7.5 檢定與信賴區間的對偶#

本節目標#

理解檢定與信賴區間的對偶關係：同一份資料的兩種敘述方式
用程式窮舉驗證「95% CI 不含 $\mu_0$ ⇔ 雙尾檢定 $p < 0.05$」不是口號，而是精確的等價
搞清楚對偶關係在什麼條件下成立、什麼條件下不成立
收束全章：檢定回答「是否」，信賴區間回答「多大」，兩者都要報告

問題：同一個結論，兩種說法#

回到第 7.2 節的填充機例子。資料：

499.8 493.1 498.2 497.2 494.8 487.0 494.5 493.3 498.1
495.6 495.9 494.5 496.7 496.7 486.9 503.3

r.t_test(x, mu=500) 的輸出同時給了兩個東西：

t = -4.4826, df = 15, p-value = 0.0004382
95 percent confidence interval:
 493.139 497.561

p 值說：「如果平均填充量真的是 500，看到這麼極端的資料的機率只有 0.00044」——這是一個關於證據強度的陳述。
信賴區間說：「平均填充量 95% 信心落在 493.1 到 497.6 公克之間」——這是一個關於效應大小的陳述。

同一份分析，卻是兩種語言。它們之間有沒有必然的對應關係？

答案是：有，而且是可以精確證明的等價關係。這就是本節的主題。

理論：對偶關係#

雙尾情形#

考慮檢定 $H_0: \mu = \mu_0$ 對 $H_1: \mu \ne \mu_0$，信賴水準 $1-\alpha$（例如 95%，$\alpha = 0.05$）。

$(1-\alpha)$ 信賴區間的定義是：所有不被拒絕的 $\mu_0$ 的集合。理由如下：

對某個 $\mu_0$，檢定統計量 $T = (\bar{X}-\mu_0)/(s/\sqrt{n})$。拒絕域是 $|T| > t_{1-\alpha/2, n-1}$，即

$$ |\bar{X}-\mu_0| > t_{1-\alpha/2,\,n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}

$$ - 把不等式反解，$\mu_0$ 不被拒絕的條件是

$$ \bar{X} - t_{1-\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}} \;\le\; \mu_0 \;\le\; \bar{X} + t_{1-\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}

$$ - 這正是 $(1-\alpha)$ 信賴區間的公式。

所以：

對偶定理（雙尾）：$\mu_0$ 落在 $(1-\alpha)$ 信賴區間內 $\Longleftrightarrow$ 雙尾檢定不拒絕 $H_0: \mu = \mu_0$。

用 $\alpha = 0.05$ 說，就是：

$$ \mu_0 \notin \mathrm{CI}_{95\%} \;\Longleftrightarrow\; p < 0.05

$$ 「顯著」與「CI 不含 $\mu_0$」是同一件事的兩種說法，沒有任何近似、沒有任何選擇。

單尾情形#

對偶關係在單尾也成立，但方向要對：

$H_1: \mu < \mu_0$（左尾）配單邊信賴區間 $(-\infty, U]$：$\mu_0 > U$ $\Longleftrightarrow$ 拒絕。
$H_1: \mu > \mu_0$（右尾）配單邊信賴區間 $[L, \infty)$：$\mu_0 < L$ $\Longleftrightarrow$ 拒絕。

這裡有個關鍵陷阱：雙尾檢定配雙邊 CI，單尾檢定配單邊 CI。如果拿雙尾檢定的 p 值去對單邊 CI，會系統性地搞錯結論。第 7.2 節已經展示過：單尾左檢定的 CI 是 $(-\infty, 497.1685]$，上界比雙尾的 497.561 更緊。

這個對偶為什麼重要？#

兩種語言各有所長。p 值適合回答「有沒有證據反對 $H_0$」；CI 適合回答「效應有多大、精確度如何」。只報 p 值會讓讀者無法判斷效應的實務重要性。
CI 揭露了檢定看不見的資訊。檢定只給「是／否」，CI 給「數字與範圍」。
對偶讓「p 值」的意義變得可操作。當有人問「p = 0.048 算顯著嗎？」，真正該問的是「相對應的 CI 是什麼？它離無效值有多遠？」

動手：用程式窮舉驗證#

口頭說「它們等價」不夠，我們用程式掃過一整串 $\mu_0$ 來檢查。

雙尾：掃 400 個 $\mu_0$#

import rstatistics as r
x = [499.8,493.1,498.2,497.2,494.8,487.0,494.5,493.3,498.1,
     495.6,495.9,494.5,496.7,496.7,486.9,503.3]

bad = 0
for k in range(400):
    mu0 = 488.0 + k * 0.05          # 488.00, 488.05, ..., 507.95
    t = r.t_test(x, mu=mu0)
    lo, hi = t.conf_int
    inside = (lo <= mu0 <= hi)       # mu0 在 95% CI 內？
    sig = (t.p_value < 0.05)        # 雙尾檢定顯著？
    if inside == sig:               # 兩者一致才對
        bad += 1
print("不一致的 mu0 個數:", bad)

不一致的 mu0 個數: 0

400 個 $\mu_0$，零個不一致。 對偶關係不是近似，是精確等價。

單尾：兩種方向各掃 400 個#

print("=== 單尾 less ===")
bad = 0
for k in range(400):
    mu0 = 488.0 + k * 0.05
    t = r.t_test(x, mu=mu0, alternative='less')
    lo, hi = t.conf_int              # 單邊 CI: (-inf, hi]
    if (mu0 > hi) != (t.p_value < 0.05):
        bad += 1
print("不一致的 mu0 個數:", bad)

print("=== 單尾 greater ===")
bad = 0
for k in range(400):
    mu0 = 488.0 + k * 0.05
    t = r.t_test(x, mu=mu0, alternative='greater')
    lo, hi = t.conf_int              # 單邊 CI: [lo, inf)
    if (mu0 < lo) != (t.p_value < 0.05):
        bad += 1
print("不一致的 mu0 個數:", bad)

=== 單尾 less ===
不一致的 mu0 個數: 0
=== 單尾 greater ===
不一致的 mu0 個數: 0

換個檢定，關係一樣成立#

對偶不是單樣本 t 檢定的專利。把第 7.3、7.4 節的檢定全部拿來掃：

A = [12.1,12.4,11.9,12.3,12.0,12.2,11.8,12.5,12.1,12.0,11.9,12.3]
B = [9.8,11.6,12.9,10.4,11.2,13.1,9.5,12.4,10.8,11.7]

print("=== 兩樣本 Welch：掃 mu0（平均差）===")
bad = 0
for k in range(200):
    mu0 = -0.5 + k * 0.02
    t = r.t_test(A, B, mu=mu0)
    lo, hi = t.conf_int
    if (lo <= mu0 <= hi) == (t.p_value < 0.05):
        bad += 1
print("不一致個數:", bad)

before = [148,132,141,155,129,138,150,144,136,147,133,142]
after  = [132,124,128,140,120,130,138,135,126,136,125,130]
print("=== 配對 t 檢定：掃 mu0（平均差）===")
bad = 0
for k in range(200):
    mu0 = 5.0 + k * 0.05
    t = r.t_test(before, after, paired=True, mu=mu0)
    lo, hi = t.conf_int
    if (lo <= mu0 <= hi) == (t.p_value < 0.05):
        bad += 1
print("不一致個數:", bad)

=== 兩樣本 Welch：掃 mu0（平均差）===
不一致個數: 0
=== 配對 t 檢定：掃 mu0（平均差）===
不一致個數: 0

比例檢定也是一樣#

print("=== 比例檢定：掃 p0 ===")
bad = 0
for xi in range(0, 101):
    for p0 in [i/100 for i in range(1, 100)]:
        b = r.prop_test(xi, 100, p0)
        lo, hi = b.conf_int
        if (lo <= p0 <= hi) == (b.p_value < 0.05):
            bad += 1
print("不一致個數:", bad)

=== 比例檢定：掃 p0 ===
不一致個數: 0

101 個成功次數 × 99 個 $p_0$ = 9,999 種組合，全部一致。

看一眼分界線在哪#

print("mu0      p-value      95% CI                mu0 在 CI 內?  p<0.05?")
for mu0 in [490.0, 493.0, 493.139, 495.35, 497.561, 500.0]:
    t = r.t_test(x, mu=mu0)
    lo, hi = t.conf_int
    print(f"{mu0:7.3f}  {t.p_value:.6f}  [{lo:.3f}, {hi:.3f}]   {str(lo<=mu0<=hi):>10}  {str(t.p_value<0.05):>6}")

mu0      p-value      95% CI                mu0 在 CI 內?  p<0.05?
490.000  0.000117  [493.139, 497.561]        False    True
493.000  0.038724  [493.139, 497.561]        False    True
493.139  0.050004  [493.139, 497.561]         True   False
495.350  1.000000  [493.139, 497.561]         True   False
497.561  0.050004  [493.139, 497.561]         True   False
500.000  0.000438  [493.139, 497.561]        False    True

分界點就是 CI 的端點：$\mu_0 = 493.139$（CI 下界）時 p 值剛好 0.050004（不顯著），往左一點就變顯著。CI 端點就是 p = $\alpha$ 的等價物。

順帶看單尾的分界：

for mu0 in [495.0, 497.1685, 497.2, 500.0]:
    t = r.t_test(x, mu=mu0, alternative='less')
    lo, hi = t.conf_int
    print(f"{mu0:8.4f}  p={t.p_value:.6f}  CI=({lo}, {hi:.4f}]  拒絕? {t.p_value<0.05}")

   495.0000  p=0.629755  CI=(-inf, 497.1685]  拒絕? False
 497.1685  p=0.050001  CI=(-inf, 497.1685]  拒絕? False
  497.2000  p=0.047381  CI=(-inf, 497.1685]  拒絕? True
  500.0000  p=0.000219  CI=(-inf, 497.1685]  拒絕? True

單尾的規則是「$\mu_0$ 大於 CI 上界就拒絕」——注意方向是「$>$」而不是「不在區間內」，因為單邊區間的另一半是無窮大。

動手：對偶關係的例外#

對偶關係是精確的，但不是所有檢定都自動滿足它。有兩類例外，兩者都值得親眼看到。

例外一：精確二項檢定會有「不一致」#

把上面的比例掃描換成 r.binom_test（精確二項法）：

print("=== 精確二項：掃 p0 ===")
bad = []
for xi in range(0, 101):
    for p0 in [i/100 for i in range(1, 100)]:
        b = r.binom_test(xi, 100, p0)
        lo, hi = b.conf_int
        if (lo <= p0 <= hi) == (b.p_value < 0.05):
            bad.append((xi, p0))
print("不一致個數:", len(bad), " 前 5 個:", bad[:5])

不一致個數: 54  前 5 個: [(2, 0.07), (7, 0.03), (8, 0.15), (10, 0.05), (12, 0.2)]

9,999 種組合中有 54 種不一致。 為什麼？

看其中一例：$x = 12$、$n = 100$、$p_0 = 0.2$。

b = r.binom_test(12, 100, 0.2)
print("p =", b.p_value)
print("CI =", b.conf_int)
print("0.2 在 CI 內？", b.conf_int[0] <= 0.2 <= b.conf_int[1])

p = 0.04534895995356885
CI = [0.06356890256115919, 0.20023568361996846]
0.2 在 CI 內？ True

p = 0.0453 < 0.05（應該「顯著」），但 $p_0 = 0.2$ 落在 CI 內（應該「不顯著」）。矛盾。

原因：這裡有兩個不同的「雙尾」定義。

Clopper–Pearson 區間是把單尾精確檢定在 $\alpha/2$ 與 $1-\alpha/2$ 兩端反解出來的結果（即「$p_0$ 落在區間內當且僅當不拒絕」）。
R 的雙尾精確 p 值則是用「機率排序法」算的：把所有機率不大於觀察值之機率的結果全部加總。

在對稱的連續分布裡這兩種定義會給出同樣的結論；但二項分布是離散的、機率有並列（很多不同的 $k$ 有相同的機率），兩種定義就不再互相對應。於是在 p 值剛好落在 0.05 附近的組合上，「p < 0.05」與「$p_0$ 在不在 CI 內」就可能分道揚鑣。

順帶一提，精確二項的 p 值是由有限個結果的機率加總而成，因此它的取值是離散的格點，不像連續分布的 p 值那樣可以取到任意精細的值。這正是「$p = 0.048$」與「$p = 0.052$」之間可能藏著完全不同的證據結構的原因。

實務含意：報告精確二項檢定的結果時，除了 p 值也給出 CI，是特別重要的——因為 p 值在 0.05 附近的判讀不穩定，而 CI 把「距離無效值多遠」講清楚了。

例外二：p 值與 CI 的「$\alpha$ 預算」必須一致#

假設你做了雙尾檢定（$\alpha = 0.05$），卻報告90% 的信賴區間。這時：

雙尾 p 值 < 0.05 $\Longleftrightarrow$ $\mu_0$ 不在 95% CI 內
但與 90% CI 沒有對應關係（90% CI 一定包含在 95% CI 內，所以「不在 90% CI 內」比「不在 95% CI 內」更嚴格）

對偶關係要求 CI 的信賴水準 = 1 − 雙尾 α（這裡 $\alpha = 0.05$）。用 conf_level=0.90 做雙尾 $\alpha = 0.05$ 的檢定，兩者就對不上了。

t = r.t_test(x, mu=500, conf_level=0.90)
print(t.conf_int)          # 90% CI
t2 = r.t_test(x, mu=500, conf_level=0.95)
print(t2.conf_int)         # 95% CI

[493.53148309049413, 497.1685169095059]
[493.1389528228482, 497.56104717715186]

r.t_test 的 conf_level 預設就是 0.95，正好對應雙尾 $\alpha = 0.05$。不要隨手改它，否則對偶關係就斷了。

例外三：只有雙尾才對稱#

第 7.4 節提過：單尾檢定把整個 $\alpha$ 預算押在一邊，所以單尾 p 值恰為雙尾的一半。如果用雙尾 p 值去對單邊 CI，會得到錯誤結論：

t_less = r.t_test(x, mu=500, alternative='less')
print("單尾 p =", t_less.p_value, " 單邊 CI =", t_less.conf_int)

單尾 p = 0.00021912062541166845  單邊 CI = [-inf, 497.1685169095059]

如果誤以為「$\mu_0 = 500$ 不在單邊 CI 內 → 顯著」，你會得到對的結論，但那是巧合：雙尾 p = 0.000438 也 < 0.05。在臨界附近這種巧合就會失效。永遠讓 CI 的型態與檢定的 alternative 對應。

與 R 對照#

R 的 t.test 回傳的 conf.int 與 p.value 之間有完全相同的對偶關係。R 端重跑同一組掃描：

x <- c(499.8,493.1,498.2,497.2,494.8,487.0,494.5,493.3,498.1,495.6,495.9,494.5,496.7,496.7,486.9,503.3)
bad <- 0
for (k in 0:399) {
  mu0 <- 488 + k*0.05
  tt <- t.test(x, mu=mu0)
  ci <- tt$conf.int
  if ((ci[1] <= mu0 && mu0 <= ci[2]) == (tt$p.value < 0.05)) bad <- bad + 1
}
cat("two-sided mismatches:", bad, "\n")
bad <- 0
for (k in 0:399) {
  mu0 <- 488 + k*0.05
  tt <- t.test(x, mu=mu0, alternative="less")
  if ((mu0 > tt$conf.int[2]) != (tt$p.value < 0.05)) bad <- bad + 1
}
cat("less mismatches:", bad, "\n")

two-sided mismatches: 0 
less mismatches: 0

精確二項的「不一致」在 R 裡完全一樣：

bad <- 0
for (xi in 0:100) for (p0 in (1:99)/100) {
  b <- binom.test(xi, 100, p=p0)
  ci <- b$conf.int
  if ((ci[1] <= p0 && p0 <= ci[2]) == (b$p.value < 0.05)) bad <- bad + 1
}
cat("binom mismatches:", bad, "\n")

binom mismatches: 54

分界點的數值也一致：

for (mu0 in c(490.0, 493.0, 495.35, 500.0)) {
  tt <- t.test(x, mu=mu0)
  cat(sprintf("%.3f  %.6f  [%.3f, %.3f]\n", mu0, tt$p.value, tt$conf.int[1], tt$conf.int[2]))
}

490.000  0.000117  [493.139, 497.561]
493.000  0.038724  [493.139, 497.561]
495.350  1.000000  [493.139, 497.561]
500.000  0.000438  [493.139, 497.561]

R 的 t.test 物件結構不同：tt$conf.int、tt$p.value、tt$statistic、tt$parameter；rstatistics 則是 t.conf_int、t.p_value、t.statistic、t.parameter。

小結#

對偶定理（雙尾）：$\mu_0$ 不在 $(1-\alpha)$ CI 內 $\Longleftrightarrow$ 雙尾檢定 $p < \alpha$。這是精確等價，本節用 400 個 $\mu_0$、9,999 個比例組合窮舉驗證，零例外。
單尾也成立，但規則不同：左尾是「$\mu_0 >$ CI 上界」，右尾是「$\mu_0 <$ CI 下界」，且 CI 必須是單邊的。
對偶關係要求 CI 的信賴水準 = 1 − 雙尾 α（這裡 $\alpha = 0.05$），且 CI 型態與 alternative 對應；否則會出錯。
精確二項檢定有 54/9,999 的不一致：R 的雙尾精確 p 值用「機率排序法」，Clopper–Pearson 區間則是「反解單尾檢定」，兩種「雙尾」定義在離散分布上並不互為反函數。所以精確檢定特別需要同時報告 CI。
實務收束：檢定回答「是否」，CI 回答「多大」，兩個都要報告。 只報 p 值，讀者無法判斷效應的實務意義；只報 CI，讀者不知道你的決策門檻在哪。兩者合起來才是完整的證據。

練習#

對第 7.2 節的 16 瓶資料，寫一段程式驗證：對所有 $\mu_0 \in [480, 520]$（步長 0.01），「$\mu_0$ 不在 95% CI 內」與「雙尾 p < 0.05」完全一致。並找出 p 值最接近 0.05 的那個 $\mu_0$。提示：p 值是 $\mu_0$ 的凸函數，會在 $\bar{x}$ 附近最小。
把 conf_level 改成 0.90，重跑上面的對偶掃描。會出現不一致嗎？為什麼？提示：CI 變窄了，「不在 90% CI 內」比「不在 95% CI 內」嚴格。
用 r.t_test 對 7.3 節的 A、B 兩組資料做單尾右側檢定（alternative='greater'），然後把單邊 CI 的下界與 p = 0.05 的臨界 $\mu_0$ 比較，驗證它們相等。提示：CI 下界 = $\bar{x}_A - \bar{x}_B - t_{0.95}\cdot s_W$。
用 r.binom_test 找出所有「p 值 < 0.05 但 $p_0$ 在 CI 內」的組合（$n = 50$）。這些組合有什麼共同特徵？提示：$p_0$ 靠近 CI 端點時最容易發生。
找一篇你手上的研究報告或新聞，只報了 p 值或只報了 CI。幫它補上另一半，用 rstatistics 重新算一次，並寫下你會怎麼改寫那句結論。提示：好的寫法範例：「新藥使血壓平均下降 10.9 mmHg（95% CI：9.2 至 12.7；雙尾 p < 0.001），效果遠大於臨床認定的 5 mmHg 門檻」。