用 SymPy 學代數學#

本書以 SymPy 為工具，帶領讀者從多項式與群的定義出發，一路走到 Galois 理論、表示論與同調代數的入門。每一節都包含：數學理論、歷史脈絡（驅動理論發展的問題）、以及 SymPy 程式實作，展示「技術需求驅動理論、理論反過來支持技術」的前因後果。

環境準備#

pip install sympy

import sympy as sp
x = sp.Symbol('x')

目錄#

• 第1章-代數的起源：從解方程說起

  • 1.1-巴比倫與古埃及：一元二次方程的誕生
  • 1.2-花拉子米與9世紀的《代數學》：al-jabr 的故事
  • 1.3-三次方程與1545年的卡爾達諾公式
  • 1.4-四次方程與費拉里：根式的極限
  • 1.5-SymPy 中的多項式：Poly 與 solve

• 第2章-群論：對稱性的語言

  • 2.1-伽羅瓦（1832）之前：拉格朗日與根的置換
  • 2.2-群的定義與凱萊（1854）的抽象化
  • 2.3-子群、陪集與拉格朗日定理
  • 2.4-正規子群與商群：若爾當（1870）的貢獻
  • 2.5-循環群與阿貝爾群：有限交換群的分類
  • 2.6-置換群與 SymPy 的 combinatorics
  • 2.7-群作用、軌道與穩定子： Burnside 引理

• 第3章-環、體與多項式

  • 3.1-環論的誕生：戴德金與克羅內克（1870s–1880s）
  • 3.2-理想與商環：諾特（1921）的理想理論
  • 3.3-整環、體與體的特徵
  • 3.4-多項式環、整除性與因式分解
  • 3.5-體擴張與克羅內克定理：代數閉包
  • 3.6-不可約多項式與 Eisenstein 判別法
  • 3.7-SymPy 的 GF、factor 與 minimal_polynomial

• 第4章-體論與 Galois 理論

  • 4.1-尺規作圖問題：古希臘三大難題
  • 4.2-體擴張的次數與塔式定理
  • 4.3-阿貝爾（1826）與魯菲尼：五次方程無根式解
  • 4.4-伽羅瓦（1832）：方程的對稱群
  • 4.5-Galois 對應：子群與中間體
  • 4.6-用 SymPy 驗證 Galois 群與正規性
  • 4.7-分圓體與有限體：高斯週期與密碼學應用

• 第5章-線性代數的代數觀點

  • 5.1-矩陣論的起源：凱萊（1858）與線性方程組
  • 5.2-特徵值、特徵多項式與 Cayley–Hamilton 定理
  • 5.3-若爾當標準形與若爾當（1870）的工作
  • 5.4-最小多項式與 Frobenius（1878）的矩陣理論
  • 5.5-模與向量空間：諾特與阿廷的公理化
  • 5.6-主理想環上的模：有限交換群的結構定理
  • 5.7-SymPy 的 Matrix 與 Jordan 形計算

• 第6章-表示論：群的線性化身

  • 6.1-群特徵標的誕生：弗比尼烏斯（1896）
  • 6.2-舒爾引理與半單性
  • 6.3-有限群的不可約表示與特徵標表
  • 6.4-對稱群的表示：楊圖與楊表
  • 6.5-用 SymPy 操作特徵標與對稱函數
  • 6.6-應用：從物理學到分子對稱

• 第7章-交換代數與 Grobner 基

  • 7.1-希爾伯特（1890）：基定理與零點定理
  • 7.2-理想的分解：素理想與極大理想
  • 7.3-Buchberger（1965）：Grobner 基的發明
  • 7.4-用 SymPy 的 groebner 求解多項式聯立方程
  • 7.5-代數幾何初探：簇與理想的對偶

• 第8章-同調代數入門

  • 8.1-拓撲的驅動：龐加萊（1895）與同調的誕生
  • 8.2-正合序列與蛇引理
  • 8.3-Ext 與 Tor：函子的計算
  • 8.4-群同調與上同調的計算範例

• 第9章-進階主題與現代發展

  • 9.1-有限群的分類（1983）：百年工程
  • 9.2-橢圓曲線與費馬大定理（1994）
  • 9.3-計算代數系統的演進：從 Macsyma 到 SymPy
  • 9.4-量子計算中的代數：群論與 Shor 演算法
  • 9.5-專題實作：用 SymPy 建構自己的小代數系統

附錄#

• 附錄A-SymPy 速查表
• 附錄B-群論常用群一覽
• 附錄C-習題解答提示