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1.2 集中趨勢#

本節目標#

  • 會算並會選：平均數（mean）、中位數（median）、加權平均（weighted mean）
  • 理解平均數對離群值敏感、中位數穩健的具體含義
  • 用程式掃描驗證一個漂亮的幾何事實：平均數最小化平方誤差總和，中位數最小化絕對誤差總和

「代表值」是什麼意思？#

給你一組數，要你挑一個數 \(c\) 來代表整組，這句話其實沒講完——用什麼標準評估挑得好不好？不同的標準會給出不同的答案，這正是本節三種「平均」的差別來源。

先備妥一組資料。這是某小公司 15 位員工的月薪（萬元），大部分人在 30–60 之間，但老闆月薪 220：

import rstatistics as r

w = [28, 30, 32, 32, 35, 36, 38, 40, 42, 45, 48, 52, 55, 60, 220]
print(r.mean(w), r.median(w))

輸出：

52.86666666666666 40

平均 52.9 萬，中位數 40 萬——差了 13 萬。哪個才是「 typical 」的薪資？

平均數：加總除以個數#

\(\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i\)

print(r.mean(w))

輸出：

52.86666666666666

中位數：排序後的中間#

把資料排序， \(\`n`\) 為奇數取正中間那個，偶數取中間兩個的平均。

print(r.median(w))
print(r.median([1, 2, 3, 100]))   # 偶數個：取 2 與 3 的平均

輸出：

40
2.5

15 個人裡有 7 人月薪高於 40、7 人低於 40——中位數描述的是排在隊伍中間的人，與老闆賺多少無關。

加權平均：有些數字「票比較重」#

若資料是「分數 × 權重」的形式（例如學期成績：期中 20%、期末 50%、報告 30%），用加權平均：

scores = [60, 80, 90]
weights = [0.2, 0.3, 0.5]
print(r.weighted_mean(scores, weights))

輸出：

81.0

手算驗證： \(\`60(0.2) + 80(0.3) + 90(0.5) = 12 + 24 + 45 = 81`\) 。

離群值：平均數的致命傷#

回到薪資例子。老闆的 220 萬在平均數裡佔了整整一票的話語權——它把總和拉高了 180 萬，除以 15 就是每人平均被拉高 12 萬。

平均數對每個數字一視同仁，因此一個極端值就能牽著它走；中位數只在乎排名，極端值再大也只影響「它是第幾名」。

這種性質叫穩健性（robustness）：把最大值從 220 改成 2200，中位數完全不動，平均數暴增到 170.9。房價、所得、網站回應時間這類右偏（少數極大值）的資料，新聞報導「平均房價」時往往正是被少數豪宅拉高的。

選擇法則：資料大致對稱 → 平均數（用到每個數字，效率高）；資料偏斜或有離群值 → 中位數（穩健）。兩者都算、互相比對，是資料分析的第一道防偽檢查——兩者差很多時，一定有故事。

為什麼是「平方」與「絕對值」？（Gauss 與最小平方法，1805 前後）#

現在回答開頭的問題：平均數和中位數不只是兩個約定俗成的算法，它們各自是某種誤差標準下的最優解。

設想我們要挑一個數 \(c\) 代表資料，並用「每個點離 \(c\) 的距離總和」衡量 \(c\) 的好壞。常見兩種衡量：

  • 平方誤差總和： \(\`S(c) = \sum_{i} (x_i - c)^2`\)
  • 絕對誤差總和： \(\`A(c) = \sum_{i} |x_i - c|`\)

用微積分（或幾何直覺）可以證明：

  • 使 \(S(c)\) 最小的 \(c\) 恰為平均數：對 \(c\) 微分得 \(-2\sum(x_i - c) = 0\) ，解出 \(c = \bar{x}\) 。
  • 使 \(A(c)\) 最小的 \(c\) 恰為中位數： \(\`A(c)`\) 的斜率是「左邊點數 − 右邊點數」，斜率由負轉正的位置正是中位數。

這兩條線索的歷史重量極不相同。最小平方法在 1805 年由 Legendre 首度公開發表（Gauss 主張自己 1790 年代就在用，兩人還為此有過著名的優先權爭議），它後來長成整座線性迴歸大廈的地基（本書第 10 章）；絕對誤差準則則一直要到 20 世紀計算機普及後，才以「分位數迴歸」等面貌被廣泛使用——因為 \(|x_i - c|\) 在 \(c = x_i\) 處有尖角、不易微分，當年處理起來太麻煩。

我們不背這個結論，直接用程式掃描驗證：對一堆候選值 \(c\) ，算出兩種誤差總和，找出各自的贏家。

import rstatistics as r

w = [28, 30, 32, 32, 35, 36, 38, 40, 42, 45, 48, 52, 55, 60, 220]

# 候選值：以 0.5 為步距掃過資料範圍
cands = [x + 0.5 * k for x in range(20, 61) for k in range(4)]

best_sq  = min(cands, key=lambda c: sum((xi - c) ** 2 for xi in w))
best_abs = min(cands, key=lambda c: sum(abs(xi - c) for xi in w))

print(best_sq, best_abs)
print(r.mean(w), r.median(w))

輸出：

53.0 40.0
52.86666666666666 40

平方誤差的贏家 53.0（掃描步距 0.5，逼近平均數 52.87）、絕對誤差的贏家 40.0（正是中位數）。兩種「平均」背後各站著一種誤差哲學：平方懲罰大誤差特別重（所以離群值能拉動平均數），絕對值一視同仁（所以中位數穩健）。

再畫出兩條誤差曲線的形狀（平方是光滑拋物線，絕對值是折線）：

g = r.Graphics(width=7.0, height=4.5)
cs = [x * 1.0 for x in range(25, 75)]
g.plot(cs, [sum((xi - c) ** 2 for xi in w) / 10000 for c in cs])
g.lines(cs, [sum(abs(xi - c) for xi in w) / 100 for c in cs])
g.title("兩種誤差總和的形狀（縮放後）", )
g.save("img/err_curves.svg")

輸出：

（無文字輸出；err_curves.svg 內含兩條曲線）

圖：兩條誤差曲線。 兩條誤差曲線

可以看到「平均數」落在光滑碗底，「中位數」落在 V 形折谷底。

動手：薪資資料的三種代表值#

import rstatistics as r

w = [28, 30, 32, 32, 35, 36, 38, 40, 42, 45, 48, 52, 55, 60, 220]

print("mean   =", r.mean(w))
print("median =", r.median(w))
print("wmean  =", r.weighted_mean(w, [1] * 15))    # 等權重 → 退化成普通平均

輸出：

mean   = 52.86666666666666
median = 40
wmean  = 52.86666666666667

等權重的加權平均就是普通平均（末位差來自浮點加總順序）。做一個更真實的加權場景：公司整體「平均薪資」若要反映職級人數結構（基層 12 人、中層 2 人、高層 1 人），就得用職級平均乘人數加權——直接把三個職級的平均薪資加起來除以 3 是錯的。

與 R 對照#

w <- c(28,30,32,32,35,36,38,40,42,45,48,52,55,60,220)
cat(mean(w), median(w), "\n")
scores <- c(60, 80, 90); weights <- c(0.2, 0.3, 0.5)
sum(scores * weights)      # R 沒有內建 weighted.mean 以外的加權時可用
weighted.mean(scores, weights)

輸出：

52.86667 40 
[1] 81

mean、median、weighted.mean 與 r.mean、r.median、r.weighted_mean 一一對應。

小結#

  • 平均數、中位數、加權平均都是「代表值」，差別在誤差標準：平方 vs. 排名 vs. 帶權票數。
  • 平均數最小化平方誤差總和，中位數最小化絕對誤差總和——本節用掃描驗證過。這解釋了平均數為何對離群值敏感（平方懲罰大誤差）、中位數為何穩健。
  • 資料偏斜或含離群值時，先看中位數；mean 與 median 相差懸殊是資料有故事的警訊。
  • 最小平方法（1805 年 Legendre 發表）是這套「平方」哲學的歷史起點，往後貫穿變異數（1.3 節）與迴歸（第 10 章）。

練習#

  1. 對薪資資料 w，把 220 依序改成 300、1000、10000，記錄 mean 與 median 的變化。median 動了嗎？
  2. 掃描驗證程式中，把候選步距從 0.5 縮到 0.01，看看 best_sq 是否更接近 r.mean(w)。
  3. 自己造一組左偏資料（多數值靠近上限、少數極小值），畫直方圖（r.Graphics().hist），比較 mean 與 median 誰在左邊。
  4. 某班成績：小考 70 分佔 20%、期中 85 分佔 30%、期末 90 分佔 50%，用 r.weighted_mean 算學期總分。若改成「期末佔 100%」呢？
  5. 證明題（提示版）：對 \(S(c) = \sum (x_i - c)^2\) 微分並令其為 0，導出 \(c = \bar{x}\) ；再論證 \(A(c) = \sum |x_i - c|\) 在 \(c\) 越過中位數時斜率由負轉正。