2.1 矩陣即變換： \(A\mathbf{v}\) 的幾何意義#

本節目標#

• 把「矩陣」從一格格的數字，重新看成 空間的變換（function：吃進向量、吐出向量）
• 理解線性變換的兩條規則：保持加法與純量乘
• 掌握關鍵事實：矩陣的每一行，就是基底向量 \(\mathbf{e_1}, \mathbf{e_2}\) 變換後的像
• 用第 1 章的 linalg_viz 工具箱，親眼看見單位方格網被矩陣「剪」成斜的
• 會用 NumPy 的 A @ v 對向量做變換

2.1.1 從「數字格子」到「空間機器」#

高中教你的矩陣長這樣：

一堆數字，乘法規則靠背。但換個角度：

矩陣是一部機器：餵它一個向量 \(\mathbf{v}\) ，它吐出另一個向量 \(A\mathbf{v}\) 。

輸入 \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}\) ，輸出：

向量被「推」了。整個平面上所有的點同時被推 —— 這就是 變換。

2.1.2 什麼是「線性」變換？#

不是所有變換都配得上矩陣。矩陣只能表達 線性 變換，它必須遵守兩條規則：

1. 保持加法： \(T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})\)
2. 保持純量乘： \(T(c\,\mathbf{v}) = c\,T(\mathbf{v})\)

幾何上這意味著：

• 原點不動（ \(T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}\) ）
• 直線仍是直線（不會彎）
• 等距的點變換後仍等距（格子不會被不均勻地拉扯）

旋轉、鏡射、剪切、縮放都遵守這兩條；平移 不遵守（平移會動到原點），所以純矩陣表達不了平移 —— 這要到第 8 章用「齊次座標」偷偷解決。

用 NumPy 直接驗證兩條規則：

import numpy as np

A = np.array([[1., 1.],
              [0., 1.]])
u = np.array([2., 1.])
v = np.array([-1., 3.])

lhs = A @ (u + v)          # T(u + v)
rhs = A @ u + A @ v        # T(u) + T(v)
print(np.allclose(lhs, rhs))   # True：加法保持

lhs = A @ (2.5 * v)        # T(c v)
rhs = 2.5 * (A @ v)        # c T(v)
print(np.allclose(lhs, rhs))   # True：純量乘保持

2.1.3 最關鍵的一句話：矩陣的行就是 \(\mathbf{e_1}, \mathbf{e_2}\) 的像#

把 \(\mathbf{e_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\) 、 \(\mathbf{e_2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\) 餵進矩陣：

看到了嗎？** \(A\mathbf{e_1}\) 就是 \(A\) 的第一行， \(A\mathbf{e_2}\) 就是 \(A\) 的第二行**。一般地：

矩陣不需要背，它是「基底向量被丟去哪裡」的完整紀錄。 知道 \(\mathbf{e_1}, \mathbf{e_2}\) 的下場，就知道整個平面的下場 —— 因為任何向量都是它們的線性組合（1.3 節）。

2.1.4 雙重觀點： \(A\mathbf{v}\) 是「行的線性組合」#

同一個計算 \(A\mathbf{v}\) ，有兩種讀法：

觀點一（逐列）：每一列和 \(\mathbf{v}\) 做內積，得到輸出的每個分量。

觀點二（逐行）：

** \(A\mathbf{v}\) 就是「用 \(\mathbf{v}\) 的分量當係數，對 \(A\) 的行做線性組合」。**

觀點二是理解一切的鑰匙：變換後的向量落在「行的張成空間」裡。這句話會在第 4 章（張成、基底）、第 5 章（特徵向量）反覆出現。

2.1.5 動手畫：剪切變換把方格網變成什麼？#

用第 1.4 節建立的 linalg_viz 工具箱，畫出 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) 作用前後的單位方格網：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from linalg_viz import setup_axes, draw_grid_transform, draw_vectors

A = np.array([[1., 1.],
              [0., 1.]])

fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 7))
setup_axes(ax, xlim=(-1, 5), ylim=(-1, 4))
draw_grid_transform(ax, A, xlim=(-1, 5), ylim=(-1, 4))
draw_vectors(ax, {
    r"$\mathbf{e_1}$": np.array([1., 0.]),   # 變換前（虛線）
    r"$T(\mathbf{e_1})$": A @ np.array([1., 0.]),
    r"$\mathbf{e_2}$": np.array([0., 1.]),
    r"$T(\mathbf{e_2})$": A @ np.array([0., 1.]),
})
ax.set_title(r"Shear: $A = \begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$")
plt.show()

你會看到：

• 淡色方格網是變換前的平面
• 深色網格是變換後的平面：每一條水平線向右滑，滑的距離等於它的高度（ \(y\) 越大滑越多）
• \(\mathbf{e_1}\) 沒動（ \(A\mathbf{e_1} = \mathbf{e_1}\) ，第一行是 \((1,0)\) ）
• \(\mathbf{e_2}\) 被推成 \((1, 1)\) （第二行）—— 這就是「剪」的來源：像推倒一疊撲克牌

試著把 \(A\) 換成 \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\) （垂直剪切）、 \(\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) （水平拉伸），重跑一次，觀察行向量如何「指揮」整個平面。

2.1.6 NumPy 實戰：A @ v#

import numpy as np

A = np.array([[1., 1.],
              [0., 1.]])
v = np.array([2., 1.])

print(A @ v)            # [3. 1.]   矩陣乘向量
print(A @ np.eye(2))    # 驗證：乘單位矩陣不變
# 同時變換一堆向量（每行一個向量）——一次算整個平面！
V = np.array([[2., -1., 0.],
              [1.,  3., 2.]])
print(A @ V)
# [[3. 2. 2.]
#  [1. 3. 2.]]

注意 A @ V 一次變換三個向量：矩陣乘矩陣，其實就是「對每個行向量各做一次 \(A\mathbf{v}\) 」。這為下一節的矩陣乘法鋪路。

flowchart LR
    v["向量 v"] --> M["機器 A"] --> w["新向量 Av"]
    e1["e1"] --> M
    e2["e2"] --> M
    subgraph 紀錄
      col1["第一行 = A e1"]
      col2["第二行 = A e2"]
    end
    M -.記錄下場.-> 紀錄

小結與練習#

本節重點

• 矩陣是 線性變換：保持加法與純量乘，原點不動、直線仍直
• \(A\) 的第 \(j\) 行就是 \(T(\mathbf{e_j})\) ：矩陣是基底向量的「下場紀錄表」
• \(A\mathbf{v} = v_1(\text{第1行}) + v_2(\text{第2行})\) ：矩陣乘向量 = 行的線性組合
• A @ v 一行程式，A @ V 一次變換整批向量

練習

1. 寫下矩陣 \(B\) ，使 \(B\mathbf{e_1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix}\) 、 \(B\mathbf{e_2} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}\) ，用 linalg_viz 畫出 \(B\) 的網格圖。這個變換做了什麼（旋轉？鏡射？）？
2. 計算 \(A\mathbf{v}\) （ \(A\) 為剪切矩陣， \(\mathbf{v} = (3, -2)\) ），先用「行的線性組合」心算，再用 NumPy 驗證。
3. 證明（用 NumPy 隨機向量測試即可）：若 \(A\) 是任意 \(2\times2\) 矩陣，則 \(A(\mathbf{0}) = \mathbf{0}\) 。
4. 挑戰：矩陣 \(C = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\) 把整個平面壓成一條直線。畫出 \(C\) 的網格圖，並觀察它的兩行有什麼關係（提示：第 3 章的「線性相依」）。