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4.3 阿貝爾（1826）與魯菲尼：五次方程無根式解#

學習目標#

  1. 理解「根式解」（solution by radicals）的精確定義：根式塔與體擴張的對應。
  2. 認識魯菲尼（1799, 1813）與阿貝爾（1826）證明五次方程一般無根式解的歷史與思路。
  3. 掌握一般 \(n\) 次方程的 Galois 群是 \(S_n\) 這個關鍵事實，並理解 \(S_5\) 的不可解性如何導出無根式解。
  4. 用 SymPy 展示：特定五次方程有根式解、一般五次方程的 Galois 群為 \(S_5\) 、以及不可解群的計算。

歷史背景#

三次與四次方程在 1545 年被卡爾達諾與費拉里解決（見 1.3 節、1.4 節）之後，歐洲數學家信心滿滿地進攻五次方程，兩百多年卻一無所獲。轉折點來自兩位早逝的天才：

  • 保羅·魯菲尼（Paolo Ruffini, 1765–1822），義大利醫生兼數學家。他在 1799 年的巨著中嘗試證明「次數 \(\ge 5\) 的一般方程無根式解」，1813 年給出更完整的版本。他的證明核心是研究根的置換在根式運算下的行為——這正是群論的萌芽，比 Galois 早了三十年。可惜論文長達 500 頁、論證有一處缺口（未證明「根式表達式的置換集必為閉」），當代數學界（包括 Lagrange、Cauchy）多未接受。
  • 尼爾斯·阿貝爾（Niels Henrik Abel, 1802–1829），挪威人，家貧。1824 年他自費印刷證明（因經費只印了 6 頁的濃縮版，無人看懂）；1826 年完整的證明刊登在 Crelle 創辦的《純粹與應用數學期刊》第一卷——這份期刊的第一卷幾乎全由阿貝爾的文章構成。阿貝爾的證明填補了魯菲尼的缺口，是第一個公認完整的證明，世稱 Abel–Ruffini 定理。

阿貝爾證明「一般五次方程無根式解」後，隨即提出更深刻的問題：哪些特定方程有根式解？他在遺稿中朝這個方向工作但未完成。回答這個問題的是伽羅瓦（見 4.4 節）——理論的缺口再次驅動新理論的誕生。

根式解的代數定義#

定義 4.3.1（根式塔） 體擴張 \(L/K\) 稱為由根式生成的，若存在塔

\[ K = F_0 \subseteq F_1 \subseteq \cdots \subseteq F_n \ni \alpha,\qquad F_{i+1} = F_i(\omega_i, \sqrt[m_i]{a_i}), \]

其中 \(a_i \in F_i\) ， \(\omega_i\) 是 \(m_i\) 次單位根。若 \(f\) 的某根 \(\alpha\) 落在某個根式塔中，稱 \(f\) （或 \(\alpha\) ）有根式表達；若 \(f\) 的全部根都在根式塔中，稱 \(f\) 有根式解。

對照 4.1 節：尺規作圖允許的運算是「 \(+\,-\,\times\,\div\,\sqrt{\ }\) 」，根式解允許再加上「 \(m\) 次方根與單位根」。兩者都是限制運算種類的塔狀擴張，因此有平行的次數論證——但根式的次數 \(m_i\) 不必是 \(2\) ，所以只用塔式定理（4.2 節）不夠，還需要對稱性的分析。

定義 4.3.2（可解群，先敘後證） 有限群 \(G\) 稱為可解的，若存在一列子群

\[ \{e\} = G_0 \triangleleft G_1 \triangleleft \cdots \triangleleft G_n = G, \qquad G_{i+1}/G_i \text{ 皆為循環質數階群}, \]

直觀地說： \(G\) 可以一步步「用質數階循環商拆解到平凡群」。阿貝爾時代的語言是：根的置換類能被逐步「約化」。

定理 4.3.3（Abel–Ruffini） 次數 \(n \ge 5\) 的一般方程

\[ x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0 = 0 \quad (a_i \text{ 為獨立變元}) \]

在係數體 \(\mathbb{Q}(a_0,\ldots,a_{n-1})\) 上的 Galois 群是全對稱群 \(S_n\) 。當 \(n \ge 5\) 時， \(S_n\) 不可解（因為 \(A_n\) 單，且 \(A_n\) 非循環質數階， \(n \ge 5\) ），故一般 \(n\) 次方程（ \(n \ge 5\) ）無根式解。

論證骨架（用現代語言，即 Galois 的觀點）：

  1. 根 \(r_1, \ldots, r_n\) 是代數獨立的對稱函數的反函數： \(\mathbb{Q}(r_1,\ldots,r_n) / \mathbb{Q}(s_1,\ldots,s_n)\) （ \(s_i\) 為初等對稱多項式）的 Galois 群是 \(S_n\) （任何根的置換都保持係數）。
  2. 根式擴張的 Galois 群之合成因子皆循環質數階（每一層 \(\sqrt[m]{a}\) 引入 \(m\) 階循環「旋轉」）。
  3. 所以有根式解 \(\Rightarrow\) Galois 群可解。
  4. \(n \ge 5\) ： \(S_n \supseteq A_n\) ，而 \(A_n\) 是單群且階數 \(n!/2\) 非質數 \(\Rightarrow\) \(S_n\) 不可解。 \(\blacksquare\)

第 3 步（根式 \(\Rightarrow\) 可解）的雛形在 Abel 與 Ruffini 手中即是「置換的約化」，這是兩人共同的歷史功績；把它變成漂亮的群論語言的是 Galois 與 Jordan。

對照：低次為何有解#

次數 Galois 群 可解性 公式
\(2\) \(S_2 \cong C_2\) 可解 求根公式
\(3\) \(S_3 \cong S_3\) ，合成列 \(\{e\}\triangleleft A_3\triangleleft S_3\) ，商 \(C_3, C_2\) 可解 卡爾達諾（1545）
\(4\) \(S_4\) ，合成列經 \(A_4, V_4\) ，商皆 \(C_2, C_3\) 可解 費拉里（1545）
\(\ge 5\) \(S_n\) ，含單群 \(A_n\) （非質數階） 不可解 不存在

\(S_4\) 的正規鏈 \(\{e\} \triangleleft V_4 \triangleleft A_4 \triangleleft S_4\) 的商群階為 \(4, 3, 2\) ——這正對應四次方程解法中的「先降為三次再降為二次」的層層約化。群論把「解方程的步驟」翻譯成「正規子群鏈」。

SymPy 實作#

範例 1：Abel–Ruffini 的數值面——根是有的，只是寫不出根式#

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')
# x^5 - x - 1：其 Galois 群為 S5（下方範例驗證），無根式解
f = sp.Poly(x**5 - x - 1, x)
roots = sp.roots(f.as_expr(), x)
print("精確根的個數（可表為 RootOf）：", len(roots))
print("數值根：")
for r in sp.nroots(f.as_expr(), n=8):
    print("  ", r)

輸出說明：五次方程當然有 \(5\) 個複數根（代數基本定理，見 3.5 節），nroots 可算出數值根；問題是沒有一個根能寫成係數的根式表達式。SymPy 的 roots 字典為空（無法用根式表出），只能回退到數值方法或 RootOf。

範例 2：用 SymPy 的 galois_group 看 Galois 群#

import sympy as sp
from sympy.abc import x

# 一般型五次方程：Galois 群 S5
for f in [x**5 - x - 1, x**5 - 4*x + 2, x**5 + 20*x + 16]:
    G, alt = sp.polys.numberfields.galois_group(f, x)
    print(f"{f}：Galois 群 = {G.order()} 階，是否含於 A5 = {alt}")

輸出說明：

x**5 - x - 1：Galois 群 = 120 階，是否含於 A5 = False
x**5 - 4*x + 2：Galois 群 = 120 階，是否含於 A5 = False
x**5 + 20*x + 16：Galois 群 = 120 階，是否含於 A5 = False

\(120 = |S_5|\) ：這些方程的 Galois 群都是 \(S_5\) ，全部無根式解。

範例 3：對照——有根式解的五次方程#

import sympy as sp
from sympy.abc import x

# x^5 - 2 = a：Galois 群是 Frobenius 群 C5 ⋊ C4（20 階），可解！
G, _ = sp.polys.numberfields.galois_group(x**5 - 2, x)
print("x^5 - 2 的 Galois 群階數：", G.order())

# 分圓型：x^5 - 1 的根全是單位根，可解
print(sp.factor(x**5 - 1))
print("5 次分圓多項式的根：", sp.roots(sp.Poly(x**4+x**3+x**2+x+1, x)))

輸出說明：

x^5 - 2 的 Galois 群階數： 20
(x - 1)*(x**4 + x**3 + x**2 + x + 1)

\(x^5 - 2\) 的根 \(\sqrt[5]{2}\,\omega_5^k\) 當然有根式表達（定義就是根式），其 Galois 群為 \(20\) 階的可解群 \(C_5 \rtimes C_4\) ；而 \(120\) 階的 \(S_5\) 不可解。「個別方程」與「一般方程」的差別就在 Galois 群。

範例 4： \(S_5\) 不可解、 \(S_4\) 可解的驗證#

import sympy as sp
from sympy.combinatorics.named_groups import SymmetricGroup, AlternatingGroup
from sympy.combinatorics import Permutation

S5 = SymmetricGroup(5)
S4 = SymmetricGroup(4)

print("S5 是否可解：", S5.is_solvable)   # False
print("S4 是否可解：", S4.is_solvable)   # True
print("A5 是否可解：", AlternatingGroup(5).is_solvable)  # False

# S5 的正規子群鏈（合成列）含 A5，而 A5 是 60 階單群，非質數階
H = AlternatingGroup(5)
# 單群判定：任一非恆等元的正規包都等於整個群（故沒有真正的正規子群）
closures = {H.normal_closure(g).order() for g in H.elements if not g.is_identity}
print("A5 階數：", H.order(), "是否單群：", closures == {H.order()})

輸出說明：

S5 是否可解： False
S4 是否可解： True
A5 是否可解： False
A5 階數： 60 是否單群： True

SymPy 直接驗證： \(S_4\) 的合成列商群為 \(C_2, C_3, C_2, C_2\) （皆循環質數階）故可解； \(S_5\) 的合成列必含 \(60\) 階單群 \(A_5\) ，其階非質數，故不可解。這就是「公式存在與否」的分水嶺。

Abel–Ruffini 證明的歷史細節#

Ruffini 的缺口在何處？他想證明：若 \(\alpha\) 能用係數的根式表出，則 \(\alpha\) 在根的置換下能取的值只有少數幾個，進而置換集合必須構成封閉的「類」。Ruffini 未能證明這個封閉性（即現代的子群性質）。Abel 補上了它，用的論證已是置換乘法的雛形；Galois 則把「封閉的置換類」定義為群，並加上正規性的刻畫（見 2.4 節），一步到位地解決了「哪些方程可解」——理論從失敗與補洞中逐層長出。

Abel 證明的現代重述#

用 4.2 節的語言，可以把 Abel–Ruffini 的論證骨架寫得更清楚：

命題 4.3.4（根式擴張的次數結構） 設 \(L = K(\sqrt[m_1]{a_1}, \ldots, \sqrt[m_n]{a_n})\) （允許先添單位根），且 \(K\) 含足夠的單位根使每層為 Galois 擴張，則 \([L:K]\) 的質因數全部出現在 \(m_1 m_2 \cdots m_n\) 中。換言之，根式塔只能引入塔中「開方次數」的質因數。

證明思路：每層 \(F_i(\sqrt[m_i]{a_i})/F_i\) 的 Galois 群是 \(m_i\) 階循環群的子群，其階的質因數都整除 \(m_i\) ；由塔式定理（4.2 節）逐層相乘。 \(\blacksquare\)

推論 4.3.5（Ruffini–Abel 的核心計數） 若 \(f\) 有根式解且 Galois 群 \(G = \mathrm{Gal}(f/K)\) 可實現於某根式塔中，則 \(|G|\) 整除某個由開方次數組成的乘積，且 \(G\) 的合成因子皆循環質數階。

對一般五次方程， \(G = S_5\) ， \(|S_5| = 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5\) ——表面上 \(120\) 的質因數 \(2, 3, 5\) 似乎可以來自「開 \(2\) 次、 \(3\) 次、 \(5\) 次」，僅看質因數不夠。真正的障礙是結構性的： \(S_5\) 含單群 \(A_5\) （ \(60\) 階，非質數），任何正規鏈都會被 \(A_5\) 卡住。這正是 Abel 論證中最微妙、Ruffini 遺漏之處——置換的「類」未必封閉，而封閉性失敗的極端案例就是 \(A_5\) 這個「不可拆解」的障礙物。

對照表： \(S_4\) 與 \(S_5\) 的合成列

群 合成列 合成因子 可解？
\(S_4\) \(\{e\} \triangleleft V_4 \triangleleft A_4 \triangleleft S_4\) \(C_2, C_2, C_3, C_2\) 是
\(S_5\) \(\{e\} \triangleleft A_5 \triangleleft S_5\) \(A_5\) （單，非質數階）, \(C_2\) 否

\(S_4\) 的鏈每一級都能「開方消化」，對應費拉里的四層根式公式； \(S_5\) 的第一個合成因子就是龐然單群 \(A_5\) ，根式塔無法穿透——這就是五次方程公式不存在的完整理由。

習題#

  1. 用 SymPy 求 \(x^5 - 5x + 12\) 的 Galois 群階數；這是 \(S_5\) 、 \(A_5\) 還是 \(F_{20}\) ？
  2. 證明：若 \(f\) 的 Galois 群是循環群 \(C_n\) ，則 \(f\) 有根式解（提示： \(n\) 次單位根 + \(\sqrt[n]{a}\) ）。
  3. 用 sp.nroots 觀察 \(x^5 - x - 1\) 的實根個數，並解釋為何「根存在」與「根可根式表出」是兩回事。
  4. 驗證 \(S_3\) 的合成列 \(\{e\} \triangleleft A_3 \triangleleft S_3\) ，並對應到卡爾達諾公式的兩個步驟（開立方與開平方）。
  5. （挑戰）證明 \(A_5\) 是單群的最短路徑之一： \(A_5\) 的元素按輪型分類為 \(()\) 、 \((abc)\) 、 \((abcde)\) 、 \((ab)(cd)\) ；用輪型計數證明任何非平凡正規子群必含 \(3\) -循環，繼而包含全部 \(3\) -循環，故為 \(A_5\) 。可用 SymPy 的 Permutation 列舉驗證。

SymPy 要點回顧#

  • sp.polys.numberfields.galois_group(f, x)：直接計算多項式的 Galois 群與其是否含於 \(A_n\) （詳見 4.6 節）。
  • SymmetricGroup(n).is_solvable：可解性判斷，對應根式解的存在性。
  • sp.nroots / sp.roots：數值根 vs 根式根——roots 對無根式解的多項式回傳空字典。
  • PermutationGroup.normal_closure(g)： \(A_5\) 的單性由此驗證（任一非恆等元的正規包都是 \(A_5\) ），這正是不可解性的核心。
  • 下一節：4.4 伽羅瓦（1832）：方程的對稱群——把「可解性」從 Abel 的補洞升級為完整的 Galois 理論。