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7.2 單樣本 t 檢定#

本節目標#

  • 會做單樣本 t 檢定，並逐行讀懂 r.t_test 的 print 輸出
  • 分辨雙尾與單尾檢定何時該用哪一個，理解單尾的代價
  • 完整走一遍實例：飲料填充機的重量是否達到標示值

問題：填充機有沒有「短給」？#

飲料瓶身標示淨重 500 公克。品管規定：平均填充量不得低於標示。我們從生產線隨機抽了 16 瓶秤重，想知道填充機的平均填充量是否達標。

資料（公克）：

499.8 493.1 498.2 497.2 494.8 487.0 494.5 493.3 498.1
495.6 495.9 494.5 496.7 496.7 486.9 503.3

樣本平均 495.35，比 500 低了 4.65 公克。但每瓶的抽樣誤差就有 4 公克左右——這 4.65 公克的落差是機器真的短給，還是抽樣運氣？這正是第 7.1 節檢定邏輯要上場的地方。

理論：t 統計量的誕生#

母體標準差 \(\sigma\) 未知是關鍵障礙。若 \(\sigma\) 已知，\(Z = (\bar{X}-\mu_0)/(\sigma/\sqrt{n})\) 在 \(H_0\) 下就是標準常態。但實務上 \(\sigma\) 總是未知的，我們只能用樣本標準差 \(s\) 頂替：

$$ T = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \;\sim\; t_{n-1} \quad (\text{當 } H_0 \text{ 為真})

$$ 1908 年，William Gosset 以筆名 "Student" 在《The Probable Error of a Mean》發表了這個分布——他在 Guinness 啤酒廠工作，公司禁止員工發表論文（怕洩露釀造機密），所以只能化名。小樣本 + 未知變異數正是啤酒廠品管每天的處境，\(t\) 分配就是為此而生。\(t_{n-1}\) 比標準常態尾巴更厚（因為 \(s\) 本身也在晃動），樣本越小尾巴越厚；自由度 \(df = n-1\) 來自 \(s^2 = \frac{1}{n-1}\sum (X_i - \bar{X})^2\) 中 \(\bar{X}\) 吃掉了一個自由度。

三個假設，缺一不可：

  1. 觀測值獨立（同一批填充的瓶子之間不能互相影響）；
  2. 母體近常態（\(n\) 小時重要；\(n\) 大時中央極限定理會救場）；
  3. 資料是連續的量測值，不是比例或次數（那些用第 7.4 節的方法）。

動手：用 r.t_test 檢定填充量#

雙尾檢定#

先看最通用的版本：\(H_0: \mu = 500\) 對 \(H_1: \mu \ne 500\)（不管偏高或偏低都算問題）。

import rstatistics as r

x = [499.8, 493.1, 498.2, 497.2, 494.8, 487.0, 494.5, 493.3, 498.1,
     495.6, 495.9, 494.5, 496.7, 496.7, 486.9, 503.3]

t = r.t_test(x, mu=500)
print(t)

    One Sample t-test

data:  x
t = -4.4826, df = 15, p-value = 0.0004382
alternative hypothesis: true mean is not equal to 500
95 percent confidence interval:
 493.139 497.561
sample estimates:
mean of x 
   495.35

輸出逐行解讀#

  • One Sample t-test：檢定名稱。單一樣本、對一個固定值 \(\mu_0 = 500\)。
  • data: x：分析的資料。
  • t = -4.4826：檢定統計量 \(T = (\bar{x} - 500)/(s/\sqrt{16})\)。手算驗證：\(\bar{x} = 495.35\)、\(s = 4.1494\)、標準誤 \(s/\sqrt{16} = 1.0373\)，故 \(T = -4.65/1.0373 = -4.4826\)。負號表示樣本平均低於 500。
  • df = 15：自由度 \(n-1 = 16-1\)，\(T\) 在 \(H_0\) 下服從 \(t_{15}\)。
  • p-value = 0.0004382：在 \(H_0: \mu = 500\) 為真時，出現 \(|T| \ge 4.4826\) 的機率。手算：\(2 \cdot P(t_{15} \le -4.4826) = 0.00044\)。遠小於 0.05，證據非常強：填充機的平均填充量確實不是 500 公克。
  • 95 percent confidence interval: 493.139 497.561：母體平均 \(\mu\) 的 95% 信賴區間。注意 500 不在區間內——與 p 值 < 0.05 是同一件事的兩種說法（對偶性，第 7.5 節專講）。區間整體在 500 左側，方向一致：機器偏少。
  • sample estimates: mean of x 495.35：點估計。

一句話總結：有非常強的證據顯示平均填充量低於標示 500 公克，估計約 495.4 公克（95% CI：493.1–497.6）。

單尾檢定：品管問題其實是右尾#

品管關心的只有「是否短給」，即 \(H_1: \mu < 500\)。方向明確時可用單尾檢定：

t1 = r.t_test(x, mu=500, alternative='less')
print(t1)

    One Sample t-test

data:  x
t = -4.4826, df = 15, p-value = 0.0002191
alternative hypothesis: true mean is less than 500
95 percent confidence interval:
     -Inf 497.1685
sample estimates:
mean of x 
   495.35

與雙尾的差異：

  • p 值恰為雙尾的一半（0.0002191 = 0.0004382 / 2）：因為 \(T\) 的極端機率全數集中在左尾，不再分一半給右尾。手算：\(P(t_{15} \le -4.4826) = 0.000219\)。
  • 信賴區間變成單邊 (-Inf, 497.1685]：95% 信心說 \(\mu\) 低於 497.17 公克。上半界 497.17 比雙尾的上半界 497.56 更緊——單尾把全部 \(\alpha\) 預算押在一邊，那一側的界就換得更窄。
  • 臨界值從 \(\pm t_{0.975,15} = \pm 2.131\) 變成單一 \(-t_{0.95,15} = -1.753\)：拒絕域更大，但只朝左。

單尾的代價：使用前必須先聲明方向。若機器其實是「超給」（浪費原料），單尾左檢定的 p 值會趨近 1，永遠不會警報。實務建議：除非方向有事先的科學或契約依據，否則報雙尾。

亂數重現這批資料#

本節資料可用亂數重現，方便練習改參數：

import rstatistics as r

g = r.set_seed(2026)
x = [round(v, 1) for v in g.rnorm(16, mean=497.6, sd=4.2)]
print([round(r.mean(x), 2), round(r.sd(x), 2)])

[495.35, 4.15]

與上面手算的 \(\bar{x}=495.35\)、\(s=4.15\) 一致，整套分析可以完全重現。

與 R 對照#

R 的 t.test 是這個檢定的原廠實作（R 內建即 S 語言傳統）：

x <- c(499.8, 493.1, 498.2, 497.2, 494.8, 487.0, 494.5, 493.3, 498.1,
       495.6, 495.9, 494.5, 496.7, 496.7, 486.9, 503.3)
t.test(x, mu = 500)
t.test(x, mu = 500, alternative = "less")

    One Sample t-test

data:  x
t = -4.4826, df = 15, p-value = 0.0004382
alternative hypothesis: true mean is not equal to 500
95 percent confidence interval:
 493.139 497.561
sample estimates:
mean of x 
   495.35 


    One Sample t-test

data:  x
t = -4.4826, df = 15, p-value = 0.0002191
alternative hypothesis: true mean is less than 500
95 percent confidence interval:
     -Inf 497.1685
sample estimates:
mean of x 
   495.35

與 rstatistics 的輸出一字不差：參數名也對應（mu、alternative、R 的 "less" 對 Python 的 'less'）。r.t_test 回傳的 HTest 物件提供 p_value、statistic、parameter、conf_int、estimate 屬性，方便在程式裡取值（R 則用 $p.value、$statistic、$conf.int）。

小結#

  • 單樣本 t 檢定檢驗 \(H_0: \mu = \mu_0\)，統計量 \(T = (\bar{X}-\mu_0)/(s/\sqrt{n}) \sim t_{n-1}\)；\(t\) 分配由 Gosset（Student, 1908）為啤酒廠小樣本品管而生。
  • 輸出五要素：t 值（效應除以標準誤）、df（\(n-1\)）、p 值（\(H_0\) 下的極端機率）、CI（不含 \(\mu_0\) ⇔ 顯著）、mean of x（點估計）。
  • 單尾 p 值是雙尾的一半（方向猜對時），且把 \(\alpha\) 預算集中到一側；先聲明方向才能用。
  • 品管實例結論：p = 0.00044，平均填充量 495.4 公克，顯著低於標示 500——不是抽樣運氣。

練習#

  1. 用 r.t_test(x, mu=500, alternative='greater') 做「超給」單尾檢定。p 值是多少？為什麼接近 1？提示：\(T\) 是負的，右尾機率自然很大。
  2. 把上面的 16 筆資料每筆加 3 公克（模擬重新校正機器後），重跑雙尾檢定。p 值變多少？結論反轉了嗎？提示：\(\bar{x}\) 會變成 498.35，先猜猜 \(T\) 會落在哪。
  3. 只保留前 5 筆資料，重跑檢定。t 值與 df 各是多少？p 值還顯著嗎？體會小樣本下檢定力下滑。提示：df = 4，\(t_{4}\) 尾巴很厚。
  4. 用模擬估計：\(n=16\)、真實 \(\mu = 497\)、\(\sigma = 4.2\) 時，「\(H_0: \mu = 500\) 左尾檢定」的檢定力。提示：重複 g.rnorm(16, mean=497, sd=4.2) 幾千次，算 p_value < 0.05 的比例。
  5. 信賴區間 [493.139, 497.561] 的長度是 4.42。若希望長度減半，\(n\) 大約要幾？提示：區間長度約 \(2 t_{0.975,df} \cdot s/\sqrt{n}\)，與 \(\sqrt{n}\) 成反比。