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2.4 正規子群與商群：若爾當（1870）的貢獻#

學習目標#

  1. 定義正規子群，理解其「陪集可乘」的意義。
  2. 建構商群 \(G/N\) 並證明其為群。
  3. 掌握同態基本定理（第一同構定理）。
  4. 理解若爾當 1870 年《代換論》如何把 1830 年代伽羅瓦的洞見變成系統理論。
  5. 用 SymPy 檢驗正規性、構造商群、驗證合成列。

歷史背景#

伽羅瓦的洞見與若爾當的系統化#

伽羅瓦在 1831–1832 年的手稿中已經使用「把群分解為陪集」的論證：他考慮方程的置換群 \(G\) 與其子群 \(H\) ，並問「 \(H\) 何時對應到一個中間體」——答案是 \(H\) 必須使「陪集的分解與左右無關」（今日的正規性）。但伽羅瓦的手稿晦澀、未用「正規」一詞，1832 年決鬥身亡後僅在 1846 年由劉維爾整理發表。

將這些洞見鑄成系統理論的是卡米爾・若爾當（Camille Jordan, 1838–1922）。他 1870 年出版《代換論與代數方程》（Traité des substitutions et des équations algébriques），這是史上第一本群論專著。書中：

  • 系統定義了置換群的正規子群（groupe invariant）、單群、合成列；
  • 證明了 \(A_n\) （ \(n \ge 5\) ）為單群，這是五次方程不可解的群論核心；
  • 提出「同構」的明確概念，並研究兩個群何時「有相同的合成列因子」（若爾當–赫爾德定理的前身，赫爾德在 1889 年完成）。

若爾當書名的「代換」（substitution）即今日的「置換」——他仍以置換為唯一對象，但組織方式已是現代的。若爾當的動機仍是方程論（書的後半即伽羅瓦理論），但理論一旦抽象化就遠遠溢出原動機：合成列與單群成為 20 世紀有限單群分類工程（9.1 節）的起點。

技術驅動：為什麼需要「正規」#

拉格朗日定理（2.3 節）說 \(G\) 被切成 \(|H|\) 大小的陪集。但若想把「陪集的集合」本身做成一個群（例如 \(S_3/\{e\}\) 的陪集 \(H, (1\,2)H\) 想相乘），會發現只有對某些 \(H\) 才行：

\[ (g_1N)(g_2N) := (g_1 g_2)N \]

要良定義，必須對任意 \(n \in N\) 、 \(g \in G\) 有 \(gng^{-1} \in N\) ——即 \(N\) 正規。工程上這好比「取模」：整數加法群中，模 \(n\) 同餘類可以相加（ \(\mathbb{Z}/n\) ），正是因為 \(n\mathbb{Z}\) 在加法群中正規。商結構是「忽略細節、保留骨架」的數學工具，正規性是它合法的條件。

理論#

定義 2.4.1（正規子群）#

\(N \le G\) 稱為正規子群，記 \(N \trianglelefteq G\) ，若

\[ \forall g \in G,\ \forall n \in N:\ gng^{-1} \in N. \]

引理 2.4.2（正規的等價條件）#

對子群 \(N \le G\) ，下列等價：

  1. \(gng^{-1} \in N\) 對所有 \(g, n\) （共軛封閉）；
  2. \(gN = Ng\) 對所有 \(g\) （左陪集等於右陪集）；
  3. \(N\) 的左陪集分割等於右陪集分割。

證明思路：(1) \(\Rightarrow\) (2)： \(gN = \{gng^{-1}\cdot g\} \subseteq Ng\) ，雙邊計數得等號。(2) \(\Rightarrow\) (1)： \(gng^{-1} \in gNg^{-1} = Ng g^{-1} = N\) 。 \(\blacksquare\)

平凡正規子群： \(\{e\}\) 與 \(G\) 本身。指數 2 的子群必正規（2.3 節習題 4）。群中所有與 \(N\) 共軛的子群互相同構； \(N\) 正規 \(\iff\) 它只有自己這一個共軛。

定理 2.4.3（商群）#

設 \(N \trianglelefteq G\) 。定義 \(G/N = \{gN : g \in G\}\) ，運算 \((g_1N)(g_2N) = (g_1g_2)N\) 。則 \(G/N\) 是群，階為 \([G:N]\) 。

證明：先證良定義：若 \(g_1' = g_1 n_1\) 、 \(g_2' = g_2 n_2\) ，則

\[ g_1' g_2' = g_1 n_1 g_2 n_2 = g_1 (g_2 g_2^{-1} n_1 g_2) n_2 \in g_1 g_2 N, \]

（中間一步用了 \(g_2^{-1} n_1 g_2 \in N\) ，由正規性。）結合律繼承自 \(G\) ；單位元 \(eN = N\) ； \((gN)^{-1} = g^{-1}N\) 。 \(\blacksquare\)

定義 2.4.4（同態與核）#

\(\varphi : G \to G'\) 為同態若 \(\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)\) 。核 \(\ker\varphi = \{g : \varphi(g) = e'\}\) 。

定理 2.4.5（第一同構定理）#

\(\ker\varphi \trianglelefteq G\) ，且

\[ G / \ker\varphi \;\cong\; \operatorname{im}\varphi. \]

證明思路： \(\ker\varphi\) 正規由直接驗證；映射 \(\bar\varphi(g\ker\varphi) = \varphi(g)\) 良定義（ \(\varphi\) 在核上為 \(e'\) ）、是雙射同態。 \(\blacksquare\)

意義：每個商群都來自某個同態的「合併」；反之每個同態的核給出一個「可忽略的細節層」。這是現代代數的羅塞塔石碑之一（環版見 3.2 節）。

定義 2.4.6（單群與合成列）#

  • \(G\) 是單群，若其正規子群只有 \(\{e\}\) 與 \(G\) （且 \(|G| > 1\) ）。
  • 合成列：鏈 \(\{e\} = G_0 \trianglelefteq G_1 \trianglelefteq \cdots \trianglelefteq G_k = G\) ，各 \(G_{i-1} \trianglelefteq G_i\) 且商因子 \(G_i/G_{i-1}\) 皆單群。

定理 2.4.7（若爾當–赫爾德）#

有限群的任意兩個合成列有相同的長度與（在同構意義下、可重排的）商因子。

定理 2.4.8（若爾當，1870）#

\(A_n\) 對 \(n \ge 5\) 是單群。

證明思路（概要）： \(A_5\) 的共軛類為 \(\{e\}\) 、15 個雙對換（2 階）、20 個 3-循環（3 階）、12 與 12 個 5-循環（各半）。正規子群必為若干完整共軛類的聯集、階整除 60 且含 \(e\) 。逐項檢查 60 的因子（2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30）皆無法湊成「共軛類聯集 ∪ {e}」，故無非平凡正規子群； \(n > 5\) 的情形需另證（歸納 + 3-循環生成性）。 \(\blacksquare\)

與方程可解性的關係： \(S_5\) 的合成列為 \(\{e\} \trianglelefteq A_5 \trianglelefteq S_5\) ，因子 \(\mathbb{Z}/2, A_5\) ； \(A_5\) 是單群但非交換素數階群，故「不可解」（可解群 = 合成因子皆循環素數階，見 2.5 節與 4.4 節）。五次方程無根式解的群論根源就是 \(A_5\) 的單性。

SymPy 實作#

範例 1：檢驗正規性—— \(S_3\) 的三個子群#

from sympy.combinatorics import Permutation, PermutationGroup

S3 = PermutationGroup(Permutation(0, 1), Permutation(1, 2))

def is_normal(H, G):
    """檢驗 H 是否為 G 的正規子群：對所有 g in G, h in H，ghg^{-1} in H"""
    H_set = set(H.elements)
    return all(g * h * (~g) in H_set for g in G.elements for h in H.elements)

# 三個子群
A3 = PermutationGroup(Permutation(0, 1, 2))            # 3 階循環
H2 = PermutationGroup(Permutation(0, 1))               # 2 階
triv = PermutationGroup(Permutation(3))                # 平凡

for name, H in [("A_3", A3), ("<（12）>", H2), ("平凡", triv)]:
    print(f"{name}: 階 {H.order()}, 正規於 S_3：{is_normal(H, S3)}")

輸出說明：

A_3: 階 3, 正規於 S_3：True
<（12）>: 階 2, 正規於 S_3：False
平凡: 階 1, 正規於 S_3：True

\(S_3\) 的 2 階子群不正常規：取 \(g = (2\,3)\) 、 \(h = (1\,2)\) ，得 \(ghg^{-1} = (1\,3) \notin H\) 。讀者可在程式中印出共軛 \(g h g^{-1}\) 直接觀察「左右陪集錯位」。 \(A_3\) 正規（指數 2），故 \(S_3/A_3 \cong \mathbb{Z}/2\) 成立——奇偶性正是這個商。

範例 2：構造商群 \(S_3/A_3\) 並驗證其為 2 階循環群#

from sympy.combinatorics import Permutation, PermutationGroup

S3 = PermutationGroup(Permutation(0, 1), Permutation(1, 2))
A3 = PermutationGroup(Permutation(0, 1, 2))

# 陪集當作元素：兩個陪集
els = list(S3.elements)
H = set(A3.elements)
cosets = []
for g in els:
    C = frozenset(g * h for h in H)
    if C not in cosets:
        cosets.append(C)
print("陪集數 =", len(cosets))

# 陪集乘法表：C1*C2 = {ab : a in C1, b in C2}，應再是一個陪集
def coset_mul(C1, C2):
    P = frozenset(a * b for a in C1 for b in C2)
    return next(C for C in cosets if P == C)

for i, C1 in enumerate(cosets):
    for j, C2 in enumerate(cosets):
        print(f"C{i} * C{j} = C{cosets.index(coset_mul(C1, C2))}")
# 乘法表應為 Z/2 的表：C0 為單位、C1*C1 = C0

輸出說明：兩個陪集 \(C_0 = A_3\) 、 \(C_1 = (1\,2)A_3\) ，其乘法表為 \(\begin{smallmatrix} C_0 & C_1 \\ C_1 & C_0 \end{smallmatrix}\) ——正是 \(\mathbb{Z}/2\) 的凱萊表（2.2 節）。注意：若對非正規的 \(H = \langle(1\,2)\rangle\) 做同樣的乘法，coset_mul 會在 next(...) 找不到匹配陪集時拋出 StopIteration——商群崩潰的程式化呈現（習題 2 建議讀者親自體驗）。

範例 3： \(A_4\) 的正規子群與合成列#

from sympy.combinatorics import Permutation, PermutationGroup
from itertools import combinations

A4 = PermutationGroup(Permutation(0, 1, 2), Permutation(0, 1, 3))
els = list(A4.elements)

def is_normal(H_set, G):
    return all(g * h * (~g) in H_set for g in G.elements for h in H_set)

# 找出 V4 = {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}
V4 = PermutationGroup(Permutation(0,1)(2,3), Permutation(0,2)(1,3))
print("V4 階數 =", V4.order(), "，正規於 A_4：", is_normal(set(V4.elements), A4))
print("V4 正規於 S_4：",
      is_normal(set(V4.elements),
                PermutationGroup(Permutation(0,1), Permutation(1,2), Permutation(2,3))))

# A_4 的合成列：{e} <| V4 <| A4
# 商因子：V4/{e} ≅ Z/2 × Z/2（非循環素數階！）與 A4/V4 ≅ Z/3
print("A4/V4 階 =", A4.order() // V4.order())   # 3，素數階循環
print("V4 非循環：", not V4.is_cyclic)           # 故 A4 不可解的群論跡象

輸出說明： \(V_4\) （克萊因四元群）在 \(A_4\) 與 \(S_4\) 中皆正規——這正是四次方程預解式的結構（2.1 節中 \(\psi\) 的 6 個取值重排群 \(\cong S_4/V_4 \cong S_3\) ）。合成列 \(\{e\} \trianglelefteq V_4 \trianglelefteq A_4\) 的因子是 \(\mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2\) 與 \(\mathbb{Z}/3\) ：前者非素數階循環，所以 \(A_4\) 不可解——四次方程雖可解，但 \(A_4\) 的結構已經顯示張力； \(A_5\) 則徹底崩壞。

範例 4：符號驗證 \(S_4/V_4 \cong S_3\)#

from sympy.combinatorics import Permutation, PermutationGroup

S4 = PermutationGroup(Permutation(0,1), Permutation(1,2), Permutation(2,3))
V4 = PermutationGroup(Permutation(0,1)(2,3), Permutation(0,2)(1,3))
S3 = PermutationGroup(Permutation(0,1), Permutation(1,2))

print("S4 階 =", S4.order(), "; V4 階 =", V4.order(), "; 商階 =", S4.order()//V4.order())
print("S3 階 =", S3.order())
print("兩者皆 6 階；商群作用於 {三種分對方式} 上")
# 三種把 {1,2,3,4} 分成兩對的方式：
partitions = [{(0,1),(2,3)}, {(0,2),(1,3)}, {(0,3),(1,2)}]
def act(g):
    return tuple(sorted(
        tuple(sorted(tuple(sorted((g(a), g(b)))) for (a, b) in P)) for P in partitions
    ))
seen = {}
for g in S4.elements:
    seen.setdefault(act(g), []).append(g)
print("像的個數 =", len(seen), "（應為 6，即 S3 的元素個數）")
print("每個像的纖維大小 =", {k: len(v) for k, v in list(seen.items())[:1]})

輸出說明： \(S_4\) 作用在「三種兩兩配對方式」上，核恰為 \(V_4\) （保持所有配對方式的置換），像有 6 個且行為與 \(S_3\) 相同。這是第一同構定理的具體化： \(S_4/V_4 \cong S_3\) 。歷史上，這個「6 值函數 + 3 種配對」正是拉格朗日預解式與伽羅瓦理論的交會點。

商結構的直觀圖#

SymPy 要點回顧#

  • 正規性檢驗：all(g*h*~g in H for g in G.elements for h in H.elements)。
  • 商群需手動構造陪集與乘法（SymPy 無內建 quotient_group；PermutationGroup 有相關輔助如 coset_table）。
  • Permutation(a, b)(c, d) 記號可寫出多循環的合成。
  • ~g 是逆置換；g * h 是複合（SymPy 約定：g*h 先作用 h 再 g，注意與手算的順序慣例對照）。

習題#

  1. 證明： \(N \trianglelefteq G\) 時 \(gN = Ng\) ；並找出 \(S_3\) 中 \(H = \langle(1\,2)\rangle\) 的一組 \(g\) 使 \(gH \ne Hg\) 。
  2. 把範例 2 的程式改用 \(H = \langle(1\,2)\rangle\) （非正規），觀察陪集乘法如何「溢出」所有陪集，解釋為何無法定義商群。
  3. 證明第一同構定理（定理 2.4.5）的細節： \(\bar\varphi\) 良定義、單射、滿射、保運算。
  4. 用程式驗證 \(A_5\) 的共軛類大小為 \(1, 15, 20, 12, 12\) ，並驗證 60 的每個非平凡因子都無法表示成「若干完整共軛類 ∪ \(\{e\}\) 」的元素個數和——從而完成定理 2.4.8 在 \(A_5\) 情形的機器證明。
  5. 求 \(S_4\) 的全部正規子群（答案： \(\{e\}, V_4, A_4, S_4\) ），並寫出 \(S_4\) 的合成列。
  6. 證明：群 \(G\) 的兩個正規子群的交集正規；兩個正規子群生成的子群正規。
  7. （若爾當–赫爾德預告）驗證 \(S_3\) 的兩個不同合成列 \(\{e\} \trianglelefteq A_3 \trianglelefteq S_3\) 與 \(\{e\} \trianglelefteq \langle(2\,3)\rangle \trianglelefteq S_3\) ——第二條成立嗎？若不成立，說明缺了什麼條件。

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