心處境：

  • 母體：你想研究的那整群對象（全國高二學生的身高）。
  • 樣本：你實際拿到的資料（班上 30 人）。
  • 母體的特徵值叫參數（parameter），例如母體平均 \(\mu\) 、母體標準差 \(\sigma\) ——它們是固定的數，但通常永遠不知道。
  • 樣本的特徵值叫統計量（statistic），例如樣本平均 \(\bar{x}\) 、樣本標準差 \(s\) ——它們可以算出來，但每抽一次就變一次。
母體（未知、固定） 樣本（已知、隨機）
平均 \(\mu\) 平均 \(\bar{x}\)
標準差 \(\sigma\) 標準差 \(s\)
比例 \(p\) 比例 \(\hat{p}\)

統計推論就是箭頭右邊猜左邊的學問：

為什麼不乾脆普查？#

直覺上「問所有人」最準，但歷史一再證明：問所有人不但貴，還常常更不準。

1940 年：美國放棄詳細普查#

美國憲法要求每十年普查一次人口，起初普查員會逐項詢問大量個人資訊。到了 1940 年，人口已超過一億三千萬，逐項詳細訪查的成本與誤差都失控了。美國普查局從 1940 年起改用抽樣長表（long form）：大多數家庭只答基本題，隨機抽樣的部分家庭回答詳細題。這是「大國官方統計必然走向抽樣」的轉捩點——不是抽樣比較便宜所以妥協，而是控制得好的抽樣比失控的普查更準。

1936 年：《Literary Digest》的兩百四十萬人大翻車#

美國雜誌《Literary Digest》在 1920–1932 年連續五屆總統選舉民調全中，聲譽如日中天。1936 年它信心滿滿地寄出約一千萬份問卷，收回約 240 萬份——樣本之大前所未有——預測藍登（Alf Landon）以 57% 大勝。結果羅斯福（FDR）拿下 61% 的選票連任，預測錯了 19 個百分點，雜誌幾個月後就倒閉了。

錯在哪？不在樣本小，而在樣本偏：

  • 名單來自雜誌訂戶、電話簿與汽車登記——1936 年大蕭條年代，有電話、有汽車的人明顯偏富裕，而富裕者多支持藍登。
  • 收回的 240 萬份是自願回覆，不滿現任者更踴躍回覆（自我選擇偏差）。

樣本量 \(n = 2{,}400{,}000\) 再大，也救不了有系統的偏差。抽樣誤差隨 \(\sqrt{n}\) 縮小，但偏差不會——它在那裡就是那裡。

1948 年：杜魯門舉起那張報紙#

1948 年總統選舉，蓋洛普（Gallup）等主要民調機構一致預測杜威（Thomas Dewey）大勝杜魯門（Harry Truman）。當選的卻是杜魯門——《芝加哥論壇報》提前付印的頭版「DEWEY DEFEATS TRUMAN」成了他著名的舉報照片。

1948 年民調失誤的技術原因是配額抽樣（quota sampling）：訪員按性別、年齡、地區的固定比例湊人數，但在配額內「挑誰」由訪員自行決定，而訪員傾向挑共和黨支持者（較好約、較友善）。這之後，蓋洛普改用隨機抽樣，並修正了訪談時點與未決選民的處理，往後數十年準確度大增。

這三段歷史的共同教訓：抽樣的成敗關鍵不在「量」，而在「怎麼抽」。隨機性不是讓結果不可控，反而是讓偏差可被數學量化的前提。

統計推論的基本迴路#

把上述整理成一個會不斷重複的迴路：

  1. 從母體抽出一個隨機樣本；
  2. 對樣本計算統計量（本書先學 \(\bar{x}\) 、 \(\`s`\) ，後面還有 \(t\) 統計量等）；
  3. 用機率模型描述「如果母體是這樣，統計量會怎麼波動」；
  4. 反過來：由統計量的波動，推斷母體大概是什麼樣。

步驟 3 是整本書的引擎：「一個母體抽很多樣本，統計量會怎麼分布」。這在真實世界做不到（你只有一個樣本），但在電腦裡可以模擬——這正是本章接下來要做的事。

動手：一個母體，一千個樣本#

我們先用 r.set_seed(42) 建一個「已知答案」的母體：10,000 人的身高，平均 170 cm、標準差 7 cm。母體的 \(\mu\) 、 \(\`\sigma`\) 在這裡是上帝視角、全能看見——現實中你看不見，先看見它是為了待會驗證。

import rstatistics as r

g = r.set_seed(42)
pop = g.rnorm(10000, mean=170.0, sd=7.0)   # 上帝視角：整個母體

print(r.mean(pop), r.sd(pop))

輸出：

169.92083385516628 7.042943773660772

母體平均 169.92、標準差 7.04，跟我們設定的 170、7 很接近（模擬母體本身的隨機起伏）。

現在假裝我們不知道母體，每次只抽 \(n = 30\) 人，算出樣本平均 \(\bar{x}\) 。重複 1,000 次，觀察 \(\bar{x}\) 的波動：

g = r.set_seed(42)
means = [r.mean(g.rnorm(30, mean=170.0, sd=7.0)) for _ in range(1000)]

print(r.mean(means))                  # 1000 個 x̄ 的平均
print(r.sd(means))                    # x̄ 的波動幅度
print(7.0 / (30 ** 0.5))              # 理論值：σ/√n
print(min(means), max(means))         # 最倒霉與最幸運的樣本

輸出：

169.9944017666233
1.3296983751060767
1.2780193008453875
165.9495203632563 174.62151806842664

畫出這 1,000 個 \(\bar{x}\) 的直方圖：

g2 = r.Graphics(width=7.0, height=4.5)
g2.hist(means, main="1000 個樣本平均數的分布", xlab="樣本平均數 (cm)")
g2.save("img/sampling_dist.svg")

輸出（SVG 已存檔，可在瀏覽器開啟）：

（無文字輸出；sampling_dist.svg 內含直方圖）

圖：抽樣分布：樣本平均的散布。 抽樣分布：樣本平均的散布

這張圖就是抽樣分布（sampling distribution）的模擬版。三個關鍵觀察：

  1. 中心對：1,000 個 \(\bar{x}\) 的平均是 169.99，幾乎等於母體的 170——樣本平均平均而言沒有偏。這種性質叫不偏（unbiased），第 1.3 節談變異數時會再遇到同樣的問題。
  2. 波動可預測： \(\`\bar{x}`\) 的標準差約 1.33，跟理論值 \(\sigma/\sqrt{n} = 7/\sqrt{30} \approx 1.278\) 一致。這個量有個名字：標準誤（standard error）。
  3. 單一樣本可能很離譜：最倒霉的樣本平均只有 165.9——如果你只抽一次又剛好抽到它，你會嚴重低估全班身高。抽樣變異是真實存在的，統計學的一半篇幅都在教我們怎麼為它計帳。

樣本越大，波動越小#

把 \(n\) 從 5 加到 300，同樣跑 1,000 次：

for n in (5, 30, 300):
    g3 = r.RNG(1)                       # 每種 n 用同一顆種子，公平比較
    ms = [r.mean(g3.rnorm(n, mean=170.0, sd=7.0)) for _ in range(1000)]
    print(n, r.mean(ms), r.sd(ms), 7.0 / (n ** 0.5))

輸出：

5 169.97768078857965 3.242154721179385 3.1304951684997055
30 169.9925976127022 1.2181599600392787 1.2780193008453875
300 169.9970511857067 0.40464777516401756 0.404145188432738

波動大致按 \(1/\sqrt{n}\) 縮小： $`n$ 變 100 倍，誤差只縮 10 倍。這也解釋了民調界的老經驗： $\n = 1000`$ 上下的選舉民調，誤差約 \(\sqrt{0.25/1000} \approx 1.6\%\) ，再往上砸錢，報酬遞減。

g4 = r.set_seed(5)
p_hat = [x / 1000 for x in g4.rbinom(1000, 1000, 0.5)]   # n=1000 的民調，真支持度 50%
print(r.mean(p_hat), r.sd(p_hat), (0.25 / 1000) ** 0.5)

輸出：

0.499952 0.01609685698528768 0.015811388300841896

1,000 次「民調」的支持度落在 0.5 附近、標準差約 1.6 個百分點——這就是「±3% 抽樣誤差」的由來（95% 的樣本會落在 \(2 \times 1.6\%\) 內，詳見第 8 章）。

種子的意義#

r.set_seed(42) 回傳一個與 R 的 set.seed(42) 位元等價的亂數產生器。設定種子後，你每次執行程式都得到同一組「隨機」數——這正是教科書能貼出可重現輸出的原因。寫作業與研究程式時，永遠先設種子。

g5 = r.set_seed(42)
print(g5.runif(2))

輸出：

[0.9148060434963554, 0.9370754132978618]

這兩個數與 R 裡 set.seed(42); runif(2) 的輸出（0.9148060、0.9370754）完全相同。

與 R 對照#

set.seed(42)
pop <- rnorm(10000, 170, 7)
cat(mean(pop), sd(pop), "\n")
means <- replicate(1000, mean(rnorm(30, 170, 7)))
cat(mean(means), sd(means), "\n")

輸出：

169.9208 7.042944 
169.9944 1.329698

與 rstatistics 的輸出（169.9208…、7.0429…、169.9944…、1.3297…）完全一致——因為兩邊的亂數流就是同一串。

小結#

  • 母體的 \(\mu\) 、 $`\sigma$ 是未知常數；樣本的 $\bar{x}$ 、 $\s`$ 是可計算、但每次抽樣都不同的隨機量。
  • 普查在大型母體上既貴又容易因覆蓋不全與自願回覆而偏差（1936、1948 两次大翻車都是偏差，不是樣本不足）。
  • 統計推論的迴路：樣本 → 統計量 → 透過抽樣分布推論母體。
  • 樣本平均數的波動尺度是 \(\sigma/\sqrt{n}\) （標準誤），隨樣本數按 \(1/\sqrt{n}\) 縮小。
  • r.set_seed + g.rnorm 讓抽象的「抽樣分布」變成可以畫出來的直方圖。

練習#

  1. 把 1.1 節的模擬改成 \(n = 10\) ，重跑 1,000 次。樣本平均數的標準差大約是多少？與 \(7/\sqrt{10}\) 比較。 （提示：只改 g.rnorm 的第一個參數。）
  2. 母體改成均勻分布：g.runif(10000, 150, 190)，重做「1,000 個 \(n=30\) 樣本平均」的實驗。直方圖的形狀跟常態母體時有何不同？（提示：想想第 6 章的中央極限定理會怎麼說。）
  3. 用 g.rbinom 模擬 \(n=400\) 的民調（真支持度 0.5）1,000 次。有幾次 \(\hat{p}\) 落在 0.45 到 0.55 之外？跟 95% 這個數字接得上嗎？
  4. 歷史思考題：1936 年《Literary Digest》的樣本有 240 萬，1948 年蓋洛普的樣本只有約 5 萬，為什麼後者反而可靠？用「偏差 vs. 抽樣變異」各寫兩句話。
  5. 寫一個小函數 sample_se(n, reps)，回傳 1,000 個樣本平均數的標準差；對 \(n = 1, 4, 16, 64\) 各呼叫一次，檢查結果是否約為 \(7/\sqrt{n}\) 。