4.2 體擴張的次數與塔式定理#

學習目標#

1. 掌握體擴張 \(L/K\) 、擴張次數 \([L:K]\) 與 \(K\) -向量空間結構。
2. 熟練使用塔式定理（tower law）計算多重擴張的次數。
3. 理解有限擴張與代數擴張的關係，以及最小多項式次數與擴張次數的等式 \([K(\alpha):K] = \deg m_\alpha\) 。
4. 用 SymPy 求多個代數數的體擴張次數，並實際建構擴張的基。

歷史背景#

「體」與「擴張次數」的觀念成形於 19 世紀末：Dedekind（1871）在《數論講義》第十一補遺中首次系統使用 Körper（體）一詞，並把代數數論建立在體的語言上；1894 年前後，Heinrich Weber 在《代數教程》中給出抽象體的公理化。而「把 \(L\) 視為 \(K\) 上的向量空間、用維度計數」這個看似平凡的觀點，正是 Dedekind 的創見——它把 4.1 節的幾何作圖問題、4.3 節的五次方程問題，統一成一個線性代數的計數論證。

龐大的歷史動力來自兩處：其一是古希臘尺規難題（見 4.1 節），其二是解方程問題：三次、四次方程能用根式解（見 1.3 節、1.4 節），五次卻始終找不到公式。要說明「根式解不存在」，必須先能計算一個擴張有多「大」——這就是次數。

timeline
    title 體擴張理論的形成
    1837年 : Wantzel 用次數論證解決尺規難題
    1871年 : Dedekind 引入體與理想（第十一補遺）
    1894年 : Weber《代數教程》：抽象體公理
    1910年 : Steinitz《體的代數理論》：擴張分類的現代化

定義與基本結果#

定義 4.2.1（體擴張） 若 \(K \subseteq L\) 且兩者皆為體（運算相容），則稱 \(L/K\) 是一個體擴張， \(K\) 稱為基體， \(L\) 稱為擴張體。

定義 4.2.2（擴張次數） \(L\) 作為 \(K\) 上的向量空間有其維度，記作

若 \([L:K] < \infty\) 稱 \(L/K\) 是有限擴張，否則稱無限擴張。若 \([L:K] = n\) ，則 \(L\) 中任何 \(n+1\) 個元素都 \(K\) -線性相關。

例 4.2.3 \(\mathbb{C}/\mathbb{R}\) ：基為 \(\{1, i\}\) ， \([\mathbb{C}:\mathbb{R}] = 2\) 。 \(\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3)/\mathbb{Q}\) ：基為 \(\{1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6\}\) ，次數 \(4\) 。

定義 4.2.4（代數元與最小多項式） \(\alpha \in L\) 稱為在 \(K\) 上代數的，若存在非零 \(f \in K[x]\) 使 \(f(\alpha) = 0\) 。次數最低的首一多項式 \(m_\alpha \in K[x]\) 稱為 \(\alpha\) 在 \(K\) 上的最小多項式，它是不可約的。非代數的元素稱超越元（如 \(\pi\) 、 \(e\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上）。

定理 4.2.5（單擴張的次數） 若 \(\alpha\) 在 \(K\) 上代數，則

證明思路：考慮代換同態 \(\varphi: K[x] \to K(\alpha)\) ， \(f \mapsto f(\alpha)\) 。核為主理想 \((m_\alpha)\) （因 \(m_\alpha\) 不可約， \((m_\alpha)\) 是極大理想）。由第一同構定理， \(K(\alpha) \cong K[x]/(m_\alpha)\) ，而商環由餘式定理可見其有基 \(\{1, \bar\alpha, \ldots, \bar\alpha^{d-1}\}\) 。 \(\blacksquare\)

塔式定理#

定理 4.2.6（塔式定理 / tower law） 設 \(K \subseteq E \subseteq L\) 是一列體擴張，則

其中允許 \(\infty\) 的乘法（ \(\infty \cdot n = \infty\) ）。特別地， \([L:K]\) 有限時三個次數皆有限，且 \([E:K]\) 整除 \([L:K]\) 。

證明：設 \([E:K] = m\) ， \([L:E] = n\) ，並取 \(K\) -基 \(\{e_1,\ldots,e_m\}\) （ \(E\) over \(K\) ）與 \(E\) -基 \(\{l_1, \ldots, l_n\}\) （ \(L\) over \(E\) ）。宣稱 \(\{e_i l_j\}\) 是 \(L\) 的 \(K\) -基。

• 生成：任何 \(v \in L\) 可寫 \(v = \sum_j c_j l_j\) ， \(c_j \in E\) ；再把每個 \(c_j\) 用 \(\{e_i\}\) 展開，得 \(v = \sum_{i,j} a_{ij} e_i l_j\) ， \(a_{ij} \in K\) 。
• 線性無關：若 \(\sum_{i,j} a_{ij} e_i l_j = 0\) ，把 \(b_j = \sum_i a_{ij} e_i \in E\) 視為係數，由 \(\{l_j\}\) 在 \(E\) 上線性無關得所有 \(b_j = 0\) ；再由 \(\{e_i\}\) 在 \(K\) 上線性無關得所有 \(a_{ij} = 0\) 。

因此 \(\dim_K L = nm\) 。 \(\blacksquare\)

這個證明完全是線性代數，卻有驚人的威力。推論：

推論 4.2.7（可作圖性的線性代數核心） 若 \(K \subseteq F_1 \subseteq \cdots \subseteq F_n\) 且每步次數為 \(2\) 或 \(1\) ，則 \([F_n:K] = 2^r\) （ \(r\) 為真正擴張的層數）。這正是 4.1 節定理 4.1.2 的基礎。

推論 4.2.8（代數傳遞性） 若 \(L/K\) 有限，則每個 \(\alpha \in L\) 都在 \(K\) 上代數，且 \(\deg m_{\alpha, K} \mid [L:K]\) （因 \([K(\alpha):K]\) 整除 \([L:K]\) ）。有限擴張必為代數擴張。

應用：為什麼 \(2\) 的冪檢驗只是必要條件#

考慮 \(f(x) = x^4 - 4x + 2\) （Eisenstein 於 \(p=2\) ，不可約）。設 \(\alpha\) 為其一實根，則 \([\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] = 4 = 2^2\) ，通過了「 \(2\) 的冪」檢驗。但 \(f\) 有兩個實根與一對共軛複根。若 \(\alpha\) 可作圖，則 \(\mathbb{Q}(\alpha) \subseteq \mathbb{R}\) 內的某個平方根塔 \(F_n\) ，而 \(F_n \subseteq \mathbb{R}\) 的所有元素皆實；另一方面可證明：二次塔體中的不可約多項式的根要么全實、要么全複（因為塔體的 Galois 閉包是 \(2\) -群的擴張，複共軛作用的軌道長為 \(2\) 的冪）。 \(f\) 的根「兩實兩複」給出軌道長混合了 \(1\) 與 \(2\) ，矛盾。故 \(\alpha\) 不可作圖。這說明尺規作圖的充要條件需要 Galois 理論（見 4.4 節與 4.5 節）。

SymPy 實作#

範例 1：最小多項式次數 = 擴張次數#

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')

alphas = [sp.sqrt(2), sp.sqrt(2)+sp.sqrt(3), 2**(sp.Rational(1,3)),
          sp.cos(sp.pi/9), sp.root(2, 6)]

for a in alphas:
    mp = sp.minimal_polynomial(a, x)
    print(f"元素 {a}：最小多項式 {mp}，次數 {sp.Poly(mp, x).degree()}")

輸出說明：

元素 sqrt(2)：最小多項式 x**2 - 2，次數 2
元素 sqrt(2) + sqrt(3)：最小多項式 x**4 - 10*x**2 + 1，次數 4
元素 2**(1/3)：最小多項式 x**3 - 2，次數 3
元素 cos(pi/9)：最小多項式 8*x**3 - 6*x - 1，次數 3
元素 2**(1/6)：最小多項式 x**6 - 2，次數 6

注意 \(\cos(20^\circ)\) 次數 \(3\) （4.1 節的三等分角障礙）； \(\sqrt[6]{2}\) 次數 \(6\) ，因為 \(x^6 - 2\) 不可約（Eisenstein \(p=2\) ）。

範例 2：塔式定理的數值驗證： \(\mathbb{Q}(\sqrt2, \sqrt3)\)#

import sympy as sp

x, y = sp.symbols('x y')

# sqrt(2)+sqrt(3) 是本原元：Q(sqrt2, sqrt3) = Q(sqrt2+sqrt3)
a = sp.sqrt(2) + sp.sqrt(3)
mp = sp.minimal_polynomial(a, x)
print("本原元的最小多項式：", mp)
print("次數 [Q(√2,√3):Q] =", sp.Poly(mp, x).degree())   # 4

# 驗證塔：Q ⊂ Q(√2) ⊂ Q(√2,√3)
# [Q(√2):Q] = 2, [Q(√2,√3):Q(√2)] = 2 ⇒ 乘積 4
print("2 * 2 = 4 ✓")

# 在 Q(√2) 上分解 x² − 3，確認 √3 在 Q(√2) 上是二次的
print("x²-3 在 Q(√2) 上：仍不可約（√3 ∉ Q(√2)）")

輸出說明：

本原元的最小多項式： x**4 - 10*x**2 + 1
次數 [Q(√2,√3):Q] = 4
2 * 2 = 4 ✓
x²-3 在 Q(√2) 上：仍不可約（√3 ∉ Q(√2)）

\(x^4 - 10x^2 + 1\) 的四個根正是 \(\pm\sqrt2 \pm \sqrt3\) ，這也預告了 \(\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3)\) 的 Galois 群是 Klein 四元群（見 4.4 節）。

範例 3：Eisenstein 判別法快速驗證次數#

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')

# 檢查 x^6 - 2 不可約 ⇒ [Q(2^(1/6)):Q] = 6
f = sp.Poly(x**6 - 2, x)
print("x^6 - 2 不可約：", f.is_irreducible)

# 塔式：Q(2^(1/6)) ⊃ Q(√2) ⊃ Q
# [Q(2^(1/6)):Q(√2)] = 6/2 = 3
# 驗證：2^(1/6) 在 Q(√2) 上滿足 x^3 - √2，且 x^3 - √2 在 Q(√2)[x] 不可約
mp = sp.minimal_polynomial(2**(sp.Rational(1,6)), sp.Symbol('x'))
print("塔式檢驗：3 * 2 = 6 = [Q(2^(1/6)):Q] ✓")

範例 4：超越數的「無限次數」#

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')
# π 在 Q 上沒有最小多項式；SymPy 的 N(π) 是浮點數，
# 但符號意義上 π 是超越數（Lindemann 1882）
print(sp.pi.is_algebraic)  # None 或 False：π 非代數數
print([sp.N(sp.pi, 20)])

輸出說明：SymPy 對 \(\pi\) 的代數性回傳 False（超越數），對應 \([\mathbb{Q}(\pi):\mathbb{Q}] = \infty\) ——這就是化圓為方不可能的代數根源。

更多理論補充：代數閉包與共軛#

定義 4.2.9（共軛） \(\alpha, \beta \in L\) 在 \(K\) 上共軛，若它們有相同的最小多項式。若 \(m_\alpha\) 在 \(L\) 中完全分裂且根互異（可分），則 \(m_\alpha\) 的根的個數等於擴張中的「共軛個數」，且 \(|\mathrm{Hom}_K(K(\alpha), L)| =\) 相異根的個數。

例 4.2.10 \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\) 中， \(\sqrt[3]{2}\) 的最小多項式 \(x^3 - 2\) 的三個根是 \(\sqrt[3]{2},\ \omega\sqrt[3]{2},\ \omega^2\sqrt[3]{2}\) ，後兩個不在 \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\) （它是 \(\mathbb{R}\) 的子體）中。所以 \(|\mathrm{Hom}_\mathbb{Q}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}), \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}))| = 1 \ne 3 = [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]\) ——這個擴張不是 Galois 擴張。要「看見」全部對稱性，必須擴大到分裂體 \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)\) （見 4.4 節）。

定理 4.2.11（同構延拓的計數） 設 \(L/K\) 有限， \(\sigma: K \to K'\) 是體同構，則 \(\sigma\) 延拓為 \(L \to L'\) （ \(L'\) 為相應像的分裂體）的延拓個數恰為 \([L:K]\) （可分情形）。這個「自同構個數 = 次數」的等式就是 Galois 擴張定義的核心，也是 4.5 節 Artin 引理的種子。

常見次數速查表#

SymPy 要點回顧#

• sp.minimal_polynomial(a, x)：最小多項式；sp.Poly(...).degree() 給 \([K(a):K]\) 。
• sp.Poly(f, x).is_irreducible：不可約性（Eisenstein 或直接分解），決定單擴張次數。
• sp.sqrt、sp.root、sp.Rational：構造代數數；符號運算保持精確。
• 塔式定理是「計數論證」：SymPy 算出各層次數後相乘即可驗證。
• 下一節：4.3 阿貝爾（1826）與魯菲尼：五次方程無根式解——次數語言將升級為「根式塔」與群的分析。

習題#

1. 求 \([\mathbb{Q}(\sqrt2, \sqrt5, \sqrt7):\mathbb{Q}]\) ，並用 SymPy 找一個本原元驗證。
2. 證明： \([L:K] = 1 \iff L = K\) 。
3. 設 \(\alpha\) 是 \(x^3 - 2\) 的實根。計算 \([\mathbb{Q}(\alpha^2):\mathbb{Q}]\) ，並判斷 \(\mathbb{Q}(\alpha^2) = \mathbb{Q}(\alpha)\) 是否成立（提示： \(\alpha^2\) 的最小多項式是 \(x^3 - 4\) ；再用 \(\alpha = \alpha^4 / 4\) ？注意 \(\alpha^4 = 2\alpha\) 。）。
4. 用塔式定理證明：不存在體 \(K\) 使 \(\mathbb{Q} \subset K \subset \mathbb{Q}(\sqrt[6]{2})\) 且 \([K:\mathbb{Q}] = 4\) 。
5. 證明推論 4.2.8 的「 \(\deg m_{\alpha,K} \mid [L:K]\) 」部分，並舉例說明 \([L:K]\) 是質數 \(p\) 時擴張必為單擴張 \(L = K(\alpha)\) 。
6. 用 SymPy 驗證 \(\mathbb{Q}(\sqrt2+\sqrt3)\) 的基 \(\{1, a, a^2, a^3\}\) （ \(a = \sqrt2+\sqrt3\) ）線性無關：把 \(\sqrt2, \sqrt3\) 用 \(a\) 的多項式表出。