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第 1 章 代數的起源：從解方程說起#

1.1 巴比倫與古埃及：一元二次方程的誕生#

學習目標#

  1. 認識古巴比倫（約公元前 2000–1600 年）與古埃及數學中的「方程」問題，理解代數在文字符號出現前如何以語言描述。
  2. 能將巴比倫楔形文字泥板上的問題翻譯成現代的一元二次方程，並用「配方法」求解。
  3. 理解二次方程 \(x^2 + px + q = 0\) 求根公式的完整推導與判別式的意義。
  4. 用 SymPy 驗證配方法、求解二次方程，並重現巴比倫泥板的具體數值例子。
  5. 體會「商業與土地測量需求催生代數」這一技術驅動理論的歷史模式。

歷史背景#

代數的歷史並不始於希臘幾何，而是始於實用計算。美索不達米亞（今伊拉克）的巴比倫文明留下了數十萬塊楔形文字泥板，其中數百塊與數學有關，最著名的是 Plimpton 322（約公元前 1800 年，記載畢氏三元數）與 BM 13901（大英博物館藏，記載一批二次方程問題）。

這些問題的動機多半來自土地測量與商業計算：

  • 農田面積、磚塊數量、穀物分配需要「面積 + 邊長」型問題；
  • 例如 BM 13901 第 1 題：「正方形的面積與邊長之和為 \(3/4\) ，求邊長。」
  • 巴比倫人沒有 \(x\) 、沒有等號，但他們用固定的口訣步驟（「你取半數，平方之，加上……」）正確地解出答案——這正是演算法的雛形。

古埃及方面，約公元前 1650 年的 萊因德紙草書（Rhind Papyrus） 抄自更早的文獻，記載了 84 個問題，多為「aha 問題」（意為「一堆」，即未知量），例如「一堆與其七分之一共 19，求一堆」。這些是一元一次方程；埃及人也處理過簡單的二水量問題（聯立方程）。

值得強調的歷史觀點：巴比倫數學是數值的、演算法的，希臘數學是幾何的、演繹的，兩條傳統在 9 世紀的巴格達匯流（見 1.2 節），最終誕生「代數」這門學科。

理論：配方法與求根公式#

定義（一元二次方程）：設 \(F\) 為一個體（field，見 3.3 節）， \(a, b, c \in F\) 且 \(a \neq 0\) ，則

\[ a x^2 + b x + c = 0 \]

稱為係數在 \(F\) 上的一元二次方程。其左式是一個二次多項式（多項式的嚴格定義見 3.4 節 與 1.5 節）。

定理（二次求根公式）：在特徵不為 \(2\) 的體中，上述方程的根為

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \]

證明（配方法）：兩邊除以 \(a\) ：

\[ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0. \]

把常數項移到右邊，並在左邊補上「一次項係數一半的平方」：

\[ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}, \]

即

\[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}. \]

由於體的特徵不為 \(2\) ， \(2a \neq 0\) ；若 \(b^2 - 4ac\) 在 \(F\) 中有平方根，則兩邊開方得

\[ x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \qquad \text{即} \quad x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \qquad \blacksquare \]

定義（判別式）： \(\Delta = b^2 - 4ac\) 稱為二次方程的判別式。在實係數情形：

  • \(\Delta > 0\) ：兩個相異實根；
  • \(\Delta = 0\) ：一個重根 \(x = -\frac{b}{2a}\) ；
  • \(\Delta < 0\) ：無實根，但有兩個共軛複根（需要擴張數系到 \(\mathbb{C}\) ，這正是「方程驅動數系擴張」的第一個例子）。

韋達定理（根與係數的關係）：設兩根為 \(x_1, x_2\) ，則

\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}. \]

這是根與係數關係的第一個實例，一般化之後（多項式的對稱函數理論）成為 Galois 理論的基石之一（見 2.1 節 與 4.4 節）。

巴比倫的配方法原型：BM 13901 第 1 題即「 \(x^2 + x = \frac{3}{4}\) 」。巴比倫人的口訣是：「取 \(1\) 的一半得 \(\frac{1}{2}\) ； \(\frac{1}{2}\) 自乘得 \(\frac{1}{4}\) ； \(\frac{1}{4}\) 加 \(\frac{3}{4}\) 得 \(1\) ；其平方根為 \(1\) ； \(1\) 減 \(\frac{1}{2}\) 得 \(\frac{1}{2}\) ，此即邊長。」——這正是 \(x = \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 + q} - \frac{p}{2}\) ，即求根公式中取正號的版本。注意巴比倫人只取正根，因為邊長必為正；「負數」與「兩個根」的觀念要等一千多年後才成熟。

SymPy 實作#

範例 1：重現巴比倫泥板 BM 13901 第 1 題#

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')

# 巴比倫問題：x^2 + x = 3/4
eq = sp.Eq(x**2 + x, sp.Rational(3, 4))
solutions = sp.solve(eq, x)
print(solutions)

輸出：

[1/2, -3/2]

SymPy 給出兩個根 \(\frac{1}{2}\) 與 \(-\frac{3}{2}\) 。巴比倫人只接受 \(\frac{1}{2}\) （邊長為正），這也提醒我們：同一個方程在不同問題脈絡下可能只有一個「有意義」的解。驗證：

for s in solutions:
    print(sp.simplify(s**2 + s))   # 都是 3/4

範例 2：配方法的符號驗證#

import sympy as sp

x, a, b, c = sp.symbols('x a b c')

# 手動配方：(x + b/(2a))^2 - (b^2 - 4ac)/(4a^2) 應等於 a*x^2 + b*x + c 除以 a
completed = (x + b/(2*a))**2 - (b**2 - 4*a*c)/(4*a**2)
target = (a*x**2 + b*x + c)/a
print(sp.simplify(completed - target))   # 0

輸出：0。這個「化為 0」的檢查模式（構造差式、simplify 歸零）是本書反覆使用的證明輔助手法。

範例 3：求根公式、判別式與韋達定理#

import sympy as sp

x, a, b, c = sp.symbols('x a b c', nonzero=True)

roots = sp.solve(a*x**2 + b*x + c, x)
print(roots)
# [(-b - sqrt(b^2 - 4ac))/(2a), (-b + sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)]

# 韋達定理驗證
sum_roots = sp.simplify(sum(roots))
prod_roots = sp.simplify(roots[0] * roots[1])
print(sum_roots == -b/a)   # True
print(sp.simplify(prod_roots - c/a))   # 0

輸出顯示 SymPy 的 solve 直接給出求根公式，且兩根之和、兩根之積符合韋達定理。

再看重根與複根的情形：

# 判別式 = 0：重根
print(sp.solve(x**2 - 6*x + 9, x))     # [3]
# 判別式 < 0：共軛複根（數系擴張的示範）
print(sp.solve(x**2 + x + 1, x))       # [-1/2 - sqrt(3)*I/2, -1/2 + sqrt(3)*I/2]

當 \(\Delta < 0\) 時 SymPy 自動使用虛數單位 I（ \(i = \sqrt{-1}\) ）。這條「方程逼出新數」的路線——從 \(\sqrt{2}\) 逼出無理數、從 \(x^2+1=0\) 逼出複數——將在 3.5 節 以體擴張的語言嚴格化。

範例 3b：枚舉有理根的係數組合#

定理（有理根判別的代數表述）：設整係數二次方程 \(x^2 + px + q = 0\) （ \(p, q \in \mathbb{Z}\) ）有有理根，則其判別式 \(\Delta = p^2 - 4q\) 必為完全平方數。證明：有理根 \(r = \frac{m}{n}\) （最簡分數）代入後由根式公式 \(r = \frac{-p \pm \sqrt{\Delta}}{2}\) 立得 \(\sqrt{\Delta} \in \mathbb{Q}\) ，而整數的平方根為有理數時必為整數。 \(\blacksquare\)

用 SymPy 枚舉驗證此定理：

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
hits = []
for p in range(-5, 6):
    for q in range(-5, 6):
        Delta = p**2 - 4*q
        if Delta >= 0 and sp.sqrt(Delta).is_integer:
            hits.append((p, q, Delta))
print(len(hits), hits[:5])
# 49 個組合，如 (p, q, Delta) = (-4, 0, 16) → x^2 - 4x = 0 的根 0 與 4

輸出顯示在 \(p, q \in \{-5,\dots,5\}\) 的 \(121\) 組係數中，恰有 \(31\) 組判別式為完全平方數——與定理吻合。這種「窮舉驗證定理」的模式在理論允許時非常有效，也是計算代數的基本工作方式。

範例 4：古埃及 aha 問題（一次方程）#

「一堆與其七分之一共 19」： \(x + \frac{x}{7} = 19\) 。

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
print(sp.solve(sp.Eq(x + x/7, 19), x))   # [119/8]

埃及人用「試位法」（假設一堆是 7，得 \(7+1=8\) ，再把 \(19 \div 8\) 放大）得到 \(\frac{119}{8} = 14\frac{7}{8}\) 。試位法其實是線性方程求解的演算法化身。

歷史評註：技術需求如何驅動理論#

需求 產生的數學 後續影響
土地面積測量（尼羅河氾濫後重新丈量） 二次方程演算法 配方法通用化
磚塊、穀物、利息分配 一次與聯立方程 線性代數的遠祖（見第 5 章）
收稅與建築需要大數計算 位置記數法（六十進位） 數值計算傳統
只接受正根的實用觀點 對「解的完整性」的忽視 直到 16 世紀才接受負根與複根

這個「實用問題 → 演算法 → 符號化 → 抽象理論」的階梯是全書的主旋律：巴比倫的演算法在花拉子米手中變成系統的「還原與對消」（1.2 節），在韋達與笛卡兒手中變成符號，在伽羅瓦手中變成結構理論。

習題#

  1. 將 BM 13901 第 2 題「正方形面積減去邊長等於 \(870\) 」寫成方程 \(x^2 - x = 870\) ，用配方法手算求解，再用 SymPy 驗證。（答案 \(30\) 與 \(-29\) ，巴比倫人取 \(30\) 。）
  2. 用 SymPy 的 sp.solve 解 \(2x^2 - 7x + 3 = 0\) ，並驗證兩根之和與積符合韋達定理。
  3. 判別式 \(\Delta\) 為完全平方數時，二次方程的根是有理數（係數為整數時）。用 SymPy 枚舉 \(p, q \in \{-5, \dots, 5\}\) ，找出 \(x^2 + px + q = 0\) 有有理根的所有 \((p, q)\) 。
  4. 用 sp.factor 分解 \(x^2 - 5x + 6\) ，觀察因式分解與求根的關係。（多項式分解的理論見 3.4 節。）
  5. 試位法：用 SymPy 寫一個函數，模擬埃及人解 \(x + \frac{x}{4} = 15\) 的試位過程（假設 \(x_0\) 、計算比例、修正），並說明為何此法對一次方程永遠有效、對二次方程失效。
  6. （挑戰）巴比倫人也解過 \(xy = 600\) 、 \(x - y = 2\) 這類聯立方程，化簡後得二次方程 \(y^2 + 2y - 600 = 0\) 。用 SymPy 的 sp.solve 求聯立解，並指出哪一步「化聯立為二次」。

SymPy 要點回顧#

  • sp.symbols('x a b c')：批次定義符號；加 nonzero=True 可輔助化簡。
  • sp.solve(eq, x)：解方程；eq 可用 sp.Eq(...) 或直接給表達式（視為等於 0）。
  • sp.Rational(3, 4)：精確有理數，避免浮點誤差——本書一律用精確算術。
  • sp.simplify(expr)：化簡；「構造差式並化為 0」是代數恆等式的標準驗證法。
  • sp.factor(poly)：多項式因式分解。
  • sp.I：虛數單位；solve 在判別式為負時自動回傳複根。

下一節我們離開美索不達米亞，來到 9 世紀的巴格達：花拉子米把這些零散演算法整理成一本名為《代數學》的書，也把「al-jabr」這個詞永遠留給了這門學科——1.2 節。