第 1 章代數的起源：從解方程說起#

1.5 SymPy 中的多項式：Poly 與 solve#

學習目標#

掌握 SymPy 的 Poly 類：多項式的構造、係數、次數、生成元與係數域（domain）概念。
掌握多項式的四則與整除結構：除法（帶餘）、最大公因式（GCD）、因式分解（factor、factor_list）。
系統使用 solve、roots、nroots、real_roots、CRootOf 五種求根工具，理解各自適用的場景與精確度承諾。
從「解方程」升級到「研究多項式」的觀點轉變——這正是從文藝復興代數走向現代抽象代數（第 3 章、第 4 章）的分水嶺。
了解多項式演算法與計算機代數系統（CAS）的歷史淵源，SymPy 在其中的位置。

歷史背景#

從「方程」到「多項式」的觀點轉移#

前四節的故事（1.1、1.2、1.3、1.4 節）都在回答一個問題：這個方程的根是什麼？ 但 16–17 世紀發生了一次安靜而深刻的視角轉移：

韋達（François Viète, 1540–1603，1591 年《分析術入門》）：首次系統地用字母表示已知量與未知量，並提出「解析藝術」——把方程視為可運算的對象。他給出根與係數關係（1.1 節的韋達定理的一般形式）。
笛卡兒（René Descartes, 1637 年《幾何學》）：確立 \(x, y, z\) 表未知量、 \(a, b, c\) 表已知量的現代記法；提出因式定理（ \(a\) 是根 \(\Leftrightarrow\) \((x-a)\) 整除多項式）；引入「多項式的次數」的系統討論。
牛頓（1660s–1707《廣義算術》）：多項式的除法、根的對稱函數、數值逼近方法（牛頓法），把多項式當作代數計算的對象而非僅僅「待解的方程」。

這個轉移的意義：一旦多項式本身成為研究對象，我們就可以問「兩個多項式的公因式是什麼」「它在整數上可分解嗎」「它在模 \(p\) 的世界裡可分解嗎」——這些問題在 19 世紀長成環論與理想論（3.1 節、3.2 節），在 20 世紀長成計算機代數。

計算機代數的誕生#

1960 年代，多項式運算成為計算機科學的正式課題：Collins 的多項式 GCD 演算法（1966）、Buchberger 的 Gröbner 基（1965，見 7.3 節）、Zassenhaus 的因式分解理論，催生了 MACSYMA、Reduce 等系統。SymPy 由 Ondřej Čertík 於 2006 年發起，以純 Python 寫成、完全開源，其多項式模組 sympy.polys（核心開發者 Mateusz Paprocki）實現了上述半個世紀的演算法積累。今天你在 Jupyter 裡敲一行 factor(...)，背後站著巴比倫的口訣、費拉里的降次、Collins 的 GCD 與 Buchberger 的 Grobner 基。

flowchart TD
    A["巴比倫口訣 約前1800<br/>（1.1節）"] --> E["花拉子米六型 約820<br/>（1.2節）"]
    E --> F["卡爾達諾/費拉里 1545<br/>（1.3、1.4節）"]
    F --> G["韋達1591/笛卡兒1637<br/>符號代數：多項式成為對象"]
    G --> H["19世紀 環與體的抽象化<br/>（第3、4章）"]
    G --> I["1960s CAS：Collins GCD、<br/>Buchberger Grobner（7.3節）"]
    I --> J["2006 SymPy：<br/>本書的實驗儀器"]

理論：多項式的形式理論#

定義（一元多項式）#

設 \(R\) 為帶單位的交換環（環的定義見 3.1 節）。一元多項式是形式和

\[ f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0, \qquad a_i \in R, \]

記為 \(f \in R[x]\) 。全體這種對象在逐項加法與卷積乘法

\[ (fg)(x) = \sum_{k=0}^{m+n} \left(\sum_{i+j=k} a_i b_j\right) x^k \]

下構成環 \(R[x]\) 。若 \(a_n \neq 0\) ，稱 \(n = \deg f\) 為次數； \(a_n\) 為首項係數；首項係數為 \(1\) 的多項式稱為首一的（monic）。

註（形式性）： \(R[x]\) 中的 \(x\) 不是「未知數」，只是一個形式符號；多項式由係數序列 \((a_0, \dots, a_n)\) 決定。「多項式函數」與「多項式」是兩個概念（在有限體上二者不同！見 3.3 節）。

定理（歐幾里得除法）#

設 \(F\) 為體（或 \(R\) 為交換環且除式首一）， \(f, g \in R[x]\) ， \(g \neq 0\) 。則存在唯一 \(Q, R_0 \in R[x]\) 使

\[ f = Q g + R_0, \qquad R_0 = 0 \ \text{或}\ \deg R_0 < \deg g. \]

證明思路：對 \(\deg f\) 作數學歸納。若 \(\deg f \ge \deg g\) ，用 \(f\) 的首項減去 \(g\) 的首項適當倍數，次數嚴格下降；唯一性由比較首項可得。這是「長除法」的一般化，巴比倫與中世紀算家早已在做它的數值特例。 \(\blacksquare\)

定理（因式定理與餘式定理）#

在歐幾里得除法中取 \(g = x - a\) ：

\[ f = Q\,(x-a) + R_0, \qquad R_0 = f(a). \]

故 \(f(a) = 0\) （ \(a\) 是根） \(\iff (x - a) \mid f\) （ \(x-a\) 整除 \(f\) ）。此為笛卡兒《幾何學》（1637） 的結果。

定理（GCD 與輾轉相除）#

\(R[x]\) （ \(R\) 為體的環，即 \(F[x]\) ）中任意 \(f, g\) 有最大公因式 \(\gcd(f, g)\) ，且存在 \(u, v \in F[x]\) 使

\[ u f + v g = \gcd(f, g) \quad (\text{Bézout 恆等式}). \]

證明思路：對次數作輾轉相除—— \(\gcd(f, g) = \gcd(g, f \bmod g)\) ——次數嚴格遞降，必停於零。Bézout 恆等式由回代得到。這與整數的歐幾里得輾轉相除（約公元前 300 年，《幾何原本》卷七）是同一演算法。詳見 3.4 節。 \(\blacksquare\)

定理（唯一分解，UFD）#

設 \(F\) 為體。 \(F[x]\) 中每個非零非常數多項式可（相差單位與次序）唯一地分解為不可約多項式之積：

\[ f = c\, p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}. \]

這是 \(F[x]\) 成為唯一分解整環（UFD）的內容；證明見 3.4 節（用歸納法 + 不可約即素性的推導，後者依賴 Bézout）。不可約性依賴係數域： \(x^2 - 2\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上不可約、在 \(\mathbb{R}\) 上分解； \(x^2 + 1\) 在 \(\mathbb{R}\) 上不可約、在 \(\mathbb{C}\) 上分解——「能不能分解」是相對於係數域的性質，SymPy 的 domain 機制（範例 2）正是為此而設。

定理（根的個數）#

\(n\) 次多項式在體中至多有 \(n\) 個根（計重數可恰有 \(n\) 個，若係數域包含所有根——代數閉包，見 3.5 節）。證明思路：每個根吃掉一個線性因式，而次數在乘法下相加。 \(\blacksquare\)

求根工具的光譜#

工具	精確性	適用場景
`solve`	符號精確	小次數、有根式解（1.3、1.4 節的公式）
`roots`	符號精確	同上，但容忍「部分未解出」
`factor`	精確分解	找有理根與不可約因子
`nroots`	浮點近似	快速看根的位置（含複根）
`real_roots` / `CRootOf`	精確	五次以上唯一可靠的符號表示（阿貝爾定理下根式解不存在，4.3 節）

SymPy 實作#

範例 1：Poly 的基本操作#

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = sp.Poly(x**3 - 6*x**2 + 11*x - 6, x)

print(f.all_coeffs())     # [1, -6, 11, -6]  ← 由高次到低次
print(f.degree())         # 3
print(f.is_monic)         # True（首一）
print(f.gens)             # (x,)  ← 生成元
print(f.domain)           # ZZ  ← 係數域：整數環
print(sp.Poly(x**2/2 + 1, x).domain)   # QQ（有理數域）

輸出解讀：all_coeffs 從最高次到常數列出係數；domain 顯示 SymPy 自動判斷係數落在哪個環——這是本書第 3 章之後的核心概念（3.3 節），SymPy 已內建了它。

範例 2：歐幾里得除法與因式定理#

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = sp.Poly(x**3 - 6*x**2 + 11*x - 6, x)
g = sp.Poly(x - 2, x)

Q, R = sp.div(f, g)
print(Q)   # Poly(x**2 - 4*x + 3, x, domain='ZZ')
print(R)   # Poly(0, x, domain='ZZ')  ← 2 是根，(x-2) 整除 f

驗證餘式定理的一般形式：

a = sp.symbols('a')
f2 = sp.Poly(x**3 + a*x - 2, x)
Q2, R2 = sp.div(f2, sp.Poly(x - 1, x))
print(R2.as_expr())                 # a - 1  ← 餘式 = f(1) = 1 + a - 2
print(sp.simplify(R2.as_expr() - f2.eval(1)))   # 0

除以 \(x-1\) 的餘式恆等於 \(f(1) = a - 1\) ——餘式定理的符號驗證。

範例 3：GCD 與 Bézout 恆等式#

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = sp.Poly(x**2 - 1, x)          # (x-1)(x+1)
g = sp.Poly(x**2 + 2*x + 1, x)    # (x+1)^2

print(sp.gcd(f, g))               # Poly(x + 1, x, domain='ZZ')

# Bézout 恆等式：u*f + v*g = gcd = x + 1
u, v, d = sp.gcdex(f, g)     # gcdex 回傳 (s, t, h)：s*f + t*g = h
print(d)                          # Poly(x + 1, x, domain='QQ')
print(sp.expand(u.as_expr()*f.as_expr() + v.as_expr()*g.as_expr()))   # x + 1

輸出確認 \(\gcd = x+1\) ，且存在 \(u, v\) 使 \(u f + v g = x + 1\) 。輾轉相除的每一步：

print(sp.div(g, f))   # (Poly(1), Poly(2*x + 2))  → 下一步對 f 與 2x+2 輾轉

範例 4：因式分解與係數域#

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
print(sp.factor(x**4 - 5*x**2 + 4))   # (x - 2)(x - 1)(x + 1)(x + 2)
print(sp.factor_list(x**4 - 5*x**2 + 4))
# (1, [(x**2 - 4, 1), (x**2 - 1, 1)])  ← 或更深的分解，視化簡層級

# 係數域決定分解深度
print(sp.factor(x**2 - 2))                        # x**2 - 2（在有理數域 QQ 上不可約！）
print(sp.factor(x**2 - 2, extension=sp.sqrt(2)))  # (x - sqrt(2))*(x + sqrt(2))  在 QQ(sqrt2) 中
print(sp.factor(x**2 + 1, modulus=2))             # (x + 1)^2  在 GF(2) 中 x^2+1=(x+1)^2！
print(sp.factor(x**2 + 1, modulus=3))             # x**2 + 1 在 GF(3) 上不可約

輸出說明：同一個多項式在不同係數域中的分解完全不同—— \(x^2+1\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上不可約，在 \(\mathrm{GF}(2)\) 中竟有重根（ \(2 = 0\) 使 \(x^2+1 = (x+1)^2\) ，這是特徵 \(2\) 的奇異現象，見 3.3 節），在 \(\mathrm{GF}(3)\) 上又不可約。factor_list 回傳（常數因子, [（因子, 重數), ...]）的結構化輸出，適合程式處理。

範例 5：五種求根工具對照#

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
p = x**3 - 3*x + 1        # casus irreducibilis：三實根，無根式實表達（1.3節）

print(sp.solve(p, x))                       # 符號解：複雜根式（含複數中間量）
print([sp.N(r) for r in sp.solve(p, x)])    # 數值化
print(sp.nroots(p))                         # 純數值，直接
print(sp.real_roots(sp.Poly(p, x)))         # [CRootOf(x**3 - 3*x + 1, 0), ...]
r0 = sp.CRootOf(p, 0)
print(r0.evalf(15))                         # -1.87938524157182  ← 精確表示的精確近似
print(r0.evalf(30))                         # 想多準就多準：-1.87938524157181676810821855465

輸出解讀：

sp.solve 給出的根式解雖「精確」卻不能隔離實根（1.3 節的 casus irreducibilis）；
sp.nroots 快但不承諾精確；
sp.real_roots 回傳的 CRootOf（complex root of）是「第 \(k\) 個實根」的精確表示：r0.evalf(30) 給出 30 位有效數字，且可做精確比較（如 r0 > -2 回傳 True）。

五次以上方程，CRootOf 是唯一可靠的表示——這正是阿貝爾–魯菲尼定理（4.3 節）在軟體裡的直接體現：

q = x**5 - x - 1
print(sp.solve(q, x))       # [CRootOf(x**5 - x - 1, 0), ..., CRootOf(x**5 - x - 1, 4)]
                            # 沒有任何根式！SymPy 知道根式解不存在
print(sp.nroots(q))
# [1.1673..., -0.7649 ± 0.3525*I, 0.1812 ± 1.0840*I]

範例 6：本章的總驗收——多項式視角重看四章歷史#

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')

# 1.1 巴比倫：x^2 + x = 3/4 → 看成多項式 x^2 + x - 3/4
p1 = sp.Poly(x**2 + x - sp.Rational(3, 4), x)
print(sp.factor(p1.as_expr()))          # (2*x - 1)*(2*x + 3)/4

# 1.2 花拉子米：x^2 + 10x - 39
p2 = sp.Poly(x**2 + 10*x - 39, x)
print(p2.all_coeffs(), p2.degree())    # [1, 10, -39] 2

# 1.3 卡爾達諾：x^3 - 15x - 4
p3 = sp.Poly(x**3 - 15*x - 4, x)
print(sp.factor(p3.as_expr()))          # (x - 4)*(x**2 + 4*x + 1)

# 1.4 費拉里：x^4 + 4x + 3
p4 = sp.Poly(x**4 + 4*x + 3, x)
print(sp.factor(p4.as_expr()))          # (x + 1)**2*(x**2 - 2*x + 3)

# 1.4 的後續：五次的牆
p5 = sp.Poly(x**5 - x - 1, x)
print(p5.degree(), len(sp.real_roots(p5)))   # 5 1

從二次到五次，factor 與 real_roots 一路相伴；而根式表達從「一條公式」走到「不存在」。本章的數學敘事，在 SymPy 中就是這五行輸出。

歷史評註：工具與理論的雙向驅動#

年代	人物／系統	貢獻
約前 1800	巴比倫書吏	二次方程的演算法（1.1 節）
約 300	歐幾里得	輾轉相除（《幾何原本》卷七）→ GCD 演算法
1637	笛卡兒	因式定理、符號記法
1799	高斯	代數基本定理的證明（3.5 節）
1965	Buchberger	Grobner 基，多變元系統的通用解法（7.3 節）
1966	Collins	多項式 GCD 的有效演算法
2006–	SymPy 團隊	開源符號計算，把上述演算法放進每一台電腦

注意反方向的驅動：為了讓計算機會做符號運算，數學家不得不把 19 世紀的抽象理論（域、理想、不可約性）變成可執行的演算法——諾特的理想論（3.2 節）在 Grobner 基中獲得了第二次生命。這是「理論支持技術」的完美案例，與本章「技術催生理論」的主旋律互為鏡像。

習題#

用 sp.Poly 構造 \(f = x^4 - 5x^2 + 4\) ，印出 all_coeffs、degree、is_monic、domain；再用 sp.div(f, x-2) 驗證因式定理。
對 \(f = x^3 + 2x^2 - x - 2\) 與 \(g = x^2 + 3x + 2\) ，用 sp.gcdex 求 \(u, v\) 使 \(uf + vg = \gcd(f,g)\) ，並展開驗證。
在 GF(2)、GF(3)、GF(5) 上分別用 sp.factor(..., modulus=p) 分解 \(x^2 + 1\) ；查表解釋： \(x^2+1\) 在 \(\mathrm{GF}(p)\) 上可約 \(\iff p = 2\) 或 \(p \equiv 1 \pmod 4\) 。（這是 4.7 節高斯分圓理論的預告。）
對 \(x^5 - x - 1\) ：比較 sp.solve、sp.nroots、sp.real_roots 的輸出；用 CRootOf(..., 0).evalf(50) 列出唯一實根的前 50 位。
寫一個函數 vieta_check(poly_coeffs)，輸入係數表，回傳前 \(k\) 個初等對稱函數與係數的對照（推廣 1.1 節的韋達定理），並對 \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) 驗證。根的對稱函數的一般理論見 2.1 節。
（挑戰）用 sp.Poly(f, x, domain=sp.GF(2)) 構造 \(\mathrm{GF}(2)\) 上的多項式環，驗證 \(x^2 + x + 1\) 在其中不可約（用 sp.factor），據此說明 \(\{0, 1, \alpha, \alpha+1\}\) （ \(\alpha^2 = \alpha + 1\) ）構成一個四元素體——這是 3.3 節與 3.7 節的預告。

SymPy 要點回顧#

sp.Poly(expr, x, domain=...)：多項式物件；all_coeffs、degree、is_monic、gens、domain 讀出結構。
sp.div(f, g)：歐幾里得除法，回傳（商，餘式）。
sp.gcd(f, g)、sp.gcdex(f, g)：最大公因式與 Bézout 係數。
sp.factor / sp.factor_list：因式分解；modulus=p 切換到 \(\mathrm{GF}(p)\) ，extension=... 擴張係數域。
求根五件套：solve（符號根式）、roots（符號）、nroots（浮點）、real_roots（精確實根）、CRootOf.evalf(n)（精確表示的任意精度近似）。
poly.eval(a)：多項式求值；餘式定理 \(R = f(a)\) 的快速檢查。
工作流程：先 factor（找結構），再 real_roots（精確隔離實根），最後 nroots 或 evalf（看數值）——符號與數值互證，貫穿全書。

至此第 1 章的敘事完結：代數從巴比倫的土地問題出發，經花拉子米的分型、文藝復興的公式競賽，在「五次的牆」前停步——而撞牆的人需要新語言。下一章，我們學習這門新語言的第一個詞彙：群，對稱性的語言，從拉格朗日 1770 年的根之置換說起——2.1 節。

第 1 章 代數的起源：從解方程說起#