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2.2 群的定義與凱萊（1854）的抽象化#

學習目標#

  1. 熟練群的四條公理，能檢驗一個具體結構是否為群。
  2. 理解凱萊 1854 年的抽象化：置換、四元數、幾何變換如何共同催生「運算律先行」的觀點。
  3. 掌握凱萊定理：每個有限群都同構於一個置換群。
  4. 會用 SymPy 檢驗群公理、建立群的運算表（凱萊表）。

歷史背景#

從「具體運算」到「公理」#

19 世紀上半葉，三條互不相干的線索同時指向「超越數與多項式的運算系統」：

  1. 置換：拉格朗日（1771）與柯西（1812、1844–1845，他引入了「置換的乘積」「循環記號」與 permutation 一詞）在方程論中的工作，見 2.1 節。
  2. 數系擴張：複數 \(\mathbb{C}\) 被接受後（1800 年前後），數學家試圖構造「三維複數」皆失敗；哈密頓（William Rowan Hamilton, 1805–1865）在 1843 年 10 月 16 日於都柏林運河橋上刻下四元數公式 \(i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1\) ——犧牲了交換律 \(ij = -ji\) 。這是數學史上第一次有人刻意保留結合律而放棄交換律。
  3. 幾何變換：射影幾何（彭賽列，1822）與莫比烏斯（1827）把「變換的複合」當作基本對象；格拉斯曼 1844 年的《延量論》研究一般的「延量運算」。

凱萊（Arthur Cayley, 1821–1895）在 1854 年發表《論映射理論》（*On the theory of groups, as depending on the symbolic equation \(\theta^n = 1\) *），首次給出抽象的群定義：一個符號集合，帶有一個滿足封閉性、結合律、有單位元、每個元素有逆的運算。他明確說明這個概念「同時涵蓋置換、以及四元數等乘法系統」。換言之，四元數迫使數學家把「結合但不交換」視為合法，置換提供了最重要的大例子，幾何變換則提供了「複合」這個統一運算——抽象群論是這三股技術需求的交匯點。

有趣的是，凱萊的抽象化當時反響不大（「群」仍被默認為置換群），直到 1880 年代，若爾當《代換論》（1870）與李（Sophus Lie, 1874 起）的連續群工作使「抽象」變得必要——因為連續群的元素根本不是置換。1883 年凱萊本人再發短文重申抽象觀點，此時才被接受。

理論#

定義 2.2.1（群）#

一個群 \((G, \cdot)\) 是集合 \(G\) 與運算 \(\cdot : G \times G \to G\) ，滿足：

  1. 封閉性： \(a \cdot b \in G\) （由運算定義已含）；
  2. 結合律： \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\) ；
  3. 單位元：存在 \(e \in G\) 使 \(e \cdot a = a \cdot e = a\) ；
  4. 逆元：每個 \(a \in G\) 存在 \(a^{-1}\) 使 \(a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e\) 。

若另滿足 \(a \cdot b = b \cdot a\) （交換律），稱為阿貝爾群（紀念阿貝爾，見 2.5 節）。

命題 2.2.2（基本性質）#

  • 單位元唯一；
  • 逆元唯一；
  • 消去律成立： \(ab = ac \Rightarrow b = c\) ；
  • \((ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}\) 。

證明（單位元唯一性）：設 \(e, e'\) 皆為單位元，則 \(e = e \cdot e' = e'\) 。其餘留作習題 1。 \(\blacksquare\)

凱萊定理#

定理 2.2.3（凱萊，1854）#

每個群 \(G\) （特別是每個有限群）都同構於某個置換群。具體地，對 \(g \in G\) 定義左乘映射 \(\lambda_g : G \to G\) ， \(\lambda_g(h) = gh\) ；則 \(g \mapsto \lambda_g\) 是 \(G\) 到對稱群 \(S_G\) 的單射同態。

證明： \(\lambda_g\) 是雙射（逆為 \(\lambda_{g^{-1}}\) ）。複合滿足 \(\lambda_g \circ \lambda_h = \lambda_{gh}\) （結合律保證），故是同態； \(\lambda_g = \mathrm{id}\) 時取 \(h = e\) 得 \(g = e\) ，故單射。 \(\blacksquare\)

凱萊定理的意義：抽象群再「玄」，本質上都是置換——這保證了用 SymPy 的 Permutation（2.6 節）可以機械化處理任何有限群。

凱萊表#

有限群的乘法可用運算表（凱萊表）呈現。表是拉丁方：每行每列中每個元素恰出現一次（由消去律）。例如 4 階循環群 \(\mathbb{Z}/4\) 與 Klein 四元群 \(V_4\) ：

Z/4:        V_4:
  0 1 2 3     e  a  b  c
0 0 1 2 3   e e  a  b  c
1 1 2 3 0   a a  e  c  b
2 2 3 0 1   b b  c  e  a
3 3 0 1 2   c c  b  a  e

兩者都由「對角線結構」區分： \(\mathbb{Z}/4\) 有 4 階元， \(V_4\) 的非單位元全是 2 階。同構的群有不同的表現形式，但凱萊表（適當重排行列後）相同——這是 1854 年抽象觀點的計算化身。

群的階與元素的階#

  • 群 \(G\) 的階 \(|G|\) 是其元素個數（有限群）。
  • 元素 \(g\) 的階是最小正整數 \(n\) 使 \(g^n = e\) ；凱萊原文的標題符號方程 \(\theta^n = 1\) 正是此概念。

SymPy 實作#

範例 1：檢驗群公理——四元數乘法群 \(\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}\)#

import sympy as sp
from itertools import product

# 用符號表示八個四元數單位
E, NI = 1, -1          # 1 與 -1
I, J, K = 1j, 1j, 1j   # 先以複數表示再自訂乘法較繁瑣，改用字典乘法表

# 直接以整數編碼 8 個元素：0..7 表示 {1,-1,i,-i,j,-j,k,-k}
names = ['1', '-1', 'i', '-i', 'j', '-j', 'k', '-k']

# 建立乘法表：i^2=j^2=k^2=ijk=-1
table = {}
def mul(a, b):
    """a, b 為索引；回傳乘積索引"""
    x, y = names[a], names[b]
    sx, sy = (1 if not x.startswith('-') else -1), (1 if not y.startswith('-') else -1)
    bx, by = x.lstrip('-'), y.lstrip('-')
    if bx == '1':   px, sign = by, sx * sy
    elif by == '1': px, sign = bx, sx * sy
    elif bx == by:  px, sign = '1', -sx * sy      # i*i = -1 等
    else:
        # (i,j,k) 的循環乘法：ij=k, jk=i, ki=j；逆序得一負號
        cyc = {('i','j'):'k', ('j','k'):'i', ('k','i'):'j'}
        if (bx, by) in cyc:
            px, sign = cyc[(bx, by)], sx * sy
        else:
            px, sign = cyc[(by, bx)], -sx * sy
    result = px if sign == 1 else '-' + px
    return names.index(result)

# 檢驗群公理
G = list(range(8))
# 封閉性：mul 的定義保證；結合律：
assoc_ok = all(mul(mul(a, b), c) == mul(a, mul(b, c))
               for a, b, c in product(G, repeat=3))
# 單位元
unit_ok = all(mul(0, a) == a and mul(a, 0) == a for a in G)
# 逆元
inv_ok = all(any(mul(a, b) == 0 and mul(b, a) == 0 for b in G) for a in G)
commut = all(mul(a, b) == mul(b, a) for a, b in product(G, repeat=2))

print("結合律：", assoc_ok)
print("有單位元 1：", unit_ok)
print("每個元素有逆：", inv_ok)
print("是阿貝爾群嗎：", commut)   # False！四元數犧牲交換律
print("i*j =", names[mul(2, 4)], "，  j*i =", names[mul(4, 2)])

輸出說明：結合律、單位元、逆元皆成立，但 commut 為 False—— \(ij = k\) 而 \(ji = -k\) 。這正是 1843 年哈密頓的突破：一個「合法的乘法系統」可以不交換，但只要滿足凱萊四公理就是群。四元數群 \(Q_8\) 從此成為教科書標準反例。

範例 2：凱萊定理的具體實現——把 \(Q_8\) 實現為置換群#

from sympy.combinatorics import Permutation, PermutationGroup
from itertools import product

names = ['1', '-1', 'i', '-i', 'j', '-j', 'k', '-k']
def mul(a, b):
    x, y = names[a], names[b]
    sx = 1 if not x.startswith('-') else -1
    sy = 1 if not y.startswith('-') else -1
    bx, by = x.lstrip('-'), y.lstrip('-')
    if bx == '1':   px, sign = by, sx * sy
    elif by == '1': px, sign = bx, sx * sy
    elif bx == by:  px, sign = '1', -sx * sy
    else:
        cyc = {('i','j'):'k', ('j','k'):'i', ('k','i'):'j'}
        if (bx, by) in cyc:
            px, sign = cyc[(bx, by)], sx * sy
        else:
            px, sign = cyc[(by, bx)], -sx * sy
    result = px if sign == 1 else '-' + px
    return names.index(result)

# 凱萊定理：g -> 左乘置換 lambda_g
perms = []
for g in range(8):
    images = [mul(g, h) for h in range(8)]
    perms.append(Permutation(*images))

G8 = PermutationGroup(*perms)
print("左正則置換群階數 =", G8.order())          # 應為 8
print("生成元：", perms[2], perms[4])            # i 與 j 的左乘
print("lambda_i * lambda_j =", perms[2] * perms[4])
print("lambda_{ij}          =", perms[mul(2, 4)])
print("兩者相同（同態驗證） =", perms[2] * perms[4] == perms[mul(2, 4)])

輸出說明： \(Q_8\) 的 8 個左乘映射實現為 \(\{0,\dots,7\}\) 上的置換，所成群階為 8，且 \(\lambda_i\lambda_j = \lambda_{ij}\) 精確成立——凱萊定理的可執行版本。讀者可改驗右乘 \(\rho_g(h) = hg\) ，並比較左右正則表示的差異（習題 4）。

範例 3：檢查某結構不是群——正整數在減法下#

import sympy as sp

def is_group(G, op, identity=None):
    if identity is None:
        identity = next((e for e in G if all(op(e, a) == a and op(a, e) == a for a in G)), None)
    if identity is None:
        return False, "無單位元"
    if not all(any(op(a, b) == identity and op(b, a) == identity for b in G) for a in G):
        return False, "有元素無逆"
    return True, "是群"

N = list(range(1, 8))               # 正整數 1..7
ok, why = is_group(N, lambda a, b: abs(a - b))
print(ok, why)                       # False 有元素無逆

Z4 = [0, 1, 2, 3]
ok, why = is_group(Z4, lambda a, b: (a + b) % 4)
print(ok, why)                       # True 是群

輸出說明：正整數在減法下無單位元也無逆（ \(3 - 3 = 0 \notin\) 集合），檢驗器正確報出失敗原因； \(\mathbb{Z}/4\) 在加法下通過全部檢驗。把公理檢驗寫成函數，是本章之後反覆使用的工具。

凱萊之後：抽象化的完成#

凱萊 1854 年超前時代約 25 年。理論超前並非無代價：直到連續變換群（李）、射影幾何群（克萊因 1872 年《愛爾蘭根綱領》）出現，數學家才被迫接受「群是一般運算系統」；克萊因的幾何綱領把幾何定義為「群作用下的不變量理論」，是抽象群論的第一個重大應用（與 2.7 節的群作用思想一脈相承）。

SymPy 要點回顧#

  • 群公理可用 itertools.product 枚舉檢驗：結合律 \(O(n^3)\) 、單位元與逆 \(O(n^2)\) 。
  • Permutation(*images)：由像的串列構造置換；PermutationGroup(*perms) 由生成元建群。
  • 凱萊定理的實作模式：images = [op(g, h) for h in range(n)]，對左乘、右乘皆可用。
  • 凱萊表可用巢狀串列印出，拉丁方性質是消去律的視覺化。

習題#

  1. 證明命題 2.2.2 的其餘三條：逆元唯一、消去律、 \((ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}\) 。
  2. 修改範例 1 的 mul，改驗證 \(\mathbb{Z}/12\) （整數模 12 加法）與模 12 乘法單位群 \(\{1,5,7,11\}\) ；後者是 4 階群，判斷它與 \(\mathbb{Z}/4\) 還是 \(V_4\) 同構。
  3. 寫一個函數 isomorphic_tables(T1, T2)，判斷兩張 \(n \times n\) 凱萊表是否可透過重排行列變成相同（即判斷兩群是否同構的暴力法）。
  4. 實作右正則表示 \(\rho_g(h) = hg\) ，驗證 \(\rho_g \circ \rho_h = \rho_{hg}\) （注意順序反轉！），並解釋這與反同構的關係。
  5. 用凱萊定理把 \(\mathbb{Z}/5\) 實現為 \(\{0,1,2,3,4\}\) 上的置換群，印出 5 個置換的循環記號，觀察它們都是 5-循環（加恆等置換）。
  6. （挑戰）凱萊表中每行每列是原集合的重排（拉丁方性質）。證明：此性質等價於消去律；並用程式對 \(Q_8\) 的表驗證。

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