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4.1 尺規作圖問題：古希臘三大難題#

學習目標#

  1. 認識古希臘三大幾何難題：化圓為方、三等分角、倍立方。
  2. 理解「尺規可作圖數」的嚴格代數定義：由有理數經過開平方逐步擴張而得。
  3. 學會「可作圖 ⇒ 次數為 \(2\) 的冪」這一必要條件，並用它證明三大難題不可能。
  4. 用 SymPy 計算 \(\cos 20^\circ\) 的最小多項式，驗證其次數為 \(3\) ，從而判定三等分 \(60^\circ\) 角不可作。

歷史背景#

公元前 5 世紀前後，古希臘幾何學家提出三個看似簡單的作圖問題，只允許使用無刻度直尺與圓規，在有限步驟內完成：

問題 提出年代（約） 傳說與人物
化圓為方 前 5 世紀 阿那克薩哥拉（Anaxagoras）在獄中研究
倍立方 前 5 世紀 德利安神諭：祭壇體積加倍
三等分任意角 前 5 世紀 希比亞斯（Hippias）的割圓曲線嘗試

兩千年間，無數數學家（阿基米德、尼科米德斯、韋達、笛卡兒……）都曾嘗試，全部失敗。失敗的原因不是不夠聰明，而是問題本身無解——但要證明「無解」，需要一套當時尚不存在的語言：體擴張（field extension）理論。這正是「技術與理論互相驅動」的經典案例：幾何難題驅動了 19 世紀體論的誕生，而體論（經 Wantzel 1837 年、Lindemann 1882 年的工作）反過來徹底解決了兩千年的懸案。

定義：可作圖數#

定義 4.1.1（尺規作圖的代數模型） 從數線上的 \(\{0, 1\}\) 出發（即給定單位長），一個實數 \(\alpha\) 稱為可作圖的，若存在一列體

\[ \mathbb{Q} = F_0 \subset F_1 \subset \cdots \subset F_n, \qquad \alpha \in F_n, \]

其中每一步 \(F_{i+1} = F_i(\sqrt{a_i})\) ，且 \(a_i \in F_i\) 、 \(a_i \ge 0\) 。也就是說：可作圖數 = 反覆「加、減、乘、除、開平方」能造出的數。

幾何操作對應代數操作的理由：

  • 直尺：過兩已知點畫線 ⇒ 解兩個線性方程，係數在已知體內 ⇒ 交點座標仍在該體內。
  • 圓規：以已知點為心、已知長為半徑畫圓 ⇒ 座標方程出現平方項 ⇒ 交點落在 \(F(\sqrt{d})\) 中。

定理 4.1.2（次數必要條件） 若 \(\alpha\) 可作圖，則 \([\mathbb{Q}(\alpha) : \mathbb{Q}]\) 是 \(2\) 的冪。

證明思路：由塔式定理（見 4.2 節），

\[ [\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] \;\text{整除}\; [F_n:\mathbb{Q}] = [F_n:F_{n-1}]\cdots[F_1:F_0] = 2^n . \]

因為 \(\sqrt{a_i}\) 的次數至多是 \(2\) （二次多項式的根），每一層次數為 \(1\) 或 \(2\) 。若 \(\alpha\) 是 \(n\) 次不可約多項式的根且 \(n\) 不是 \(2\) 的冪，則 \(\alpha\) 必不可作圖。 \(\blacksquare\)

注意：這只是必要條件。次數是 \(2\) 的冪並不保證可作圖（反例可見 4.2 節習題）。

三大難題的終結#

1. 三等分角（Wantzel，1837）#

取 \(60^\circ\) 角。能三等分 \(60^\circ\) 等價於能作出 \(\cos 20^\circ\) 。由三倍角公式：

\[ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} = 4\cos^3 20^\circ - 3\cos 20^\circ . \]

令 \(t = \cos 20^\circ\) ，得 \(8t^3 - 6t - 1 = 0\) 。此多項式在 \(\mathbb{Q}\) 上不可約（見下方 SymPy 驗證），故 \([\mathbb{Q}(t):\mathbb{Q}] = 3\) ，不是 \(2\) 的冪 ⇒ 不可作圖。

2. 倍立方（Wantzel，1837）#

倍立方要求作出 \(2^{1/3}\) 。其最小多項式 \(x^3 - 2\) 由 Eisenstein 判別法（見 3.6 節）知不可約，次數 \(3\) ⇒ 不可作圖。

3. 化圓為方（Lindemann，1882）#

化半徑 \(1\) 的圓為方形，需作出 \(\sqrt{\pi}\) 。Lindemann 證明 \(\pi\) 是超越數（不是任何有理係數多項式的根），故 \([\mathbb{Q}(\sqrt{\pi}):\mathbb{Q}] = \infty\) ，違反有限次數條件 ⇒ 不可作圖。

SymPy 實作#

範例 1：三等分 \(60^\circ\) 角的不可能性#

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')
t = sp.Symbol('t', real=True)

# 三倍角公式：cos 3θ = 4cos³θ − 3cosθ
expr = 4*sp.cos(t)**3 - 3*sp.cos(t) - sp.Rational(1, 2)
# 代入 θ = 20°，用 cos(60°) = 1/2 化簡出多項式
poly = sp.Poly(sp.expand(8*x**3 - 6*x - 1), x)

print("多項式：", poly.as_expr())
print("在 Q 上不可約？", poly.is_irreducible)
print("次數：", poly.degree())
print("判斷：次數 3 不是 2 的冪 ⇒ cos(20°) 不可作圖")

輸出說明：

多項式： 8*x**3 - 6*x - 1
在 Q 上不可約？ True
次數： 3
判斷：次數 3 不是 2 的冪 ⇒ cos(20°) 不可作圖

is_irreducible 為 True 表示 \(8x^3-6x-1\) 在 \(\mathbb{Q}[x]\) 中沒有非平凡因式，因此 \(\cos 20^\circ\) 的體次數恰為 \(3\) 。

範例 2：倍立方與最小多項式#

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')
# 2^(1/3) 的最小多項式
mp = sp.minimal_polynomial(2**(sp.Rational(1, 3)), x)
print("minimal_polynomial(2^(1/3)) =", mp)
print("不可約分解：", sp.factor(mp))
print("次數 =", sp.Poly(mp, x).degree())

# 對照：可作圖數 2^(1/2) 的最小多項式次數為 2
print("minimal_polynomial(√2) =", sp.minimal_polynomial(sp.sqrt(2), x))

輸出說明：

minimal_polynomial(2^(1/3)) = x**3 - 2
不可約分解： x**3 - 2
次數 = 3
minimal_polynomial(√2) = x**2 - 2

\(x^3 - 2\) 的次數 \(3\) 違反「 \(2\) 的冪」條件，倍立方無解；而 \(\sqrt{2}\) 次數 \(2\) ，確實可以用尺規作出（半圓上的比例中項作圖）。

範例 3：作圖數的世界——開平方的體塔#

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')

# 逐步建構可作圖數：√2, 1+√2, √(1+√2) ...
a1 = sp.sqrt(2)                    # 第一層
a2 = sp.sqrt(1 + a1)               # 第二層
mp = sp.minimal_polynomial(a2, x)
print("√(1+√2) 的最小多項式：", mp)
print("次數：", sp.Poly(mp, x).degree())   # 應為 4 = 2²
print("在有理數上分解：", sp.factor(mp))

輸出說明：

√(1+√2) 的最小多項式： x**4 - 2*x**2 - 1
次數： 4
在有理數上分解： x**4 - 2*x**2 - 1

次數 \(4 = 2^2\) 符合定理 4.1.2：每開一次平方，次數至多乘上 \(2\) 。

可作圖的正多邊形：Gauss 的預言#

1796 年，19 歲的 Gauss 證明正十七邊形可用尺規作出，這是兩千年來第一次對三大難題之外的作圖問題的重大突破。他的一般結果（Gauss–Wantzel 定理，1837 年 Wantzel 補完證明）：

定理 4.1.3（Gauss–Wantzel） 正 \(n\) 邊形可尺規作圖 \(\iff\) \(\varphi(n)\) 是 \(2\) 的冪，即 \(n = 2^k p_1 p_2 \cdots p_r\) ，其中 \(p_i\) 是不同的費馬質數（形如 \(2^{2^m}+1\) ）。

目前已知費馬質數只有 \(3, 5, 17, 257, 65537\) 。這個定理把「幾何作圖」完全化約為「分圓體的次數」（見 4.7 節），是 Galois 理論的先聲。

import sympy as sp

# Gauss–Wantzel：正 n 邊形可作圖 ⟺ φ(n) 是 2 的冪（質因數只有 2）
for n in range(3, 101):
    phi = sp.totient(n)
    if all(p == 2 for p in sp.factorint(phi)):
        print(f"正 {n} 邊形可作圖，φ(n) = {phi}")

輸出：

正 3 邊形可作圖，φ(n) = 2
正 4 邊形可作圖，φ(n) = 2
正 5 邊形可作圖，φ(n) = 4
正 6 邊形可作圖，φ(n) = 2
正 8 邊形可作圖，φ(n) = 4
正 10 邊形可作圖，φ(n) = 4
正 12 邊形可作圖，φ(n) = 4
正 15 邊形可作圖，φ(n) = 8
正 16 邊形可作圖，φ(n) = 8
正 17 邊形可作圖，φ(n) = 16
正 20 邊形可作圖，φ(n) = 8
正 24 邊形可作圖，φ(n) = 8
正 30 邊形可作圖，φ(n) = 8
正 32 邊形可作圖，φ(n) = 16
正 34 邊形可作圖，φ(n) = 16
正 40 邊形可作圖，φ(n) = 16
正 48 邊形可作圖，φ(n) = 16
正 51 邊形可作圖，φ(n) = 32
正 60 邊形可作圖，φ(n) = 16
正 64 邊形可作圖，φ(n) = 32
正 68 邊形可作圖，φ(n) = 32
正 80 邊形可作圖，φ(n) = 32
正 85 邊形可作圖，φ(n) = 64
正 96 邊形可作圖，φ(n) = 32

正 \(7\) 、正 \(9\) 、正 \(11\) 邊形都不在名單中——例如 \(\varphi(7) = 6\) 不是 \(2\) 的冪。

理論驅動技術的迴響#

三大難題的「失敗」並非浪費：為了處理它們，數學家被迫發展出體、向量空間次數、最小多項式等概念，最終催生 Galois 理論。今日這些工具支撐著密碼學（有限體，見 4.7 節）、編碼理論與符號計算（SymPy 的 factor、minimal_polynomial 都是體論的產物）。一個兩千年無解的幾何問題，孕育了整個現代代數。

習題#

  1. 證明 \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) 可作圖，並求 \([\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}):\mathbb{Q}]\) 。（提示：用 SymPy 的 minimal_polynomial 驗證答案。）
  2. 用 SymPy 驗證 \(\cos 36^\circ = \frac{1+\sqrt5}{4}\) ，說明正五邊形可作圖。
  3. 證明：若 \(p\) 是質數且正 \(p\) 邊形可作圖，則 \(p\) 是費馬質數。（提示： \(\varphi(p) = p-1\) 需為 \(2\) 的冪。）
  4. 判斷 \(\sqrt[4]{2}\) 是否可作圖（用 SymPy 求其最小多項式次數）。那 \(\sqrt[6]{2}\) 呢？
  5. （挑戰）證明次數為 \(2\) 的冪不足以保證可作圖：考慮 \(x^4 - 4x + 2\) 的實根 \(\alpha\) ，驗證 \([\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] = 4\) ，但 \(x^4-4x+2\) 恰有兩個實根，而可作圖數所在體 \(F_n\) 是 \(\mathbb{R}\) 的子體、其元素皆實，故 \(\alpha\) 不可作圖。

SymPy 要點回顧#

  • sp.Poly(f, x).is_irreducible：判斷多項式在有理數域上的不可約性。
  • sp.Poly(f, x).degree()：多項式次數，對應體擴張次數（不可約時）。
  • sp.minimal_polynomial(alpha, x)：求代數數的最小多項式，次數 = 體擴張次數。
  • sp.totient(n)、sp.factorint(n)：處理 Gauss–Wantzel 定理的費馬質數條件。
  • 下一節：4.2 體擴張的次數與塔式定理——把本節的「 \(2\) 的冪」論證嚴格化。