第 3 章 環、體與多項式（續）#

3.5 體擴張與克羅內克定理：代數閉包#

學習目標#

• 定義體擴張、代數元素、擴張次數 \([L : K]\) 與塔式定理。
• 證明克羅內克定理（1887）：在 \(K[x]\) 中不可約多項式必有根所在的擴張體——「永遠可以添加根」。
• 認識代數閉包與代數基本定理（FTA），以及 FTA 的歷史（高斯 1799）。
• 能用 SymPy 的 minimal_polynomial、AlgebraicNumber、roots 研究具體擴張。

歷史背景#

• 16 世紀：卡爾達諾公式（1545，見 1.3 節）迫使人們「形式上」使用 \(\sqrt{-121}\) ——邦貝利（Bombelli, 1572）發現必須操作「虛數」才能求出實根。複數在毫無理論的情況下被計算需求創造出來。
• 1799：22 歲的高斯博士論文《單變數整有理函數分解為一次實因式的新證明》給出代數基本定理的第一個（近乎完整的）證明；他一生又給了三個不同證明。FTA 說 \(\mathbb{C}\) 是代數閉的——不夠用的數體總能在 \(\mathbb{C}\) 內找到根。
• 1887：克羅內克發表《關於代數方程的一般理論基礎》，證明一個純構造性的定理：給定係數在 \(K\) 的不可約多項式 \(f\) ，可以具體地構造一個擴張體 \(K(\alpha)\) 使 \(f\) 有根。這不需要假設 \(\mathbb{C}\) 存在——任何體都能「自己長出」自己需要的根。
• 這是構造主義哲學的勝利：克羅內克的名言「神創整數，其餘皆為人造」。這條思路直接導致今日計算機代數系統的設計：SymPy 中的 AlgebraicNumber 正是把根表示為「商環 \(\mathbb{Q}[x]/(f)\) 的元素」，完全避免引用 \(\mathbb{C}\) 的存在性。
• 技術驅動： 有限體 \(\mathbb{F}_{p^n}\) 的構造（3.3、3.7 節）就是克羅內克定理的最小案例；AES、橢圓曲線密碼學都要求「給我 \(\mathbb{F}_{2^8}\) 」這樣的構造服務。

timeline
    title 「添加根」的歷史
    1545 : Bombelli 形式操作虛數（計算需求）
    1799 : 高斯證明代數基本定理（C 的完備性）
    1830 : Galois 構造有限體 F_p^n
    1887 : Kronecker 構造性定理：K[x] 的根可被添加
    1910 : Steinitz 體論的公理化綱領
    2001 : AES 直接使用 Kronecker 構造的 F_2^8

3.5.1 體擴張與代數元素#

定義（擴張）。 若 \(K \subseteq L\) 且兩者都是域（運算相容），稱 \(L/K\) 是一個體擴張， \(K\) 為基體。

定義（代數 / 超越）。 \(\alpha \in L\) 稱為在 \(K\) 上代數，若存在非零 \(f \in K[x]\) 使 \(f(\alpha) = 0\) ；否則稱為超越。

定義（極小多項式）。 代數元素 \(\alpha\) 在 \(K\) 上唯一的次數最小、首一、不可約的 \(m_\alpha(x) \in K[x]\) （以 \(\alpha\) 為根）稱為極小多項式。次數 \(\deg m_\alpha\) 稱為 \(\alpha\) 在 \(K\) 上的次數。

定理。 \(m_\alpha\) 存在且不可約，且 \(f(\alpha) = 0 \iff m_\alpha \mid f\) 。

證明。 考慮賦值同態 \(\varphi: K[x] \to L\) ， \(g \mapsto g(\alpha)\) ；核 \(\ker \varphi = \{g : g(\alpha) = 0\}\) 是 \(K[x]\) 的理想，非零（ \(\alpha\) 代數）。因 \(K[x]\) 是 PID（3.4 節）， \(\ker\varphi = (m)\) ，取 \(m\) 首一。若 \(m = gh\) 非平凡分解，則 \(g(\alpha)h(\alpha) = 0\) ，域中 \(g(\alpha), h(\alpha)\) 有一為零，與 \(m\) 的最小次數矛盾，故 \(m\) 不可約。 \(f(\alpha) = 0 \iff f \in \ker\varphi \iff m \mid f\) 。 \(\blacksquare\)

定義（單擴張與擴張次數）。 對 \(\alpha \in L\) ，定義

是包含 \(K\) 與 \(\alpha\) 的最小子域。當 \(\alpha\) 代數時， \(K(\alpha)\) 是一個向量空間（ \(K\) 上的），其維度稱為擴張次數 \([K(\alpha) : K]\) 。

定理。 \(\alpha\) 在 \(K\) 上代數、 \(\deg m_\alpha = n\) ，則

證明思路。 克羅內克構造（3.1 節）＋商環：映射

是同構（核恰為 \((m_\alpha)\) ，滿性由 \(\alpha\) 可逆： \(h(\alpha) \neq 0 \Rightarrow \gcd(h, m_\alpha) = 1 \Rightarrow 1 = sh + tm_\alpha \Rightarrow h(\alpha)^{-1} = s(\alpha)\) ）。而 \(\{1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}\}\) 是商環的 \(K\) -基。 \(\blacksquare\)

例子。 \(\alpha = \sqrt{2}\) ： \(m_\alpha = x^2 - 2\) ， \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a + b\sqrt{2}\}\) ， \([\mathbb{Q}(\sqrt2):\mathbb{Q}] = 2\) 。

SymPy 驗證：

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')
alpha = sp.sqrt(2) + sp.sqrt(3)
m = sp.minimal_polynomial(alpha, x)
print(m)          # x**4 - 10*x**2 + 1
print(sp.degree(m))   # 4

輸出說明： \(\sqrt2+\sqrt3\) 的極小多項式為 \(x^4 - 10x^2 + 1\) ，次數 4，即 \([\mathbb{Q}(\sqrt2, \sqrt3):\mathbb{Q}] = 4\) 。可以驗證 \(m(\sqrt2+\sqrt3) = 0\) ：

print(sp.simplify(m.subs(x, sp.sqrt(2) + sp.sqrt(3))))   # 0

3.5.2 塔式定理（預告第 4.2 節）#

定理（塔式定理）。 若 \(K \subseteq L \subseteq M\) 都是域且 \([L:K] < \infty\) ，則

在有限次數下恆成立（右邊任一因子無限時取 \(\infty\) ）。

證明思路。 設 \(\{e_1, \dots, e_m\}\) 是 \(L/K\) 的基、 \(\{d_1, \dots, d_n\}\) 是 \(M/L\) 的基。證明 \(\{d_i e_j\}\) （共 \(mn\) 個）是 \(M/K\) 的基：張成性由兩次展開得到；線性無關性由「先把 \(K\) 係數按 \(e_j\) 分組（ \(e_j\) 對 \(L\) 無關，故每組 \(L\) 係數為零），再用 \(d_i\) 對 \(L\) 的無關性」。 \(\blacksquare\)

推論。 若 \([L : K] = p\) 為質數，則 \(K \subseteq L\) 之間沒有中間體。（第 4 章 Galois 對應的基礎。）

例子。 \([\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}) : \mathbb{Q}] = 4\) ，因為 \(x^4 - 2\) 不可約（Eisenstein 於 \(p=2\) ，見 3.6 節），且

3.5.3 克羅內克定理（1887）#

定理（Kronecker）。 設 \(K\) 是域、 \(f \in K[x]\) 次數 \(\ge 1\) 。則存在擴張 \(L/K\) 使 \(f\) 在 \(L\) 中有根。若 \(f\) 不可約且 \(\deg f = n\) ，可取 \(L = K[x]/(f)\) ，此時 \([L:K] = n\) 。

證明。 取 \(f\) 的一個不可約因式 \(p\) （3.4 節 UFD），對不可約 \(p\) 構造商環

\(L\) 是域：因 \(p\) 不可約， \((p)\) 是極大理想（3.4 節 PID 中不可約 \(\iff\) 極大），故商環為域。令 \(\alpha = \bar{x} \in L\) ，則 \(p(\alpha) = \overline{p(x)} = 0\) ，且 \(K \hookrightarrow L\) 是自然嵌入（常數多項式）。 \([L:K] = \deg p\) ，因為 \(\{1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}\}\) 是 \(L\) 的 \(K\) -基。 \(\blacksquare\)

意義。 這個證明是純構造的：根 \(\alpha\) 就是「符號 \(x\) 加上關係 \(p(x)=0\) 」的正式化身。不需要 \(\mathbb{C}\) ，不需要選擇公理，只需要商環。克羅內克定理反覆套用即得：

推論。 任何 \(f \in K[x]\) 都在某個擴張 \(E/K\) 中完全分裂（存在 \(E\) 使 \(f\) 分解為一次因式之積）。

反覆構造：添加一個根、把 \(f\) 除掉 \((x - \alpha)\) 、再對剩下的多項式繼續；每次次數至少降 1，最多 \(\deg f\) 步完成。

SymPy：親手構造 \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\) 。

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')
f = sp.Poly(x**3 - 2, x, domain=sp.QQ)

# Kronecker 構造：商環 Q[x]/(x^3 - 2)
# SymPy 中用 AlgebraicNumber 直接表示根
beta = sp.real_root(2, 3)                    # 2 的實立方根
print(sp.minimal_polynomial(beta, x))        # x**3 - 2

# 在 Q(2^(1/3)) 中做運算：每個元素 = a + b*alpha + c*alpha^2
a, b, c, d, e, g = sp.symbols('a b c d e g')
u = a + b*beta
v = d + e*beta + g*beta**2
print(sp.expand(u * v))
# 展開後 SymPy 自動用 beta^3 = 2 化約高次項

輸出說明：minimal_polynomial(real_root(2, 3)) 印出 \(x^3 - 2\) ，確認 \(\beta\) 的次數是 3（ \(x^3-2\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上不可約，3.6 節將用 Eisenstein 證明）。expand 乘開 \((a + b\beta)(d + e\beta + g\beta^2)\) 時， \(b\beta \cdot g\beta^2 = bg\beta^3 = 2bg\) 自動併入常數項——這正是商環 \(\mathbb{Q}[x]/(x^3-2)\) 中乘法的降次規則。

3.5.4 代數閉包與代數基本定理#

定義（代數閉）。 域 \(K\) 稱為代數閉，若每個次數 \(\ge 1\) 的 \(f \in K[x]\) 在 \(K\) 中有根。等價地： \(K[x]\) 的不可約多項式恰有一次式。

定義（代數閉包）。 擴張 \(\bar K/K\) 若 \(\bar K\) 代數閉且 \(\bar K/K\) 是代數擴張，稱 \(\bar K\) 為 \(K\) 的代數閉包。

定理（代數基本定理，Gauss 1799）。 \(\mathbb{C}\) 是代數閉的。因此 \(\overline{\mathbb{Q}} = \{z \in \mathbb{C} : z \text{ 代數}\}\) 是 \(\mathbb{Q}\) 的代數閉包。

證明（複變版本概要）。 設 \(f \in \mathbb{C}[z]\) 無根。則 \(1/f(z)\) 是有界整函數（ \(f \to \infty\) 當 \(|z| \to \infty\) ），由 Liouville 定理 \(1/f\) 是常數，矛盾。 \(\blacksquare\) （高斯的原證明是拓撲／實分析的，不依賴複分析；完整證明見任何複變教材。）

存在性定理（Steinitz, 1910）。 每個域都有代數閉包，且在同構意義下唯一（固定基體的同構）。證明用 Zorn 引理對「代數擴張鏈」取極大元——這裡離開了克羅內克的構造世界，是選擇公理的典型應用；構造主義者對此始終不滿。

次數鏈的例子。

次數分別為 \(1, 2, 4, 20, \dots\) ，最後逼近無限次代數擴張 \(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}\) （可數無限）。

SymPy：探索 \(\overline{\mathbb{Q}}\) 中的元素。

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')
# 各種代數數的極小多項式與次數
samples = [sp.sqrt(2), sp.sqrt(2) + sp.sqrt(3),
           sp.cos(sp.pi/7) * 2,                      # 2cos(2pi/14) 是代數整數
           sp.Rational(3, 7),                        # 有理數：次數 1
           (1 + sp.sqrt(5)) / 2]                     # 黃金比例

for v in samples:
    m = sp.minimal_polynomial(v, x)
    print(v, ':', m, '| 次數 =', sp.degree(m))

輸出說明（理論值）：

注意 \(3/7\) 的極小多項式 \(7x - 3\) 非首一——它不是代數整數（3.1 節判準）；而 \(2\cos(\pi/7)\) 與黃金比例是代數整數（首一極小多項式）。

3.5.5 技術迴響：CAS 與有限體的克羅內克構造#

克羅內克定理說「不可約多項式 \(p\) 的商環是體」。在 \(\mathbb{F}_2\) 上取 \(p = x^8+x^4+x^3+x+1\) ，就構造出 \(\mathbb{F}_{256}\) ——AES 的心臟。SymPy 的 GF 類可以表達一般 \(\mathbb{F}_{p^n}\) ：

import sympy as sp
from sympy.polys.domains import GF

x = sp.Symbol('x')
# SymPy 支援質數域 GF(p) 上的 Poly；F_256 需要藉由模多項式約化（見 3.7 節完整實作）
f = sp.Poly(x**8 + x**4 + x**3 + x + 1, x, domain=sp.GF(2))
print(sp.factor(f.as_expr(), modulus=2))
# x**8 + x**4 + x**3 + x + 1（不可約 => 商環是 F_256）

輸出說明：factor(..., modulus=2) 無法分解此多項式，依 3.4 節 UFD 理論它不可約，故 \(\mathbb{F}_2[x]/(f)\) 是 256 元域。1887 年的構造定理，在 2001 年成為加密標準的定義檔。 完整的 \(\mathbb{F}_{2^8}\) 算術實作見 3.7 節。

SymPy 要點回顧#

習題#

1. 證明：若 \([L:K] = 2\) ，則 \(L = K(\alpha)\) 對任何 \(\alpha \in L \setminus K\) 成立（先證 \(\alpha\) 在 \(K\) 上代數且次數為 2）。
2. 用塔式定理證明 \(\sqrt[3]{2} \notin \mathbb{Q}(\sqrt2)\) 。（提示：若在，則 \(2\) 會整除一個不可能的次數。）
3. 用 sp.minimal_polynomial 求 \(\sqrt[4]{2}\) 的極小多項式；再用塔式定理把 \([\mathbb{Q}(\sqrt[4]2):\mathbb{Q}] = 4\) 拆成兩個二次擴張的積。
4. 證明 \(\cos(2\pi/5) = \frac{\sqrt5 - 1}{4}\) （可用 SymPy 的 sp.N 與 sp.simplify 輔助猜測），並據此求 \(2\cos(2\pi/5)\) 的極小多項式。
5. 親手執行克羅內克構造：對 \(f = x^2 + x + 1 \in \mathbb{F}_2[x]\) ，用 sp.rem 寫出 \(\mathbb{F}_2[x]/(f)\) 的完整加法與乘法表，確認它與 3.3 節的 \(\mathbb{F}_4\) 同構。
6. 證明： \(\alpha\) 代數 \(\Rightarrow\) \(\alpha + 1\) 代數，並求 \(m_{\alpha+1}(x)\) 與 \(m_\alpha(x)\) 的關係（用 \(x \mapsto x - 1\) 代換）。
7. 歷史題：邦貝利 1572 年解 \(x^3 = 15x + 4\) 時得到 \(\sqrt[3]{2 + 11i} + \sqrt[3]{2 - 11i} = 5\) 。用 SymPy 驗證 \((2+11i)^{1/3}\) 的實部為 2、虛部為 1（即 \(2 + 11i = (2+i)^3\) ），重建這個「虛數第一次被迫登場」的計算。
8. 說明為什麼 Steinitz 的代數閉包存在性證明需要 Zorn 引理，而克羅內克的「添加一個根」不需要。這對「可計算性」有何影響？

前後節連結： 上一節 3.4-多項式環、整除性與因式分解；下一節 3.6-不可約多項式與Eisenstein判別法