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6.4 信賴區間怎麼讀#

本節目標#

  • 徹底釐清最常見的誤讀：「95% 是這個區間的機率」是錯的
  • 建立正確的敘述：「95% 是這個方法的長期覆蓋率」
  • 用區間圖（100 條橫線疊在真值線上）把這件事一次說清
  • 列出實務上最常見的十個信賴區間誤讀，並給出正確說法
  • 理解「信賴區間」與「機率陳述」的差異，以及 Bayesian 可信區間為什麼長得像

問題：「這個區間有 95% 的機率包含真值」——這句話錯在哪？#

我們幾乎每個做統計的人都聽過（或說過）這句話：

「我們算出的 95% 信賴區間是 \([47.6, 57.9]\) ，所以真值 \(\mu\) 有 95% 的機率落在這個區間裡。」

這句話是錯的。 而且它錯得很微妙，因為聽起來非常合理。

為什麼它錯？#

回到 6.2 節的推導。在我們還沒抽樣之前，母體是固定的、 \(\mu\) 是一個未知的常數。而區間的端點

\(\bar{X} \pm t_{\alpha/2,n-1}\frac{S}{\sqrt{n}}\)

是隨機的（因為 \(\bar{X}\) 和 \(S\) 是隨機的）。所以：

  • 在抽樣之前， \(\mu\) 是一個固定的數字。「 \(\mu\) 落在某個隨機區間裡的機率」這種說法本身就不成立——除非我們給 \(\mu\) 一個主觀的先驗分布（那就是 6.4 節最後講的 Bayesian 做法）。
  • 在抽樣之後， \(\bar{X}\) 和 \(S\) 已經變成了已知的數字，區間 \([47.6, 57.9]\) 變成了一個固定的區間。此時真值 \(\mu\) 要嘛在裡面、要嘛不在——沒有機率可言。

正確的敘述（Neyman, 1934）#

方法 \(M\) 是「信心水準 95% 的」，意思是：如果反覆使用 \(M\) 抽樣並每次做出一個區間，那麼長期下來，這些區間中有 95% 會包含真值。

主詞是「方法」，不是「這個區間」。 這是本章的全部重點。

用一個類比：

就像擲硬幣。說「這枚硬幣正面朝上的機率是 50%」是對的（因為它還沒擲）。但一旦擲完了、平放在桌上，你說「這枚硬幣正面朝上的機率是 50%」就不對了——它要嘛朝上要嘛朝下，是 0 或 1。信賴區間正是「已擲完的硬幣」。

動手（一）：100 個區間畫成一張圖#

與其講道理，不如直接看。

我們做 100 次獨立重複抽樣，每次抽 \(n=30\) 個，算一個 95% \(t\) 區間，然後把 100 個區間全部畫出來。

import math
import rstatistics as r

mu, sigma, n = 50.0, 12.0, 30
B = 100
g = r.set_seed(2026)

print("=== 100 個 95% 信賴區間，看有多少個蓋住真值 μ = 50 ===")
intervals = []
cover = 0
for _ in range(B):
    s = g.rnorm(n, mean=mu, sd=sigma)
    m = r.mean(s)
    se = r.sd(s) / math.sqrt(n)
    tc = r.qt(0.975, n - 1)
    lo, hi = m - tc * se, m + tc * se
    intervals.append((lo, hi))
    if lo <= mu <= hi:
        cover += 1
print(f"蓋住真值的區間數 = {cover} / {B}（理論約 95）")
print("沒蓋住的區間：")
for i, (lo, hi) in enumerate(intervals):
    if not (lo <= mu <= hi):
        print(f"  第 {i+1:>3} 個：[{lo:.4f}, {hi:.4f}]")
print()
print("前 10 個區間：")
for i, (lo, hi) in enumerate(intervals[:10]):
    print(f"  {i+1:>3}: [{lo:.4f}, {hi:.4f}]  寬度 = {hi-lo:.4f}")
widths = [hi - lo for lo, hi in intervals]
print(f"平均寬度 = {r.mean(widths):.4f}，最小 = {min(widths):.4f}，最大 = {max(widths):.4f}")

輸出（實際執行）：

=== 100 個 95% 信賴區間，看有多少個蓋住真值 μ = 50 ===
蓋住真值的區間數 = 92 / 100（理論約 95）
沒蓋住的區間：
  第  23 個：[41.0921, 49.3673]
  第  40 個：[50.3265, 59.6702]
  第  65 個：[43.5183, 49.6617]
  第  69 個：[41.7246, 49.5023]
  第  79 個：[50.4477, 59.5776]
  第  85 個：[51.9980, 59.5510]
  第  90 個：[40.6143, 49.6802]
  第  97 個：[40.4932, 49.8720]

前 10 個區間：
    1: [44.2216, 54.0401]  寬度 = 9.8185
    2: [44.7467, 51.7041]  寬度 = 6.9574
    3: [45.5316, 55.2888]  寬度 = 9.7572
    4: [42.3115, 52.1962]  寬度 = 9.8848
    5: [49.0859, 58.0864]  寬度 = 9.0005
    6: [46.9244, 53.7976]  寬度 = 6.8733
    7: [47.4494, 56.4271]  寬度 = 8.9777
    8: [46.6175, 55.9441]  寬度 = 9.3266
    9: [48.2249, 55.0251]  寬度 = 6.8002
   10: [47.6118, 54.7618]  寬度 = 7.1500
平均寬度 = 8.7382，最小 = 5.2709，最大 = 11.9656

92/100 蓋住了真值。 剩下 8 個沒蓋住——注意它們不是隨機散落在任何地方，而是全都落在同一側：

  • 第 23、65、69、90、97 個的上限都小於 50（真值在區間的右邊）——這些是「低估」；
  • 第 40、79、85 個的下限都大於 50（真值在區間的左邊）——這些是「高估」。

這正是 6.2 節的直方圖在空間上的對應：抽樣分布是單峰的，所以失敗的區間會聚在兩端，而不會均勻散布。

畫成區間圖#

print()
print("=== 畫區間圖：100 條橫線疊在真值線上 ===")
g3 = r.set_seed(2026)
ivs = []
for _ in range(B):
    s = g3.rnorm(n, mean=mu, sd=sigma)
    m = r.mean(s)
    se = r.sd(s) / math.sqrt(n)
    tc = r.qt(0.975, n - 1)
    ivs.append((m - tc * se, m + tc * se))

gr = r.Graphics(width=8.0, height=9.0)
gr.plot([35, 65], [0, 0], type="n", xlab="區間端點", ylab="模擬次數", xlim=[35, 65], ylim=[0, B + 2])
x0, y0, x1, y1 = [], [], [], []
rx0, ry0, rx1, ry1 = [], [], [], []
for i, (lo, hi) in enumerate(ivs):
    y = i + 1
    if lo <= mu <= hi:
        x0.append(lo); y0.append(y); x1.append(hi); y1.append(y)
    else:
        rx0.append(lo); ry0.append(y); rx1.append(hi); ry1.append(y)
gr.segments(x0, y0, x1, y1, col="black", lwd=1)
if rx0:
    gr.segments(rx0, ry0, rx1, ry1, col="red", lwd=2)
gr.segments([mu], [0], [mu], [B + 2], col="blue", lwd=2)
gr.text(50, B + 6, f"沒蓋住真值的 {B - cover} 個用紅色標出", adj=0.5)
gr.title(main="100 個 95% 信賴區間（真值 μ = 50，藍線）")
gr.save("img/06.4-ci-coverage.svg")
print("已存 06.4-ci-coverage.svg")

輸出（實際執行）：

=== 畫區間圖：100 條橫線疊在真值線上 ===
已存 06.4-ci-coverage.svg

圖形存成 img/06.4-ci-coverage.svg：

100 個 95% 信賴區間的區間圖

怎麼看這張圖：

  • 藍線是真值 \(\mu = 50\) 的位置。
  • 黑線是 92 個蓋住了真值的區間。
  • 紅線是 8 個沒蓋住的區間——可以看到它們全部偏在一側。

這張圖把「95% 是方法的性質」變成了可以一眼看見的東西：如果你把同一套方法再跑一次（再做 100 個區間），紅線的位置會換人，但紅線的「總數」大約維持在 5 個左右。 這正是「95%」的意思——它描述的是長期平均的比例，不是某一次結果。

換信心水準看覆蓋率#

print()
print("=== 換不同 confidence level 看覆蓋率（每次 200 個區間）===")
for cl in (0.80, 0.90, 0.95, 0.99):
    g2 = r.set_seed(555)
    cov = 0
    R = 200
    for _ in range(R):
        s = g2.rnorm(n, mean=mu, sd=sigma)
        m = r.mean(s)
        se = r.sd(s) / math.sqrt(n)
        tc = r.qt(1 - (1 - cl) / 2, n - 1)
        if m - tc * se <= mu <= m + tc * se:
            cov += 1
    print(f"  confidence = {cl:.2f}: 覆蓋 {cov}/{R} = {cov/R:.3f}")

輸出（實際執行）：

=== 換不同 confidence level 看覆蓋率（每次 200 個區間）===
  confidence = 0.80: 覆蓋 153/200 = 0.765
  confidence = 0.90: 覆蓋 174/200 = 0.870
  confidence = 0.95: 覆蓋 185/200 = 0.925
  confidence = 0.99: 覆蓋 195/200 = 0.975

覆蓋率隨信心水準單調上升：0.765 → 0.870 → 0.925 → 0.975，大致對應 0.80 / 0.90 / 0.95 / 0.99。注意它不是剛好等於名稱上的數字，因為覆蓋率本身是隨機的（200 次重複抽樣的標準誤約 \(\sqrt{0.95 \times 0.05/200} \approx 0.015\) ）。

常見誤讀清單#

以下十條是實務上最常見的錯誤理解。每條都給出錯誤說法與正確說法。

誤讀 1：「這個區間有 95% 的機率包含真值」#

  • 錯：區間是抽完樣本後算出的固定數字，真值在裡面就是 100%，不在就是 0%。
  • 對：「這個方法在長期重複使用下，95% 的區間會包含真值。」
  • 進階：如果你真的想要「真值落在這個區間的機率」這種敘述，必須給 \(\mu\) 一個主觀先驗分布（Bayesian 做法），算出「可信區間（credible interval）」。那時的區間確實可以解讀成機率陳述。

誤讀 2：「95% 的資料落在這個區間裡」#

  • 錯：信賴區間是關於母體參數的，不是關於個體資料的。
  • 對：「這個區間有 95% 的機率（正確說法：方法保證 95%）涵蓋母體平均。」

誤讀 3：「既然區間這麼寬，那個 52.3 的估計值根本沒用」#

  • 錯：區間寬不等於估計值沒用。寬度反映的是資料提供的資訊量（ \(n\) 小、母體變異大），不是估計程序有錯。
  • 對：寬度是誠實的。要變窄只有兩條路：增加 \(n\) ，或接受更高的偏誤風險（例如 6.3 節的 Wilson 區間就比 Wald 寬）。

誤讀 4：「把信心水準從 95% 提到 99%，就能更『保險』」#

  • 錯：提高信心水準會讓區間變寬（6.2 節：99% 的寬度是 95% 的 1.31 倍）。寬度變大是代價，不是免費的保險。
  • 對：99% 區間的覆蓋率是 99%，但它更寬、更不精確。選 95% 還是 99% 是取捨。

誤讀 5：「覆蓋率是 95%，所以這個區間漏掉真值的機率是 5%——也就是說這個區間是錯的」#

  • 錯：覆蓋率是長期平均。單次結果「沒蓋住」不代表區間算錯了。
  • 對：在 100 個區間裡，會有約 5 個沒蓋住（本章實測 8 個，因為 100 次抽樣本身有誤差）。

誤讀 6：「 \(p\) 值和信賴區間是兩回事，可以各講各的」#

  • 錯：兩者是同一件事的兩種呈現。對 \(H_0: \mu = \mu_0\) 的雙尾檢定在 \(\alpha\) 水準拒絕 \(H_0\) ，等價於 \(\mu_0\) 不在 \(100(1-\alpha)\%\) 的信賴區間裡。
  • 對：「95% 信賴區間不包含 0」⟺「 \(t\) 檢定的 \(p\) 值 < 0.05」。這是第 7 章的主題。

誤讀 7：「 \(n\) 很小時， \(t\) 區間和 \(z\) 區間差不多」#

  • 錯：6.2 節的 Gamma 母體實驗顯示， \(n=5\) 時 \(z\) 區間覆蓋率只有 0.846， \(t\) 區間有 0.921。
  • 對： \(n\) 小時必須用 \(t\) （或更精確的方法）， \(t\) 的厚尾正是為此而設計。

誤讀 8：「 \(p\) 值 0.049 和 0.051 基本上沒差」#

  • 錯：雖然「顯著與否」的二元結論一樣，但 \(p\) 值是連續的證據強度。
  • 對：報告時同時給區間與 \(p\) 值；不要把 \(p\)` 值當成「接近門檻就當沒差異」。

誤讀 9：「多次重複抽樣後取平均，會得到一個更窄的區間」#

  • 錯：重複抽樣並平均估計值，得到的是一個更準的點估計，區間寬度取決於最終的有效樣本數（總樣本數），不是重複次數。
  • 對：把 \(`n\) 加大才會變窄。

誤讀 10：「 \(z\) 區間比 \(t\) 區間『更嚴格』，因為它假設更少」#

  • 錯： \(z\) 區間需要已知 \(\sigma\) ，這在實務上通常不成立； \(t\) 區間用 \(S\) 取代 \(\sigma\) 並自動補償。
  • 對： \(t\) 區間的覆蓋率不依賴母體是否為常態（對平均數而言）， \(z\) 區間則不然。

動手（二）：把「方法 vs 這一次」做成對照#

我們用程式把兩個敘述並排呈現：

print()
print("=== 對照：方法層級 vs 單次結果層級 ===")
g4 = r.set_seed(2026)
ivs = []
for _ in range(B):
    s = g4.rnorm(n, mean=mu, sd=sigma)
    m = r.mean(s)
    se = r.sd(s) / math.sqrt(n)
    tc = r.qt(0.975, n - 1)
    ivs.append((m - tc * se, m + tc * se))

cov = sum(1 for lo, hi in ivs if lo <= mu <= hi)
print("【方法層級】這個程序反覆使用，長期覆蓋率約 0.95")
print(f"  本次 100 次實測：{cov}/100 = {cov/100:.2f}")
print()
print("【單次結果層級】這一個區間是固定的數字")
lo, hi = ivs[0]
print(f"  第 1 個區間 = [{lo:.4f}, {hi:.4f}]")
print(f"  真值 μ = {mu:.4f} 在這個區間裡嗎？{'在' if lo <= mu <= hi else '不在'}（不是『機率 95%』，是『是』或『不是』）")
print()
print("【結論】95% 描述的是『用這個方法做 100 次，約有 95 次會蓋住』，")
print("         而不是『這一個區間有 95% 的機率蓋住』。")

輸出（實際執行）：

=== 對照：方法層級 vs 單次結果層級 ===
【方法層級】這個程序反覆使用，長期覆蓋率約 0.95
  本次 100 次實測：92/100 = 0.92

【單次結果層級】這一個區間是固定的數字
  第 1 個區間 = [44.2216, 54.0401]
  真值 μ = 50.0000 在這個區間裡嗎？在（不是『機率 95%』，是『是』或『不是』）

【結論】95% 描述的是『用這個方法做 100 次，約有 95 次會蓋住』，
         而不是『這一個區間有 95% 的機率蓋住』。

動手（三）：Bayesian 可信區間——為什麼「機率」說法在某些框架下成立#

如果我們真的想說「真值落在這個區間裡的機率是 95%」，唯一的做法是給參數一個主觀分布（先驗），然後用貝氏斯定理更新。

若先驗是 \(\mu \sim N(\mu_0, \tau_2)\) ，後驗為：

\(\mu \mid x \sim N\left(\frac{\tau^2}{\tau^2 + \sigma^2/n}\bar{x} + \frac{\sigma^2/n}{\tau^2+\sigma^2/n}\mu_0,\; \frac{\tau^2\sigma^2/n}{\tau^2+\sigma^2/n}\right)\)

這是一個真正的機率分布，所以「 \(\mu\) 落在其中 95% 的機率」是有意義的陳述。這個區間叫可信區間（credible interval）。

用 rstatistics 的常態分布函數就能算：

print()
print("=== Bayesian 可信區間：後驗分布 95% 區間 ===")
# 先驗：mu ~ N(50, 20^2)，資料：n=30, x-bar=52.0, s=11.0
tau2 = 20.0 ** 2
sig2 = 11.0 ** 2
nn = 30
xbar = 52.0
post_var = 1.0 / (1.0 / tau2 + nn / sig2)
post_mean = post_var * (50.0 / tau2 + nn * xbar / sig2)
sd_post = math.sqrt(post_var)
lo = post_mean + r.qnorm(0.025) * sd_post
hi = post_mean + r.qnorm(0.975) * sd_post
print(f"先驗：mu ~ N(50, 20^2)；資料：n = {nn}, x-bar = {xbar}, s = 11")
print(f"後驗：mu ~ N({post_mean:.4f}, {sd_post:.4f}^2)")
print(f"後驗 95% 可信區間 = [{lo:.4f}, {hi:.4f}]")
print(f"對照：頻率派 95% t 區間 = [{xbar - r.qt(0.975, nn-1)*11.0/math.sqrt(nn):.4f}, {xbar + r.qt(0.975, nn-1)*11.0/math.sqrt(nn):.4f}]")
print("→ 先驗很寬（sd=20）時，後驗區間幾乎由資料決定，兩者接近；")
print("  先驗很窄（sd=2）時，後驗會被先驗拉回去。")

輸出（實際執行）：

=== Bayesian 可信區間：後驗分布 95% 區間 ===
先驗：mu ~ N(50, 20^2)；資料：n = 30, x-bar = 52.0, s = 11
後驗：mu ~ N(51.9800, 1.9983^2)
後驗 95% 可信區間 = [48.0635, 55.8966]
對照：頻率派 95% t 區間 = [47.8925, 56.1075]
→ 先驗很寬（sd=20）時，後驗區間幾乎由資料決定，兩者接近；
  先驗很窄（sd=2）時，後驗會被先驗拉回去。

注意這裡的一個重要差異：後驗可信區間 [48.0635, 55.8966] 與頻率派區間 [47.8925, 56.1075] 幾乎一樣——因為先驗 \(N(50, 20^2)\) 的標準差 20 遠大於資料提供的資訊（ \(s/\sqrt{n} \approx 2\) ），所以後驗幾乎完全由資料決定。

把先驗收窄成 \(N(50, 2^2)\) 就會看到完全不同的結果：

print()
print("=== 先驗寬窄對後驗可信區間的影響 ===")
for tau in (20.0, 10.0, 5.0, 2.0):
    tau2 = tau * tau
    post_var = 1.0 / (1.0 / tau2 + nn / sig2)
    post_mean = post_var * (50.0 / tau2 + nn * xbar / sig2)
    sdp = math.sqrt(post_var)
    lo = post_mean + r.qnorm(0.025) * sdp
    hi = post_mean + r.qnorm(0.975) * sdp
    print(f"  先驗 N(50, {tau:g}^2): 後驗 N({post_mean:.4f}, {sdp:.4f}^2)，95% 可信區間 = [{lo:.4f}, {hi:.4f}]")
print("  頻率派 95% t 區間 = [{:.4f}, {:.4f}]".format(
    xbar - r.qt(0.975, nn-1)*11.0/math.sqrt(nn), xbar + r.qt(0.975, nn-1)*11.0/math.sqrt(nn)))

輸出（實際執行）：

=== 先驗寬窄對後驗可信區間的影響 ===
  先驗 N(50, 20^2): 後驗 N(51.9800, 1.9983^2)，95% 可信區間 = [48.0635, 55.8966]
  先驗 N(50, 10^2): 後驗 N(51.9225, 1.9690^2)，95% 可信區間 = [48.0633, 55.7816]
  先驗 N(50, 5^2): 後驗 N(51.7222, 1.8636^2)，95% 可信區間 = [48.0696, 55.3748]
  先驗 N(50, 2^2): 後驗 N(50.9959, 1.4171^2)，95% 可信區間 = [48.2183, 53.7734]
  頻率派 95% t 區間 = [47.8925, 56.1075]

這組數字說明了兩件重要的事：

  1. 先驗寬（sd ≥ 5）時，可信區間與頻率派區間幾乎無異——此時資料主導，兩種框架給出相同的實務答案（sd=10 時寬度只差 0.1）。
  2. 先驗窄（sd=2）時，可信區間被明顯拉窄並往先驗中心 50 靠（上限從 55.90 降到 55.37、53.77），後驗是「資料 + 先驗」的融合。

這印證了本章的核心：兩種框架的區間寬度取決於不同的東西（頻率派取決於抽樣誤差與 \(n\) ；Bayesian 還取決於先驗的資訊量）。

與 R 對照#

R 沒有內建的「信賴區間」函式（它是 t.test 等檢定函式的附屬輸出），但同樣的模擬可以這樣寫：

set.seed(2026)
mu <- 50; sigma <- 12; n <- 30; B <- 100

cat("=== 100 個 95% t 信賴區間 ===\n")
iv <- replicate(B, {
  x <- rnorm(n, mu, sigma); m <- mean(x); s <- sd(x)
  tt <- qt(0.975, n - 1)
  c(m - tt*s/sqrt(n), m + tt*s/sqrt(n))
})
iv <- t(iv)
cover <- sum(iv[,1] <= mu & mu <= iv[,2])
cat(sprintf("蓋住真值的區間數 = %d / %d\n", cover, B))
miss <- which(!(iv[,1] <= mu & mu <= iv[,2]))
for (i in miss) cat(sprintf("  第 %3d 個：[%.4f, %.4f]\n", i, iv[i,1], iv[i,2]))

cat("\n=== 不同 confidence level 的覆蓋率（每次 200 個）===\n")
set.seed(555)
for (cl in c(0.80, 0.90, 0.95, 0.99)) {
  R <- 200; cov <- 0
  for (i in 1:R) {
    x <- rnorm(n, mu, sigma); m <- mean(x); s <- sd(x)
    tt <- qt(1 - (1-cl)/2, n - 1)
    if (m - tt*s/sqrt(n) <= mu && mu <= m + tt*s/sqrt(n)) cov <- cov + 1
  }
  cat(sprintf("confidence = %.2f: 覆蓋 %d/%d = %.3f\n", cl, cov, R, cov/R))
}

cat("\n=== 區間圖 ===\n")
set.seed(2026)
iv2 <- t(replicate(B, {
  x <- rnorm(n, mu, sigma); m <- mean(x); s <- sd(x)
  tt <- qt(0.975, n - 1)
  c(m - tt*s/sqrt(n), m + tt*s/sqrt(n))
}))
pdf("06.4-ci-coverage-r.pdf", width = 8, height = 9)
plot(NA, xlim = c(35, 65), ylim = c(0, B + 2), xlab = "CI endpoints", ylab = "Replication",
     main = "100 95% confidence intervals (true mu = 50, blue line)")
for (i in 1:B) {
  ok <- iv2[i,1] <= mu && mu <= iv2[i,2]
  segments(iv2[i,1], i, iv2[i,2], i, col = if (ok) "black" else "red", lwd = if (ok) 1 else 2)
}
segments(mu, 0, mu, B + 2, col = "blue", lwd = 2)
dev.off()
cat("已存 06.4-ci-coverage-r.pdf\n")

輸出（實際執行）：

=== 100 個 95% t 信賴區間 ===
蓋住真值的區間數 = 92 / 100
  第  23 個：[41.0921, 49.3673]
  第  40 個：[50.3265, 59.6702]
  第  65 個：[43.5183, 49.6617]
  第  69 個：[41.7246, 49.5023]
  第  79 個：[50.4477, 59.5776]
  第  85 個：[51.9980, 59.5510]
  第  90 個：[40.6143, 49.6802]
  第  97 個：[40.4932, 49.8720]

=== 不同 confidence level 的覆蓋率（每次 200 個）===
confidence = 0.80: 覆蓋 153/200 = 0.765
confidence = 0.90: 覆蓋 181/200 = 0.905
confidence = 0.95: 覆蓋 190/200 = 0.950
confidence = 0.99: 覆蓋 200/200 = 1.000

=== 區間圖 ===
null device 
          1 
已存 06.4-ci-coverage-r.pdf

R 的結果與 Python 版幾乎完全一致（set.seed(2026) 在兩邊給出相同的隨機序列，所以 92/100 完全相同，連沒蓋住的 8 個區間編號都一樣）。confidence level 那組因為 set.seed(555) 之後的抽樣順序不同而略有差異，但結論相同。

小結#

  1. 「95% 是方法的性質，不是這一個區間的性質」——這是本章最重要的一句話。
  2. 抽完樣本後區間是固定的，真值在裡面就是 100%、不在就是 0%，沒有機率可言；用「硬幣」類比最容易記住。
  3. 區間圖是最有效的說服工具：100 條線、藍色真值線、紅色是漏掉的 8 條，而且紅線偏在一側。
  4. 覆蓋率是長期平均，單次結果「沒蓋住」不代表程序有錯；100 次實測 92 次覆蓋完全正常（抽樣誤差約 \(\pm 3\%\) ）。
  5. 想說「有 95% 的機率」就必須用 Bayesian 可信區間——但它的寬度還會受到先驗資訊量的影響。

練習#

  1. 自己做一張區間圖，但把每個區間畫成不同顏色（用 Graphics 的 segments 加上不同 col），並把沒蓋住真值的區間特別標出。比較 95% 與 99% 兩種信心水準的區間圖，直覺感受「寬度」與「覆蓋」的取捨。 （提示：先畫 99% 的版本，會看到紅線幾乎消失。）
  2. 做一個滾動實驗：固定母體，連續做 500 個 95% 區間，每做一個就記錄「到目前為止的累積覆蓋率」，把它畫成折線圖。你會看到它怎麼在 0.95 附近震盪並收斂。 （提示：用 Graphics 的 lines 加上 points。）
  3. 驗證「信賴區間與檢定的等價性」：對同一批資料，計算 95% \(t\) 區間，並對一串 \(\mu_0\) 檢查「 \(\mu_0\) 是否在區間內」與「 \(t\) 檢定的 \(p\) 值是否 < 0.05」是否一致。 （提示：用 r.t_test(x, mu=mu0) 搭配 r.t_test(x).conf_int。）
  4. 討論題：下列三種說法，哪個是對的？為什麼？ (a)「這個區間有 95% 的機率包含真值。」 (b)「真值有 95% 的機率在這個區間裡。」 (c)「用這個方法反覆抽樣，約 95% 的區間會包含真值。」 （提示：(c) 是 Neyman 的定義；(a) 和 (b) 都需要先驗才能成立。）
  5. 討論題：若把「信賴水準 95%」改成「在 100 個區間中至少要有 90 個蓋住真值」，這是更強還更弱的要求？模擬驗證你的判斷。 （提示：這是對有限次重複抽樣的保證，比「長期覆蓋率 95%」嚴格得多，需要用二項分布的尾端來思考。）