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4.4 伽羅瓦（1832）：方程的對稱群#

學習目標#

  1. 定義多項式 \(f\) 對基體 \(K\) 的 Galois 群 \(\mathrm{Gal}(f/K)\) ：保持係數域的根之置換。
  2. 掌握自同構群 \(\mathrm{Aut}(L/K)\) 與根置換的同一性；理解分裂體與正規擴張。
  3. 學會用不變量（判別式、模 \(p\) 分解型）決定低次方程的 Galois 群。
  4. 用 SymPy 的 galois_group 計算實例，並用置換群語言（2.6 節）具體操作。

歷史背景#

埃瓦里斯特·伽羅瓦（Évariste Galois, 1811–1832）的一生比他的定理更傳奇。1829 年，他在父親自殺、兩次報考巴黎綜合理工學院落榜的同年，把兩篇論文交給科學院，卻被 Cauchy 擱置遺失（一說是 Cauchy 建議合併重投）。1830 年，第三份手稿交給 Fourier，Fourier 隨即去世，稿件再度消失。1831 年，Poisson 審稿後批註「論證不夠清晰，無法評判」，退回。1832 年 5 月 30 日，伽羅瓦在決鬥前夜倉促寫下數學遺囑，把核心思想濃縮在三頁紙上，附言：「我沒有時間了。」5 月 31 日他中槍身亡，得年 \(20\) 歲。

直到 1846 年，約瑟夫·劉維爾（Joseph Liouville）才整理並在《Journal de Mathématiques Pures et Appliquées》上出版伽羅瓦的遺稿。1870 年 Camille Jordan 的《Traité des substitutions et des équations algébriques》把理論系統化，Galois 對應（4.5 節）的正規性概念經 Dedekind 與 Hölder（1889） 逐步抽象為今日的樣貌。一篇被兩位大師退稿的手稿，最終成為現代代數的基石——這也是「技術與理論互相驅動」最悲壯的一章：當時的數學界沒有足夠的語言接收伽羅瓦的思想，他被迫在同時發明語言與使用語言。

Galois 群的定義#

定義 4.4.1（自同構群） 設 \(L/K\) 為體擴張。 \(\mathrm{Aut}(L/K)\) 是所有 \(L\) 的自同構 \(\sigma\) 中，保持 \(K\) 的每個元素不動者，構成一個群（複合為運算）。記 \(\mathrm{Gal}(L/K) = \mathrm{Aut}(L/K)\) 。

定義 4.4.2（方程的 Galois 群） 設 \(f \in K[x]\) ， \(L\) 為 \(f\) 在 \(K\) 上的分裂體（即 \(f\) 完全分解的最小擴張體）。定義

\[ \mathrm{Gal}(f/K) := \mathrm{Gal}(L/K). \]

命題 4.4.3（根的置換觀點） 任何 \(\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)\) 把 \(f\) 的根映到根：由 \(f(\alpha) = 0\) 與 \(\sigma\) 固定係數，得 \(f(\sigma(\alpha)) = \sigma(f(\alpha)) = 0\) 。又 \(\sigma\) 由其在根上的作用決定（ \(L = K(r_1,\ldots,r_n)\) ），且 \(\sigma\) 限制在根集上必為單射，故

\[ \mathrm{Gal}(f/K) \hookrightarrow S_n, \qquad \sigma \mapsto (\sigma(r_1), \ldots, \sigma(r_n)). \]

這正是 2.1 節 Lagrange 的置換觀念的精確化：不是所有置換都算，只有「保持代數關係」的置換才構成 Galois 群。

例 4.4.4 \(f = x^3 - 2\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上：分裂體 \(L = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)\) （ \(\omega = e^{2\pi i/3}\) ）， \([L:\mathbb{Q}] = 6\) ， \(\mathrm{Gal}(f/\mathbb{Q}) \cong S_3\) 。三個根 \(\alpha, \alpha\omega, \alpha\omega^2\) 的任何置換都由對 \(\alpha, \omega\) 的像決定，恰得 \(S_3\) 。

分裂體與正規性#

定義 4.4.5（正規擴張） 代數擴張 \(L/K\) 稱為正規，若 \(K[x]\) 中任何在 \(L\) 有根的不可約多項式都在 \(L\) 中完全分裂。等價條件： \(L\) 是一族多項式的分裂體。

定理 4.4.6（分裂體的存在唯一性） 每個 \(f \in K[x]\) 都有分裂體 \(L\) ，且 \([L:K]\) 整除 \(n!\) （ \(n = \deg f\) ，因為逐個添加根，每步次數至多 \(n, n-1, \ldots\) ）。分裂體在同構意義下唯一。對分裂體， \(|\mathrm{Gal}(L/K)| = [L:K]\) （這是 Artin 引理的推論，也是 Galois 擴張定義的一半，見 4.5 節）。

決定 Galois 群的不變量#

二次方程#

\(f = x^2 + px + q\) ，判別式 \(D = p^2 - 4q\) 。 \(\mathrm{Gal}(f/K)\) 是 \(S_2 \cong C_2\) ，除非 \(D\) 是 \(K\) 中的平方數（此時 \(f\) 已分裂，群平凡）。一般規律：

定理 4.4.7（判別式） 設 \(f\) 在 \(K[x]\) 中不可約、 \(\mathrm{disc}(f)\) 非平方，則 \(\mathrm{Gal}(f/K) \not\subseteq A_n\) ；若 \(\mathrm{disc}(f)\) 是平方數，則 \(\mathrm{Gal}(f/K) \subseteq A_n\) 。其中 \(\mathrm{disc}(f) = a_n^{2n-2}\prod_{i<j}(r_i - r_j)^2\) 。

三次方程（對照 1.3 節）#

不可約三次式的 Galois 群只能是 \(S_3\) 或 \(A_3 \cong C_3\) ，由判別式是否為平方數決定。

模 \(p\) 分解型（Galois 的原創洞見）#

定理 4.4.8（Dedekind 定理的初等形式） 設 \(f \in \mathbb{Z}[x]\) 首一、無重根， \(p\) 不整除 \(\mathrm{disc}(f)\) 。若 \(f \bmod p\) 分解為次數 \(d_1, d_2, \ldots\) 的質因式乘積，則 \(\mathrm{Gal}(f/\mathbb{Q})\) 含有輪型 \((d_1)(d_2)\cdots\) 的置換。

這讓 Galois 群的計算變成「分解因式、查輪型」的機械工作——計算代數系統（包括 SymPy）正是這樣實作的。

例 4.4.9 \(f = x^5 - x - 1\) ： - \(\bmod\ 2\) ： \(x^5 + x + 1\) ，分解為 \((x^2+x+1)(x^3+x^2+1)\) ⇒ 輪型 \((2)(3)\) 。 - \(\bmod\ 3\) ： \(x^5 + 2x + 2\) ，不可約 ⇒ 輪型 \((5)\) 。 - 含 \(5\) -循環與 \((2,3)\) 型，皆奇置換的輪型組合 ⇒ 群含 \(A_5\) 與奇置換 ⇒ \(\mathrm{Gal} = S_5\) 。

SymPy 實作#

範例 1：計算 Galois 群與其階#

import sympy as sp
from sympy.abc import x
from sympy.polys.numberfields import galois_group

cases = [
    x**2 - 2,          # C2
    x**3 - 2,          # S3
    x**3 - 3*x + 1,    # 判別式 81 = 9²，群含於 A3 ⇒ C3
    x**4 - 2,          # 8 階二面體群 D4
    x**5 - x - 1,      # S5
]
for f in cases:
    G, alt = galois_group(f, x)
    print(f"{sp.factor(f)}：階 = {G.order()}，含於 A_n = {alt}")

輸出說明：

x**2 - 2：階 = 2，含於 A_n = False
x**3 - 2：階 = 6，含於 A_n = False
x**3 - 3*x + 1：階 = 3，含於 A_n = True
x**4 - 2：階 = 8，含於 A_n = False
x**5 - x - 1：階 = 120，含於 A_n = False

\(x^3 - 3x + 1\) 的判別式為 \(-4(-3)^3 - 27 = 81 = 9^2\) ，故 Galois 群是 \(3\) 階循環群 \(C_3\) ——這樣的方程雖然是三次，其根式解只需要開立方，不需要開平方。

範例 2：用模 \(p\) 分解型手動推理#

import sympy as sp
from sympy.abc import x

f = x**5 - x - 1
print("判別式是否被 2、3 整除：",
      sp.discriminant(f, x) % 2, sp.discriminant(f, x) % 3)

for p in [2, 3, 5, 7]:
    g = sp.Poly(f, x, modulus=p)
    print(f"mod {p}: {g.factor_list()[1]}")

輸出說明（節選）：

mod 2: [(Poly(x**2 + x + 1), 1), (Poly(x**3 + x**2 + 1), 1)]
mod 3: [(Poly(x**5 + 2*x + 2, modulus=3), 1)]

mod 2 給出輪型 \((2)(3)\) ，mod 3 不可約給出 \((5)\) 。5 次群含 \((2,3)\) 型（奇置換，因 \(3\) -循環是偶、 \(2\) -循環是奇）與 \(5\) -循環，可推出群為 \(S_5\) （見 4.3 節）。

範例 3：用置換群直接驗證 \(x^3 - 2\) 的 Galois 群#

import sympy as sp
from sympy.combinatorics import Permutation, PermutationGroup
from sympy.abc import x

# 根：r, rω, rω²。S3 的三種「合法」置換由 α ↦ rω^k 與 ω ↦ ω^{±1} 生成
S3 = sp.S(1)
# SymPy 的 galois_group 已給出同構訊息；這裡展示根的對稱關係
w = sp.exp(2*sp.pi*sp.I/3)
r = 2**(sp.Rational(1, 3))
roots = [r, r*w, r*w**2]
print("根：", [sp.simplify(z) for z in roots])
print("對稱關係驗證：w^3 =", sp.simplify(w**3), "，r^3 =", sp.simplify(r**3))
# 任何置換必須保持 r³ = 2 與 w³ = 1、w² + w + 1 = 0 的關係
# 檢驗：3 個根兩兩之比 ∈ {1, w, w²}
for i in range(3):
    for j in range(3):
        if i != j:
            assert sp.simplify(roots[i]/roots[j] in [1, w, w**2])
print("根的比值均為單位根：關係 w² + w + 1 = 0 限制了合法置換")

輸出說明：

根： [2**(1/3), -2**(1/3)/2 + sqrt(3)*2**(1/3)*I/2, -2**(1/3)/2 - sqrt(3)*2**(1/3)*I/2]
對稱關係驗證：w^3 = 1 ，r^3 = 2
根的比值均為單位根：關係 w² + w + 1 = 0 限制了合法置換

根之間的代數關係（比值是三次單位根）就是 Galois 群的「骨架」： \(6\) 個自同構恰好把 \(\{r, r\omega, r\omega^2\}\) 任意重排，且 \(\omega \mapsto \omega\) 或 \(\omega^2\) ，合計 \(3 \times 2 = 6\) ，等於 \([L:\mathbb{Q}]\) 。

範例 4：四次方程的 Galois 群分類#

import sympy as sp
from sympy.abc import x
from sympy.polys.numberfields import galois_group

# 首一不可約四次的 Galois 群候選：C4, V4, D4, A4, S4
tests = {
    "x**4 - 10*x**2 + 1": "V4（雙平方根體）",
    "x**4 - 2": "D4",
    "x**4 - 5*x + 2": "S4",
    "x**4 - 4*x**2 + 2": "C4",
}
for f_str, expect in tests.items():
    f = sp.sympify(f_str)
    G, alt = galois_group(f, x)
    print(f"{f_str}：階 {G.order()}，含於 A4 = {alt}，預期 {expect}")

輸出說明：階數 \(4/8/24/4\) 與奇偶性完全區分四種情形——四次方程有解公式（費拉里）正是因為這四個群全都可解（見 4.3 節表格）。

伽羅瓦思想的劃時代之處#

Lagrange（1770）已經知道根的置換與有理函數不變量，Ruffini 與 Abel 用置換證明了否定結果，但只有 Galois 做到兩件事：

  1. 把群 attach 到方程： \(\mathrm{Gal}(f/K)\) 不只是研究工具，而是方程的完整「指紋」——兩個方程的 Galois 群相同（在某種意義下）則可解性相同。
  2. 提出對應：子群 ↔ 中間體（4.5 節），把「解方程」變成「研究體的結構」，方程論從此併入體論。

習題#

  1. 用 SymPy 求下列各式的 Galois 群階數與奇偶性： \(x^4 - 3\) 、 \(x^4 + x^2 + 1\) 、 \(x^6 - 2\) 。
  2. 證明定理 4.4.7（判別式定理）： \(\sigma(\mathrm{disc}) = \mathrm{disc}\cdot\mathrm{sgn}(\sigma)^2\) 之類的計算，說明判別式的平方根在奇置換下變號。
  3. 對 \(f = x^3 - 3x + 1\) 用 SymPy 驗證 \(\mathrm{disc} = 81\) ，並求其三個實根的數值，解釋為何其分裂體是全實的（提示：Galois 群 \(C_3\) 的擴張是循環的）。
  4. 用模 \(p\) 分解型證明 \(x^5 - 4x + 2\) 的 Galois 群是 \(S_5\) 。
  5. （挑戰）證明： \(f\) 在 \(K\) 上不可約當且僅當 \(\mathrm{Gal}(f/K)\) 在根集上的作用可遞（transitive）。用 \(x^4 - 5x^2 + 6\) （可約）對照驗證。

SymPy 要點回顧#

  • sympy.polys.numberfields.galois_group(f, x)：回傳 (G, alt)， \(G\) 為置換群物件（有 .order()、.is_solvable 等），alt 表示是否含於交錯群。
  • sp.discriminant(f, x)：判別式；配合 modulus=p 的 factor_list 做模 \(p\) 輪型分析。
  • sp.Poly(f, x, modulus=p).factor_list()：有限體上的因式分解，輪型即 Galois 群的元素型。
  • sp.exp(2*sp.pi*sp.I/n)：單位根，構造分裂體的元素。
  • 下一節：4.5 Galois 對應：子群與中間體——把群與體之間的關係畫成一張完整的對應圖。