3.4 反矩陣與 Cramer 法則：何時能用、何時該用#

本節目標#

• 理解反矩陣 \(AA^{-1}=I\) 的幾何意義：變換的還原（undo 按鈕）
• 會用 np.linalg.inv，並對 2×2 反矩陣公式做手算對照
• 認識 Cramer 法則：用行列式寫出解的漂亮公式，以及它為什麼「美麗但低效」
• 說清楚為什麼實務上用 solve 而不用 inv（數值理由，第 9 章展開）
• 認識奇異矩陣的錯誤訊息，並預告 pseudo-inverse

一、反矩陣：變換的還原鍵#

\(A\) 是一部變換機。那麼「把 \(A\) 做的破壞 完全復原」的機器存在嗎？如果存在，就叫 反矩陣 \(A^{-1}\) ：

幾何上：先被 \(A\) 壓扁旋轉，再被 \(A^{-1}\) 加工一次，向量回到原位 —— \(I\) 就是「什麼都不做」的變換。解方程組因此有了一個理所當然的形式：

但還原鍵有存在條件：** \(A\) 不能弄丟資訊**。若 \(A\) 把整個平面壓成一條直線（奇異、 \(\det=0\) ），被擠扁的方向就無法復原 —— 你無法從一條線「還原」出整個平面。這正是：

三種說法，同一件事：變換是一對一的、可逆的、滿秩的。

二、NumPy 的 inv 與 2×2 公式對照#

import numpy as np

A = np.array([[4.0, 7.0],
              [2.0, 6.0]])
A_inv = np.linalg.inv(A)
print(A_inv)
print(np.allclose(A @ A_inv, np.eye(2)))   # True

2×2 有條教科書公式：

口訣：主對角線互換、副對角線變號、除以行列式。手算驗證上面的例子：

# 用公式手寫，對照 np.linalg.inv
a, b_, c, d = 4.0, 7.0, 2.0, 6.0
det = a * d - b_ * c
manual = np.array([[ d, -b_],
                   [-c,  a]]) / det
print(np.allclose(manual, np.linalg.inv(A)))   # True

注意公式裡那個 \(\tfrac{1}{\det}\) ： \(\det\to 0\) 時反矩陣的元素爆表 —— 幾何上「壓得越扁，還原越要放大」，這是第 9 章條件數的預告。

三、Cramer 法則：用行列式寫解#

Cramer 法則說：若 \(A\) 可逆，則 \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) 的每個分量都可以用 行列式的比值 寫出：

2×2 的例子（ \(2x+y=3,\; x-y=0\) ）：

幾何詮釋很漂亮： \(\det(A)\) 是行向量張成的平行四邊形面積；把某一行換成 \(\mathbf{b}\) ，平行四邊形會沿著「 \(\mathbf{b}\) 偏離的方向」改變面積，比值正好就是那份「配方份量」。

A = np.array([[2.0, 1.0],
              [1.0, -1.0]])
b = np.array([3.0, 0.0])

detA = np.linalg.det(A)
A1 = A.copy(); A1[:, 0] = b      # 第一行換成 b
A2 = A.copy(); A2[:, 1] = b      # 第二行換成 b
x = np.linalg.det(A1) / detA
y = np.linalg.det(A2) / detA
print(x, y)                              # 1.0 1.0
print(np.allclose([x, y], np.linalg.solve(A, b)))  # True

美麗但低效：公式優雅、理論好用（證明題、符號推導的好幫手），但數值上是一場災難 —— 解 \(n\) 個未知數要算 \(n+1\) 個 \(n\times n\) 行列式，而行列式用展開算是 \(O(n!)\) 、即使聰明算法也要 \(O(n^3)\) 每個；高斯消去一次就能解完，還更穩定。 \(n=10\) 時 Cramer 已經比消去慢幾十倍， \(n=100\) 時完全是兩個世界。

四、為什麼實務用 solve 不用 inv#

「先求 \(A^{-1}\) 再乘 \(\mathbf{b}\) 」看起來直接，卻有兩個實質缺點：

1. 多做了工：inv 是 \(O(n^3)\) 的完整計算，但 solve 只要一次分解加回代就拿到答案；若只解一組 \(\mathbf{b}\) ，inv 純屬繞路。
2. 更不穩定：計算 \(\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}\) 多了一輪矩陣乘法，浮點誤差多累積一層；當 \(A\) 接近奇異時， \(A^{-1}\) 的元素巨大，誤差被乘得淋漓盡致。第 9 章會用條件數 \(\kappa(A)\) 把這件事說透。

n = 200
rng = np.random.default_rng(0)
A = rng.standard_normal((n, n))
b = rng.standard_normal(n)

x1 = np.linalg.solve(A, b)          # 推薦：直接解
x2 = np.linalg.inv(A) @ b           # 不推薦：繞路
print(np.abs(A @ x1 - b).max())     # 殘差更小
print(np.abs(A @ x2 - b).max())

結論成為本書守則：solve 是預設，inv 只在你真的需要「反矩陣本身」（例如反覆變換不同向量、推導公式）時才登場。

五、奇異矩陣的錯誤訊息與 pseudo-inverse 預告#

S = np.array([[1.0, 2.0],
              [2.0, 4.0]])          # 奇異：det = 0
np.linalg.inv(S)
# LinAlgError: Singular matrix
np.linalg.solve(S, np.array([1.0, 2.0]))
# LinAlgError: Singular matrix

電腦只會說「奇異」，但 3.1 節的三種命運要靠你自己分： \(\mathbf{b}\) 在像空間 → 無窮多解；不在 → 無解。

那如果矩陣 就是 奇異（或不是方陣），卻還是想要一個「盡力而為的逆」呢？偽反矩陣（Moore–Penrose pseudo-inverse） 登場：np.linalg.pinv(A) 會給出一個性質最好的「廣義逆」，把 \(\mathbf{b}\) 投影到像空間再還原 —— 它正是最小平方法（6.3 節）與 SVD（第 7 章）的地基，這裡先記一句話：

inv 只給可逆方陣；pinv 對任何矩陣都給一個「最好的近似逆」。

小結與練習#

• \(A^{-1}\) 是變換的還原鍵，存在條件 \(\det(A)\neq 0\) （等價於滿秩、一對一）。
• 2×2 公式：對角互換、副對角變號、除以行列式； \(\det\) 越小反矩陣越爆炸。
• Cramer 法則 \(x_i=\det(A_i)/\det(A)\) ：幾何漂亮、理論有用、數值低效 —— 不適合實際解方程。
• 實務守則：用 np.linalg.solve，不要 inv @ b；奇異時先判斷命運，必要時轉向 pinv 與最小平方。

練習：

1. 用 2×2 公式手算 \(\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}^{-1}\) ，並驗證 \(AA^{-1}=I\) ，再與 np.linalg.inv 對照。
2. 用 Cramer 法則解 \(\begin{cases}3x+2y=7\\ x+4y=9\end{cases}\) ，並畫出兩個平行四邊形（ \(A\) 的行與 \(A_1\) 的行），比較面積比值與 \(x\) 。
3. 對 \(n=50,100,200\) 的隨機矩陣，用 timeit 比較 np.linalg.solve 與 np.linalg.inv(A) @ b 的時間；另比較兩者殘差 \(\|A\mathbf{x}-\mathbf{b}\|\) 。
4. 對本節的奇異矩陣 \(S\) 分別取 \(\mathbf{b}=(1,2)\) 與 \(\mathbf{b}=(2,4)\) ，用 3.3 節的方法判斷各自的命運，再呼叫 np.linalg.pinv(S) @ b 觀察：可達的情形它給了什麼？（其中一個答案正是零空間方向的特解。）