8.4 Fisher 精確檢定與列聯表#

本節目標#

知道 Fisher 1935 的「女士品茶」故事如何催生了精確檢定
理解精確檢定的數學：超幾何分配（呼應 3.4 節）與「固定邊際、條件分布」
手算一個 $2\times2$ 表裡單一格子的機率，並用 r.fisher_test 驗證
學會什麼時候該用 Fisher、什麼時候用卡方
會讀懂輸出的勝似比（odds ratio）與信賴區間

1935 年：女士品茶#

1935 年，劍橋的一間茶室裡，一位科學家 Muriel Bristol 說：她能分辨一杯茶是先倒奶再倒茶，還是先倒茶再倒奶。她的朋友、統計學家 Ronald Fisher 覺得這是個可以量化的事。

實驗設計：準備 8 杯茶（4 杯先奶、4 杯先茶），隨機打亂，由她盲測猜哪 4 杯是「先奶」的。

Fisher 的問題是：如果她其實完全靠猜，猜對 4 杯的機率有多大？

這就是 Fisher 檢定的起點，而且他的推理方式非常 Fisher：

不要問「資料有多不尋常」，要問「在所有與觀察到的一樣可能（邊際固定）的結果中，觀察到的這個結果有多不尋常」。

這與 7.4 節的卡方檢定形成對比：卡方是「用漸近分配去近似抽樣分布」，Fisher 則是「直接列舉所有可能結果，算出精確的機率」。

為什麼需要精確？#

卡方檢定的 $\chi^2$ 統計量服從漸近的卡方分配——那個近似在期望次數大時很好，但期望次數小時（例如格裡只有 1、2 個人）會失準。Fisher 的方法沒有近似，所以叫精確檢定。

超幾何：回到 3.4 節#

在 $2\times2$ 表裡，若行、欄的總數（邊際）固定，那麼四個格子裡其實只有一個是自由的。固定邊際下的格子次數服從超幾何分配——正是 3.4 節推導的那個。

看女士品茶：總共 8 杯，其中「先奶」4 杯。如果 Bristol 猜對 $x$ 杯，那麼：

$$ P(X = x) = \frac{\binom{4}{x}\binom{4}{4-x}}{\binom{8}{4}}

$$ 手算每一種可能：

import rstatistics as r

m, n, k = 4, 4, 4
xx = 3
p = r.dhyper(xx, m, n, k)
print("P(X = 3) =", p, " （超幾何 C(4,3)C(4,1)/C(8,4) =", r.choose(4,3)*r.choose(4,1)/r.choose(8,4), "）")
print("全部可能格子的機率：")
tot = 0.0
for v in range(0, 5):
    pv = r.dhyper(v, m, n, k)
    tot += pv
    print(f"  X = {v}: P = {pv:.6f}")
print("  總和 =", round(tot, 6))

P(X = 3) = 0.22857142857142917  （超幾何 C(4,3)C(4,1)/C(8,4) = 0.22857142857142856 ）
全部可能格子的機率：
  X = 0: P = 0.014286
  X = 1: P = 0.228571
  X = 2: P = 0.514286
  X = 3: P = 0.228571
  X = 4: P = 0.014286
  總和 = 1.0

手算 $P(X = 3) = \frac{4 \times 4}{70} = \frac{16}{70} = 0.228571$ ，與 r.dhyper 一致。

現在注意：** $X = 3$ （猜對 3 杯）並不是最不可能的——最不可能的是 $X = 0$ 與 $X = 4$ （各 0.014286）。所以「猜對 3 杯」其實沒有很稀奇**（p ≈ 0.229）。這正是 Fisher 檢定要表達的。

Fisher 檢定的 p 值怎麼來#

雙邊 p 值的定義：把所有機率不超過觀察值機率的結果加總。

觀察到 $X = 3$ ，機率 $0.228571$ 。所有 $P \le 0.228571$ 的格子是 $X = 0, 1, 3, 4$ （ $X=2$ 的機率 0.514286 太大，不算）：

$$ p = 0.014286 + 0.228571 + 0.228571 + 0.014286 = 0.485714

$$ 如果 Bristol 猜對 4 杯（ $X = 4$ ），機率只有 0.014286，那麼所有機率 $\le 0.014286$ 的結果只有 $X = 0$ 和 $X = 4$ 兩個， $p = 0.028571$ ——顯著。

這是 Fisher 檢定與卡方檢定的根本差異：卡方是「看統計量落在多尾的機率」，Fisher 是「看有多少種可能的表，機率不比我這張更小」。

跑 `r.fisher_test`#

import rstatistics as r

# 女士品茶：列 = 是否先倒奶，欄 = 是否猜對
tab = [[3, 1], [1, 3]]
print("列聯表（列=是否先倒茶，欄=是否猜對）：")
for row in tab:
    print("  ", row)
print()

h = r.fisher_test(tab)
print(h)
print("  h.method         =", h.method)
print("  h.p_value        =", h.p_value)
print("  h.estimate       =", h.estimate)
print("  h.conf_int       =", h.conf_int)
print("  h.alternative    =", h.alternative)
print("  h.null_name      =", h.null_name)

列聯表（列=是否先倒茶，欄=是否猜對）：
   [3, 1]
   [1, 3]


    Fisher's Exact Test for Count Data

data:  x
p-value = 0.4857
alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
95 percent confidence interval:
   0.2117329 621.9337505
sample estimates:
odds ratio 
  6.408309 

  h.method         = Fisher's Exact Test for Count Data
  h.p_value        = 0.48571428571428693
  h.estimate       = [6.40830886700578]
  h.conf_int       = [0.2117329153055029, 621.9337505454196]
  h.alternative    = two.sided
  h.null_name      = odds ratio

輸出行行解讀：

輸出行	意義
`Fisher's Exact Test for Count Data`	方法名。`Exact` 表示沒有任何漸近近似
`p-value = 0.4857`	就是上面手算的 $0.485714$ 。不顯著：這個小樣本無法排除「她只是運氣好」
`alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1`	零假設是「勝似比 = 1」（即兩變數獨立）
`95 percent confidence interval:`	勝似比的 95% 信賴區間
`sample estimates: odds ratio 6.408309`	勝似比的點估計

勝似比（odds ratio）#

$2\times2$ 表 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ 的勝似比：

$$ \text{OR} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

$$ 本例 $\text{OR} = \frac{3 \times 3}{1 \times 1} = 9$ ——但估計值給的是 6.408，為什麼？

因為 6.408 是條件最大概然估計（conditional MLE），不是簡單的比值。Fisher 檢定把邊際固定當成條件，所以估計的是「在邊際固定這個限制下，最可能的那個 OR」。這個估計法在 $2\times2$ 小樣本裡比朴素比值 $ad/bc$ 更穩健。區間 $[0.2117, 621.93]$ 極寬，正是小樣本下 OR 估計不穩定的直接證據。

順帶一提： $r.fisher_test$ 的 or_ 參數可以檢定勝似比不等於 1以外的假設（例如某個有理論根據的 OR 值）。

單邊方向#

import rstatistics as r

tab = [[3, 1], [1, 3]]
print("alternative='less'   :", r.fisher_test(tab, alternative="less").p_value)
print("alternative='greater':", r.fisher_test(tab, alternative="greater").p_value)

alternative='less'   : 0.9857142857142859
alternative='greater': 0.24285714285714333

'less' 對應「x 的 OR 小於 1」（關聯方向為負），'greater' 對應「OR 大於 1」。因為觀察到的 OR 是 6.4（大於 1），所以 greater 方向的 p 值（0.243）小於 less（0.986）。

什麼時候該用 Fisher？——期望次數判準#

卡方檢定的近似在期望次數小時會失準。標準建議是：任何格子的期望次數小於 5，就用 Fisher。

rstatistics 的 chisq_test_table 不直接印出期望次數，但可以自己算（期望次數 = 行總數 × 欄總數 / 總數）：

import rstatistics as r

def expected(table):
    rows = [sum(r) for r in table]
    cols = [sum(table[i][j] for i in range(len(table))) for j in range(len(table[0]))]
    total = sum(rows)
    return [[rows[i] * cols[j] / total for j in range(len(cols))] for i in range(len(rows))]

for name, tb in [("[[36,16],[24,24]]", [[36,16],[24,24]]),
                 ("[[15,5],[5,15]]", [[15,5],[5,15]]),
                 ("[[3,2],[1,0]]", [[3,2],[1,0]])]:
    e = expected(tb)
    mn = min(min(r) for r in e)
    print(f"{name} 的期望次數 = {[[round(v,3) for v in row] for row in e]}   最小 = {mn:.3f}")

[[36,16],[24,24]] 的期望次數 = [[31.2, 20.8], [28.8, 19.2]]   最小 = 19.200
[[15,5],[5,15]] 的期望次數 = [[10.0, 10.0], [10.0, 10.0]]   最小 = 10.000
[[3,2],[1,0]] 的期望次數 = [[3.333, 1.667], [0.667, 0.333]]   最小 = 0.333

第一個表：最小期望 19.2 → 卡方可靠
第二個表：最小期望 10.0 → 卡方可靠
第三個表：最小期望 0.333 → 卡方不可靠，必須用 Fisher

三個表並排比較#

import rstatistics as r

big = [[15, 5], [5, 15]]
print("較大的表 [[15,5],[5,15]]：")
print(r.fisher_test(big))
print()
print(r.chisq_test_table(big))
print()
print(r.chisq_test_table(big, correct=False))
print()

small = [[3, 2], [1, 0]]
print("小期望次數的表 [[3,2],[1,0]]：")
print(r.fisher_test(small))
print()
print(r.chisq_test_table(small))
print()
print(r.chisq_test_table(small, correct=False))

較大的表 [[15,5],[5,15]]：

    Fisher's Exact Test for Count Data

data:  x
p-value = 0.003848
alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
95 percent confidence interval:
  1.794006 48.338244
sample estimates:
odds ratio 
  8.418596 



    Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction

data:  x
X-squared = 8.1, df = 1, p-value = 0.004427



    Pearson's Chi-squared test

data:  x
X-squared = 10, df = 1, p-value = 0.001565


小期望次數的表 [[3,2],[1,0]]：

    Fisher's Exact Test for Count Data

data:  x
p-value = 1
alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
95 percent confidence interval:
  0.00000 77.90627
sample estimates:
odds ratio 
         0 



    Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction

data:  x
X-squared = 4.2525e-32, df = 1, p-value = 1



    Pearson's Chi-squared test

data:  x
X-squared = 0.6, df = 1, p-value = 0.4386

三點觀察#

大表時，Fisher 與卡方結論一致：在 $[[15,5],[5,15]]$ 上 Fisher 的 p = 0.003848，卡方（校正後）p = 0.004427，不校正則 0.001565。都顯著，結論相同。
小表時，卡方會出狀況： $[[3,2],[1,0]]$ 上，
Fisher 給 p = 1（最誠實的答案：這點資料什麼都無法證明）；
卡方不校正給 p = 0.4386，看起來像「有點顯著」——但這是近似的產物，不是真的；
卡方有 Yates 校正給 p = 1，與 Fisher 一致，但這是因為這個表太极端（ $X^2 = 4.25\times10^{-32}$ ）觸發了退化。
Yates 校正的兩難：R 的 chisq.test 對 $2\times2$ 表預設套用 Yates 連續性校正，理由正是「小樣本時卡方近似會高估顯著性」。但校正只是「彌補近似」，不是「精確」。如果你在意正確性，就用 Fisher——它不需要任何近似。

小提醒： $r.fisher_test$ 目前只支援 $2\times2$ 表（其他尺寸會拋出 ValueError）。 $r.chisq_test_table$ 則支援任意尺寸。

一個真實感的例子：抽菸與疾病#

import rstatistics as r

smoke = ["抽菸"] * 52 + ["不抽菸"] * 48
sick = ["患病"] * 36 + ["未患病"] * 16 + ["患病"] * 24 + ["未患病"] * 24
print("抽菸與疾病的列聯表：")
print(r.table(smoke, sick, "抽菸", "狀態"))
print()

tab2 = [[36, 16], [24, 24]]
print(r.fisher_test(tab2))
print()
print(r.chisq_test_table(tab2))

抽菸與疾病的列聯表：
     狀態
抽菸    患病 未患病
  不抽菸 24  24
  抽菸  36  16


    Fisher's Exact Test for Count Data

data:  x
p-value = 0.06627
alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
95 percent confidence interval:
 0.9220762 5.5305872
sample estimates:
odds ratio 
  2.231334 



    Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction

data:  x
X-squared = 3.0866, df = 1, p-value = 0.07894

這次期望次數夠大（最小 19.2），兩種方法幾乎一致：Fisher p = 0.0663、卡方 p = 0.0789。兩者都在 0.05 與 0.10 之間，屬於「有點可疑但未達顯著」。這正是統計學最誠實的結論：資料不足以斷定關聯，但也不足以排除。

勝似比 $2.23$ 表示抽菸者的患病機率比是非抽菸者的 2.23 倍；信賴區間 $[0.92, 5.53]$ 包含 1，所以在 5% 水準下無法拒絕獨立。

與 R 對照#

R 的 fisher.test 與 rstatistics 的 r.fisher_test 幾乎完全一致：

tab <- matrix(c(3,1,1,3), 2, 2, byrow=TRUE)
cat("P(X = 3) =", dhyper(3,4,4,4), "\n")
for (v in 0:4) cat(sprintf("  X = %d: P = %.6f\n", v, dhyper(v,4,4,4)))

print(fisher.test(tab))
cat("alternative='less'   :", fisher.test(tab, alternative="less")$p.value, "\n")
cat("alternative='greater':", fisher.test(tab, alternative="greater")$p.value, "\n")

big <- matrix(c(15,5,5,15),2,2,byrow=TRUE)
print(fisher.test(big))
print(chisq.test(big))
print(chisq.test(big, correct=FALSE))

small <- matrix(c(3,2,1,0),2,2,byrow=TRUE)
print(fisher.test(small))
print(chisq.test(small))
print(chisq.test(small, correct=FALSE))
cat("\n--- 期望次數檢查（chisq.test 的 expected）---\n")
print(chisq.test(big)$expected)
print(chisq.test(small)$expected)

P(X = 3) = 0.2285714 
  X = 0: P = 0.014286
  X = 1: P = 0.228571
  X = 2: P = 0.514286
  X = 3: P = 0.228571
  X = 4: P = 0.014286

    Fisher's Exact Test for Count Data

data:  tab
p-value = 0.4857
alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
95 percent confidence interval:
   0.2117329 621.9337505
sample estimates:
odds ratio 
  6.408309 

alternative='less'   : 0.9857143 
alternative='greater': 0.2428571 

    Fisher's Exact Test for Count Data

data:  big
p-value = 0.003848
alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
95 percent confidence interval:
  1.794006 48.338244
sample estimates:
odds ratio 
  8.418596 


    Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction

data:  big
X-squared = 8.1, df = 1, p-value = 0.004427


    Pearson's Chi-squared test

data:  big
X-squared = 10, df = 1, p-value = 0.001565


    Fisher's Exact Test for Count Data

data:  small
p-value = 1
alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
95 percent confidence interval:
  0.00000 77.90627
sample estimates:
odds ratio 
         0 


    Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction

data:  small
X-squared = 4.2525e-32, df = 1, p-value = 1

Warning message:
In chisq.test(small) : Chi-squared approximation may be incorrect

    Pearson's Chi-squared test

data:  small
X-squared = 0.6, df = 1, p-value = 0.4386

Warning message:
In chisq.test(small, correct = FALSE) :
  Chi-squared approximation may be incorrect

--- 期望次數檢查（chisq.test 的 expected）---
     [,1] [,2]
[1,]   10   10
[2,]   10   10
          [,1]      [,2]
[1,] 3.3333333 1.6666667
[2,] 0.6666667 0.3333333
Warning message:
In chisq.test(small) : Chi-squared approximation may be incorrect

對照重點#

項目	R	rstatistics
精確檢定	`fisher.test(tab)`	`r.fisher_test(tab)`
指定勝似比	`fisher.test(tab, odds.ratio = 2)`	`r.fisher_test(tab, or_=2.0)`
單邊	`alternative="less"/"greater"`	同名參數
關閉信賴區間	`conf.int=FALSE`	`conf_int=False`
卡方對照	`chisq.test(tab)`	`r.chisq_test_table(tab)`
期望次數	`chisq.test(tab)$expected`	需自算

R 的一個實用提醒：當期望次數太小時，R 會印出

Warning message:
In chisq.test(small) : Chi-squared approximation may be incorrect

這個警告就是 R 對你說「改用 fisher.test」。rstatistics 目前不會印這種警告，所以要自己檢查期望次數。

小結#

Fisher 1935 由「女士品茶」實驗發展出精確檢定：在固定邊際的條件下，用超幾何分配算出每一種可能結果的機率。
p 值定義為「所有機率不超過觀察值的結果的機率總和」；這比「統計量多尾」更直觀，也不需要任何近似。
r.fisher_test 給出 p 值、勝似比（conditional MLE）與其信賴區間；or_ 可檢定非 1 的勝似比。
判準：任何格子的期望次數 < 5 → 用 Fisher；否則卡方就夠了。
大樣本時兩者結論一致；小樣本時只有 Fisher 是精確的，卡方的 p 值是近似的產物。
注意：Fisher 給的是勝似比（機率比）不是風險比（比例比），兩者在常見病例率下數值相近但概念不同。

練習#

女士品茶若 Bristol 猜對 4 杯（ $X = 4$ ），Fisher 的雙邊 p 值會是多少？手算（用 r.dhyper 驗證）並說明為什麼比 $X = 3$ 的 p 值小。
用 r.dhyper 列出「10 人中抽 5 人，其中 3 人是病例」的完整機率分布（m = 5, n = 5, k = 5），確認總和為 1。
造三個 $2\times2$ 表，讓最小期望次數分別約為 4、1、0.2。對每個表同時跑 r.fisher_test 與 r.chisq_test_table，比較 p 值；找出「卡方與 Fisher 結論相反」的情況。
把 [[15,5],[5,15]] 擴大成 $3\times3$ 的表（例如年齡三層 × 治療三組）。r.fisher_test 會怎樣反應？r.chisq_test_table 的自由度變成多少？
承 4，對 $3\times3$ 的表用 r.chisq_test_table（不帶 correct）並用手算驗證期望次數。當某格期望次數 < 5 時，你會怎麼處理這個表？提示：可以合併列。