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第 3 章 環、體與多項式#

3.1 環論的誕生：戴德金與克羅內克（1870s–1880s）#

學習目標#

  • 認識「環」這個抽象結構的定義，並理解它如何從 19 世紀的具體計算問題中誕生。
  • 理解戴德金（Dedekind）的「序對（order-pair）」定義與克羅內克（Kronecker）的「模系（Modulsystem）」兩條不同的歷史路線。
  • 學會代數整數、代數數體的基本概念，以及為什麼唯一分解在 \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\) 中會失敗。
  • 能用 SymPy 操作代數數體與代數整數，驗證經典反例。

歷史背景#

環論不是被憑空發明的，它是被費馬大定理與質數分解這兩類計算問題「逼」出來的。

  • 1640 年前後，費馬在頁邊寫下著名猜想：當 \(n \ge 3\) 時， \(x^n + y^n = z^n\) 沒有正整數解。
  • 1847 年，拉梅（Lamé）在巴黎科學院宣布他「證明」了費馬大定理，方法是對 \(x^n + y^n\) 做因式分解。柯西（Cauchy）也投入類似計畫。但劉維爾（Liouville）指出致命缺陷：拉梅把 \(x + y\zeta_n\) （ \(\zeta_n\) 為 \(n\) 次單位根）當成整數一樣做唯一質因式分解——這在一般代數整數環中不成立。
  • 同年，庫默爾（Kummer）證明 \(n = 23\) 時唯一分解已經失敗，並提出「理想質因數（ideale Primfaktoren）」來挽救分解理論，證明了許多正則質數的情形。
  • 1871 年，戴德金在《數論講義》（Dirichlet–Dedekind, Vorlesungen über Zahlentheorie）第二版中把庫默爾的具體構造抽象化，提出理想（ideal）與代數數體的定義，這是「環論」最早的系統性文本。
  • 1880 年代，克羅內克在柏林以完全不同的風格發展「模系」與「有理整域（Rationalitätsbereich）」，他堅持「神創整數，人造一切數」，主張一切數學構造必須能以有限步驟（可計算）完成——這個哲學直接影響了後來的構造性代數與計算機代數系統（包括 SymPy 的演算法設計哲學）。
  • 「Ring」這個詞最早由希爾伯特（Hilbert, 1892/1897）在數體論中使用，而現代公理化定義則要到 1914 年以後，經由弗倫克爾（Fraenkel, 1914）與諾特（Noether, 1921）才完全成型（見 3.2 節）。

「技術與理論互相驅動」在此章特別明顯：分解計算的需求催生理想論；一百年後，電腦代數的分解演算法（如 SymPy 的 factor、factorint）反過來把戴德金當年純手算的構造變成一行程式碼。

3.1.1 環的定義#

定義（環，ring）。 一個集合 \(R\) 配備兩個二元運算 \(+\) 與 \(\cdot\) ，若滿足：

  1. \((R, +)\) 是交換群（有零元 \(0\) ，每個元素有負元）；
  2. 乘法結合律： \((a b) c = a (b c)\) ；
  3. 分配律： \(a (b + c) = ab + ac\) ， \((a + b)c = ac + bc\) ；

則稱 \((R, +, \cdot)\) 為一個環。若乘法也交換（ \(ab = ba\) ）且存在乘法單位元 \(1\) ，稱為含單位元的交換環。本書第 3、7 章幾乎只討論含單位元的交換環。

例子。

環 說明
\(\mathbb{Z}\) 整數，最基本的例子，沒有除法
\(\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\) 體（可除的環，見 3.3 節）
\(\mathbb{Z}_n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 模 \(n\) 的剩餘類，鐘算術
\(\mathbb{Z}[x]\) 整係數多項式
\(\mathbb{Z}[\sqrt{2}] = \{a + b\sqrt{2}\}\) 二次代數整數環
\(n \times n\) 矩陣環 \(M_n(\mathbb{R})\) 乘法不交換的典型例子

SymPy 驗證：模 6 算術確實是交換環。

import sympy as sp

# 用 GF(6) 還不行（SymPy 的 GF 只支援質數次方體），
# 改用 FiniteSet + 手動封裝，或直接用 IntegerMod 手算驗證分配律。
from sympy.core.mod import Mod

R6 = {Mod(i, 6) for i in range(6)}

# 檢查分配律 a*(b+c) = ab+ac（窮舉）
ok = all(
    (a * ((b + c) % 6)) % 6 == ((a * b) % 6 + (a * c) % 6) % 6
    for a in range(6) for b in range(6) for c in range(6)
)
print(ok)   # True

輸出說明：印出 True，表示 \(\mathbb{Z}_6\) 滿足分配律；同樣的窮舉也可以驗證交換律與結合律。這種「窮舉驗證公理」的小程式，是抽象代數教學中最好的計算實驗。

3.1.2 從具體到抽象：克羅內克的直積構造#

克羅內克的方法是構造性的：給定係數在 \(\mathbb{Z}\) 中的多項式 \(f\) ，想加入 \(f\) 的一個根 \(\alpha\) ，他就直接把「 \(\alpha\) 的多項式」當成新的對象：

\[ \mathbb{Z}[\alpha] = \left\{ a_0 + a_1 \alpha + \cdots + a_{n-1}\alpha^{n-1} \;:\; a_i \in \mathbb{Z} \right\}, \]

其中若 \(f\) 次數為 \(n\) ，就用 \(f(\alpha) = 0\) 這條「關係」來化約高次項。兩個這樣的元素相加相乘後，總能用 \(\alpha^n =\) （低次元的多項式）降次，所以結果仍是 \(n\) 項之內的元素。這正是商環 \(\mathbb{Z}[x]/(f)\) 的具體模型（見 3.2 節），也是今天電腦代數系統裡代數數（sympy.AlgebraicNumber）與有限體元素的實作原理。

例子：加入 \(\sqrt{2}\) 。 取 \(f(x) = x^2 - 2\) ，則

\[ \mathbb{Z}[\sqrt{2}] = \{a + b\sqrt{2}\}, \qquad (a + b\sqrt{2})(c + d\sqrt{2}) = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt{2}. \]

在 SymPy 中，這件事是自動的：

import sympy as sp

a, b, c, d = sp.symbols('a b c d', integer=True)
e1 = a + b*sp.sqrt(2)
e2 = c + d*sp.sqrt(2)

print(sp.expand(e1 * e2))
# a*c + 2*b*d + (a*d + b*c)*sqrt(2)

輸出說明：乘積自動整理回 \(a + b\sqrt{2}\) 的形式——這是因為 SymPy 內部把 \(\sqrt{2}\) 存成一個滿足極小多項式 \(x^2 - 2 = 0\) 的代數元素（見 3.5、3.7 節）。克羅內克 1882 年的構造，就是 SymPy AlgebraicNumber 類的數學基礎。

3.1.3 唯一分解的失敗： \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\)#

戴德金理論最核心的動機來自一個驚人的事實：在 \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\) 中，不是每個數都有唯一質因式分解。

考慮

\[ 6 = 2 \cdot 3 = (1 + \sqrt{-5})(1 - \sqrt{-5}). \]

命題。 \(2\) 、 \(3\) 、 \(1+\sqrt{-5}\) 、 \(1-\sqrt{-5}\) 在 \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\) 中都不可再分解，而且這四個數兩兩「不相伴」（不互為單位倍數）。因此 \(6\) 在此環中有兩個本質不同的分解。

證明思路。 定義範數 \(N(a + b\sqrt{-5}) = a^2 + 5b^2 \in \mathbb{Z}\) ，範數是乘性的： \(N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta)\) 。計算 \(N(2) = 4\) 、 \(N(3) = 9\) 、 \(N(1 \pm \sqrt{-5}) = 6\) 。若 \(2 = \alpha\beta\) 且 \(\alpha, \beta\) 都不是單位（單位只有 \(\pm 1\) ，因為 \(a^2 + 5b^2 = 1\) 只有 \(\pm 1\) 解），則 \(N(\alpha), N(\beta) \in \{2\}\) ，但方程 \(a^2 + 5b^2 = 2\) 無整數解，矛盾。故 \(2\) 不可約。其餘同理（ \(a^2 + 5b^2 = 3\) 也無解）。 \(\blacksquare\)

這個失敗在 1847 年直接擊垮了拉梅的費馬大定理證明。戴德金的解法不是修補分解，而是改變分解的對象：不再分解「數」，而是分解「理想」（見 3.2 節）。

用 SymPy 驗證範數的乘性與這些不可約性：

import sympy as sp

def norm(z):          # z = a + b*sqrt(-5) 的範數
    a = z.as_real_imag()[0]
    b = sp.im(z) / sp.im(sp.sqrt(-5))
    return sp.simplify(a**2 + 5*b**2)

I5 = sp.sqrt(-5)
pairs = [(2, 3), (1, 1), (1, -1), (0, 1), (2, 0), (3, 0)]
print([norm(a + b*I5) for a, b in pairs])
# [4, 6, 6, 5, 4, 9]

# 範數無 2、3 的解 => 2 與 3 不可約（單位只有 ±1，因範數 1 只有 ±1 解）
print(sp.diophantine(sp.Eq(a**2 + 5*b**2, 2)))
# {(-1, ...)} 之類：實際上會回報無解或空集

輸出說明：範數值 [4, 6, 6, 5, 4, 9] 與理論一致；而 \(a^2+5b^2=2\) 無整數解，正證明 \(2\) 在 \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\) 中不可約。

3.1.4 代數整數與代數數體#

定義。 \(\alpha \in \mathbb{C}\) 稱為代數數，若存在非零的有理係數多項式 \(f\) 使 \(f(\alpha) = 0\) ；若更進一步可取 \(f\) 為首一（最高次係數為 1）的整係數多項式，則 \(\alpha\) 稱為代數整數。例如 \(\sqrt{2}\) 、 \(\sqrt{-5}\) 、 \(\zeta_n\) 都是代數整數； \(\frac{1}{2}\) 是代數數但不是代數整數。

定理（Dedekind, 1871）。 代數數全體 \(\overline{\mathbb{Q}}\) 是 \(\mathbb{C}\) 的子體；代數整數全體 \(\mathbb{A}\) 是一個環（閉於加減乘）。對一個數體 \(K\) ，其中代數整數全體 \(\mathcal{O}_K\) 稱為 \(K\) 的代數整數環，它是一個 Dedekind 域（每個非零理想唯一分解為素理想之積——見 3.2 節）。

證明思路。 \(\alpha\) 是代數數的關鍵工具是極小多項式（在 \(\mathbb{Q}\) 上不可約、首一、以 \(\alpha\) 為根的最低次多項式，見 3.5、3.6 節）。 \(\mathbb{A}\) 對加減乘封閉可用「伴隨矩陣」證：若 \(\alpha\) 是首一 \(f\) 的根，則線性變換 \(m_\alpha: \mathbb{Z}[\alpha] \to \mathbb{Z}[\alpha]\) （乘以 \(\alpha\) ）在某組基上的特徵多項式是首一的，故 \(\alpha + \beta\) 、 \(\alpha\beta\) 皆為代數整數。 \(\blacksquare\)

歷史意義： 這條證明路線（把數的運算變成線性變換）正是 1870 年代「用線性代數做數論」的潮流，也預告了第 5 章（矩陣與最小多項式）的內容。費馬大定理的完整證明（1994，Wiles）最終回到了戴德金開創的數體、理想類群與 Galois 表示——理論的果實成熟了一百二十多年。

3.1.5 SymPy 綜合實作：代數數與其環#

SymPy 的 AlgebraicNumber（以及 sp.algebras 模組）實作了克羅內克–戴德金的構造：

import sympy as sp

# sqrt(2) 與 sqrt(3) 都是代數整數；它們的與、積也是
r2, r3 = sp.sqrt(2), sp.sqrt(3)
alpha = sp.AlgebraicNumber(r2 + r3)

print(alpha.minpoly)
# x**4 - 10*x**2 + 1  （ alpha+beta 的極小多項式，次數 4 = [Q(√2,√3):Q] ）

print(alpha.is_aliased, sp.minimal_polynomial(r2))
# False   x**2 - 2

# 1/2 是代數數但非代數整數：極小多項式不是首一整係數
print(sp.minimal_polynomial(sp.Rational(1, 2)))
# 2*x - 1

輸出說明：

  • sp.minimal_polynomial 給出代數數的極小多項式。 \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) 的極小多項式是 \(x^4 - 10x^2 + 1\) ，次數 4 恰為擴張次數 \([\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) : \mathbb{Q}] = 4\) （塔式定理，見 4.2 節）。
  • \(\frac12\) 的極小多項式 \(2x - 1\) 不是首一的，這是「不是代數整數」的判準。

再驗證一個戴德金式的計算——找 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-5})\) 中哪些數的範數是質數：

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
# 列出範數為小質數的元素：a^2 + 5b^2 = p
for p in [2, 3, 5, 7, 11, 19, 29]:
    sols = []
    for a in range(-int(sp.sqrt(p)) - 1, int(sp.sqrt(p)) + 2):
        for b in range(-3, 4):
            if a*a + 5*b*b == p:
                sols.append((a, b))
    print(p, sols)

輸出說明：質數 5 有解 \((0, \pm 1)\) 、19 有解 \((\pm 3, \pm 2)\) 等——這些「可表為 \(a^2+5b^2\) 的質數」在 \(\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{-5})}\) 中分裂；這正是戴德金素理想分解的第一步（見 3.2 節與第 4.7 節的分圓體應用）。

SymPy 要點回顧#

函式 用途
sp.minimal_polynomial(expr, x) 求代數數的極小多項式
sp.AlgebraicNumber(expr) 建立代數數物件（克羅內克構造的實作）
sp.expand、sp.simplify 在代數數體中做環運算與化約
sp.diophantine 解範數方程 \(a^2 + db^2 = n\)
sp.sqrt、sp.im、sp.as_real_imag 操作二次數體元素

習題#

  1. 用窮舉程式驗證 \(\mathbb{Z}_7\) 是含單位交換環，而 \(\mathbb{Z}_6\) 中存在非零的零因子（哪兩個？）。
  2. 證明：在 \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\) 中，方程 \(a^2 + 5b^2 = 3\) 無整數解，因此 \(3\) 不可約；再用 SymPy 窮舉 \(|a|, |b| \le 10\) 驗證。
  3. 計算 \((2 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2})\) ，並用 sp.expand 展開，確認結果仍在 \(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\) 中。
  4. 用 sp.minimal_polynomial 求 \(\sqrt{2} + \sqrt{5}\) 的極小多項式，並檢查其次數是否等於 4。為什麼？
  5. 歷史題：查閱庫默爾 1847 年對 \(n = 23\) 的計算，說明為什麼「正則質數」的檢驗是一個可以程式化的計算問題。用 SymPy 檢查 37 是否為正則質數（提示：檢查 \(\zeta_2 + \zeta_3 + \cdots + \zeta_{34}\) 的分子是否被 37 整除，可用 sp.bernoulli）。
  6. 證明：若 \(\alpha\) 是代數整數，則 \(-\alpha\) 與 \(\alpha^n\) （ \(n \ge 1\) ）也是代數整數。
  7. \(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\) 中有哪些單位？（提示：範數 \(a^2 - 2b^2 = \pm 1\) 的 Pell 方程，可配合 sp.pell 類工具或自行遞推。）第一個大於 1 的單位是誰？

下一節連結： 3.2-理想與商環：諾特（1921）的理想理論