4.5 Galois 對應：子群與中間體#

學習目標#

熟練陳述並證明 Galois 對應：Galois 擴張 \(L/K\) 的中間體與子群之間的一一反序對應。
理解正規子群 ↔ 正規（Galois）中間擴張的精確對應，以及商群對應相對擴張。
理解 Artin 定理（固定體的刻畫）與本原元素定理，掌握 Galois 擴張的判別準則。
用 SymPy + mermaid 圖具體呈現 \(\mathbb{Q}(\sqrt2, \sqrt3)\) 、 \(x^4-2\) 等例子中的子群格與中間體格。

歷史背景#

Galois 對應的核心思想出現在 1832 年遺稿（見 4.4 節）：伽羅瓦觀察到「方程的根之間的一部分對稱性」對應「用部分根造出的中間體」。1846 年劉維爾出版遺稿後，Jordan 在 1870 年《Traité des substitutions》中把這套對應發展成系統的理論；Dedekind（1894 年第十一補遺第 11 版起）引入體的自同構群與「固定域」的抽象觀點；Emmy Artin（Emil Artin） 在 1920s–1940s 的講義《Galois Theory》（1942）中給出今日教科書標準的向量空間式證明。這段歷史再次展示：一個「觀察」（伽羅瓦）需要六十年、三代數學家的抽象化（若爾當→戴德金→阿廷），才成為我們今天在課堂上十分鐘講完的定理。

Galois 擴張#

定義 4.5.1（Galois 擴張） 代數擴張 \(L/K\) 稱為 Galois 擴張，若它是正規且可分（見下）。此時 \(|\mathrm{Gal}(L/K)| = [L:K]\) 。

定義 4.5.2（可分性） \(\alpha\) 在 \(K\) 上可分，若其最小多項式無重根。特徵 \(0\) 的體上一切代數擴張皆可分（Zorn 論證下也可證有限體的擴張皆可分，見 4.7 節）。本書多數例子在 \(\mathbb{Q}\) 或特徵 \(0\) 體上，可分性自動成立。

Artin 引理 4.5.3 設 \(G\) 是體 \(L\) 的自同構的有限群， \(K = L^G := \{a \in L : \sigma(a) = a,\ \forall \sigma \in G\}\) （固定體）。則 \([L : L^G] = |G|\) ，且 \(L/L^G\) 是 Galois 擴張、 \(\mathrm{Gal}(L/L^G) = G\) 。

證明思路：對任一 \(a \in L\) ，軌道 \(\{\sigma(a)\}\) 的元素是 \(G\) -多項式 \(P_a(x) = \prod_{\sigma \in G}(x - \sigma(a))\) 的根， \(P_a \in L^G[x]\) ，故 \([L^G(a):L^G] \le |G|\) 。用線性代數論證 \([L:L^G] \ge |G|\) （若 \([L:L^G] > |G|\) 可構造非平凡線性關係與 \(G\) 的行列式論證矛盾），合併得等式。 \(\blacksquare\)

定理 4.5.4（Galois 擴張的判別） 有限擴張 \(L/K\) ，下列等價： 1. \(L/K\) 是 Galois 擴張（正規 + 可分）； 2. \(L^{\mathrm{Gal}(L/K)} = K\) （固定體回到 \(K\) ）； 3. \(|\mathrm{Gal}(L/K)| = [L:K]\) 。

主定理：Galois 對應#

定理 4.5.5（Galois 對應，伽羅瓦 1832 / 若爾當 1870） 設 \(L/K\) 是 Galois 擴張， \(G = \mathrm{Gal}(L/K)\) 。定義兩個映射：

\[ \Phi: \{G \text{ 的子群}\} \longrightarrow \{K \subseteq E \subseteq L \text{ 的中間體}\}, \quad H \mapsto L^H = \{a : \tau(a) = a,\ \forall \tau \in H\}, \]

\[ \Psi: \{ \text{中間體} \} \longrightarrow \{\text{子群}\}, \quad E \mapsto \mathrm{Gal}(L/E) = \{\sigma \in G : \sigma|_E = \mathrm{id}\}. \]

則：

一一對應： \(\Phi\) 與 \(\Psi\) 互為反函數；且這是反序的—— \(H_1 \le H_2 \iff L^{H_2} \subseteq L^{H_1}\) （子群越小，固定體越大）。
計數：對每個中間體 \(E\) ， \([L:E] = |\mathrm{Gal}(L/E)|\) ， \([E:K] = [G : \mathrm{Gal}(L/E)]\) （子群指數）。
正規性對應：中間體 \(E\) 滿足 \(E/K\) 為 Galois 擴張 \(\iff\) \(\mathrm{Gal}(L/E)\) 是 \(G\) 的正規子群。此時有自然同構

\[ \mathrm{Gal}(E/K) \cong G / \mathrm{Gal}(L/E) . \]

證明要點：

Artin 引理（4.5.3）應用於 \(H \le G\) ： \(|H| = [L : L^H]\) 。故 \(L^{\mathrm{Gal}(L/E)} = E\) 對中間體成立（因 \([L : L^{\mathrm{Gal}(L/E)}] = |\mathrm{Gal}(L/E)| = [L:E]\) ，次數相等夾逼體相等）。對稱地 \(\mathrm{Gal}(L/L^H) = H\) 。
對中間體 \(E\) ： \(L/E\) 仍是 Galois 擴張（正規可分性遺傳到上層），故 \([L:E] = |\mathrm{Gal}(L/E)|\) ；再由塔式定理 \([E:K] = [L:K]/[L:E] = |G|/|\mathrm{Gal}(L/E)| = [G:\mathrm{Gal}(L/E)]\) 。
設 \(E/K\) Galois，取 \(\sigma \in G\) 。 \(\sigma(E)\) 也是 \(E\) 在 \(K\) 上的共軛，但 \(E/K\) 正規，故 \(\sigma(E) = E\) ；於是 \(\sigma \mathrm{Gal}(L/E) \sigma^{-1} = \mathrm{Gal}(L/\sigma(E)) = \mathrm{Gal}(L/E)\) ，得正規性。反之若 \(H = \mathrm{Gal}(L/E)\) 正規，則 \(E/K\) 是正規擴張；限制映射 \(\mathrm{Gal}(L/K) \to \mathrm{Gal}(E/K)\) 的核恰為 \(H\) ，由第一同構定理得商群同構。 \(\blacksquare\)

第 3 條是 Galois 對應最深刻的部分：「對稱性的正規合成」對應「體的正規塔」——這正是根式可解性的最終形式：方程有根式解 \(\iff\) Galois 群有質數階循環商的正規鏈 \(\iff\) 可解群（見 4.3 節）。

對應示意圖#

以 \(f = x^4 - 2\) 為例， \(L = \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}, i)\) ， \(\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q}) \cong D_4\) （ \(8\) 階二面體群）：

graph TD
    subgraph 體的塔（向上擴張）
        L["L = Q(⁴√2, i)<br>[L:Q] = 8"]
        A1["Q(⁴√2)　次數 4"]
        A2["Q(⁴√2 i)"]
        A3["Q(i, √2)　Galois, 次數 4"]
        B1["Q(√2)　Galois, 次數 2"]
        B2["Q(i)　Galois, 次數 2"]
        B3["Q(i√2)　Galois, 次數 2"]
        K["Q"]
    end
    L --> A1 & A2 & A3
    A1 --> B1
    A2 --> B3
    A3 --> B1 & B2 & B3
    B1 --> K
    B2 --> K
    B3 --> K

對應的子群格（ \(D_4 = \langle r, s \mid r^4 = s^2 = 1, srs = r^{-1} \rangle\) ，反序！向下越深群越大）：

graph TD
    subgraph 子群格（向上收縮）
        G["D₄ = Gal(L/Q)<br>8 階"]
        H1["⟨r⟩ ≅ C₄<br>固定 Q(⁴√2)"]
        H2["⟨r², s⟩ ≅ V₄<br>固定 Q(i, √2)"]
        H3["⟨r², rs⟩"]
        H4["⟨r²⟩ ≅ C₂<br>固定 Q(i, √2)∩…"]
        H5["⟨s⟩<br>固定 Q(⁴√2) 的對稱中間體之一"]
        H6["⟨rs⟩"]
        H7["⟨r²s⟩"]
        H8["⟨r³s⟩"]
        E["{e}"]
    end
    G --> H1 & H2 & H3
    H1 --> H4
    H2 --> H4 & H5 & H6
    H3 --> H4 & H7 & H8
    H5 & H6 & H7 & H8 & H4 --> E

閱讀方式：體塔向上、群塔向下；正規子群（ \(\langle r\rangle\) 、 \(\langle r^2\rangle\) 、 \(\langle r^2, s\rangle\) 、 \(\langle r^2, rs\rangle\) ）對應的正是圖中標了「Galois」的中間體； \(\mathrm{Gal}(Q(i)/\mathbb{Q}) \cong D_4/\langle r^2\rangle\) 。非正規子群（如 \(\langle s \rangle\) ）對應的中間體 \(\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}\,(1+i))\) 等則不是 \(\mathbb{Q}\) 的 Galois 擴張——它們不含所有共軛根。

本原元素定理#

定理 4.5.6（本原元素定理，Dedekind/Artin 版） 有限可分擴張 \(L/K\) 必為單擴張： \(L = K(\gamma)\) 。Galois 情形下 \(\gamma\) 可取為根的「一般線性組合」 \(\gamma = c_1 r_1 + \cdots + c_n r_n\) （ \(c_i \in K\) 避開有限多個壞值）。

這解釋了為何 4.2 節中 \(\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3) = \mathbb{Q}(\sqrt2+\sqrt3)\) ： \(\sqrt2 + \sqrt3\) 就是本原元素，其最小多項式 \(x^4 - 10x^2 + 1\) 次數恰為 \(4\) 。

SymPy 實作#

範例 1： \(\mathbb{Q}(\sqrt2, \sqrt3)\) 的對應全紀錄#

import sympy as sp
from sympy.abc import x
from sympy.polys.numberfields import galois_group

# 本原元素與 Galois 群
a = sp.sqrt(2) + sp.sqrt(3)
mp = sp.minimal_polynomial(a, x)
print("本原元素最小多項式：", mp)              # x^4 - 10x^2 + 1
G, alt = galois_group(mp, x)
print("Galois 群階數：", G.order(), "（= [L:Q] = 4）")

# 三個二次中間體的正規性：V4 的三個 2 階子群全部正規
from sympy.combinatorics.named_groups import SymmetricGroup
from sympy.combinatorics import Permutation, PermutationGroup
# V4 ⊂ S4 由 (12)(34), (13)(24) 生成
V4 = PermutationGroup(Permutation(0,1)(2,3), Permutation(0,2)(1,3))
print("V4 是交換群：", V4.is_abelian, "⇒ 所有子群皆正規")
print("⇒ 三個二次中間體 Q(√2), Q(√3), Q(√6) 都是 Q 的 Galois 擴張")

輸出說明：

本原元素最小多項式： x**4 - 10*x**2 + 1
Galois 群階數： 4 （= [L:Q] = 4）
V4 是交換群： True ⇒ 所有子群皆正規
⇒ 三個二次中間體 Q(√2), Q(√3), Q(√6) 都是 Q 的 Galois 擴張

Klein 四元群 \(V_4\) 是交換群，三個 \(2\) 隰子群全為正規，對應三個二次 Galois 擴張——正規性對應在這個小例子上完全顯現。

範例 2： \(x^4 - 2\) 的 Galois 群與非 Galois 中間體#

import sympy as sp
from sympy.abc import x
from sympy.polys.numberfields import galois_group
from sympy.combinatorics import Permutation

L_gens = [x**4 - 2]
G, alt = galois_group(x**4 - 2, x)
print("Gal(Q(⁴√2, i)/Q) 的階：", G.order())   # 8，二面體群

# x^4 - 2 的中間體 Q(⁴√2)：不含 i，故不含虛根
# 檢驗其非正規性：最小多項式 x^4 - 2 有複根但不全在 Q(⁴√2) 中
p = sp.Poly(x**4 - 2, x)
print("x^4-2 的根：")
for r in sp.nroots(p.as_expr(), n=6):
    print("  ", r)
print("Q(⁴√2) ⊂ R 只含實根 ⇒ 擴張非正規 ⇒ 對應子群非正規")

輸出說明：

Gal(Q(⁴√2, i)/Q) 的階： 8
x^4-2 的根：
   [(-1+1j)**0.25...]（兩實兩虛：±2^{1/4}, ±i·2^{1/4}）
Q(⁴√2) ⊂ R 只含實根 ⇒ 擴張非正規 ⇒ 對應子群非正規

\(\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})/\mathbb{Q}\) 次數 \(4\) 但非 Galois：對應的 \(4\) 階子群 \(\langle r \rangle \cong C_4\) 是 \(D_4\) 的非正規子群（ \(srs^{-1} = r^{-1} \notin \langle r \rangle\) ？注意 \(\langle r\rangle\) 其實正規於 \(D_4\) ；真正非正規的是 \(2\) 隰子群 \(\langle s\rangle\) ——其固定體即為上述非 Galois 中間體家族）。 SymPy 的 galois_group 輸出置換表示後，可以用 .subgroup() 列舉子群並檢查 normal_closure 來驗證這些細節。

範例 3：用 SymPy 枚舉子群並檢查正規性#

import sympy as sp
from sympy.combinatorics import Permutation, PermutationGroup
from sympy.combinatorics.named_groups import DihedralGroup

D4 = DihedralGroup(4)
print("D4 階數：", D4.order())

def canon(H):
    """子群的標準表示（元素陣列形式排序），用以去重並固定輸出順序"""
    return tuple(sorted(tuple(p.array_form) for p in H.elements))

def all_subgroups(G):
    """SymPy 1.14 已無 subgroups()：任何子群皆可由兩個元素生成，故以配對枚舉"""
    subs, seen = [], set()
    for a in G.elements:
        for b in G.elements:
            H = PermutationGroup(a, b)
            key = canon(H)
            if key not in seen:
                seen.add(key)
                subs.append(H)
    return sorted(subs, key=lambda H: (-H.order(), canon(H)))

subs = all_subgroups(D4)
print("子群總數：", len(subs))   # 10
for H in subs:
    print(f"階 {H.order()} 的子群，正規於 D4：{H.is_normal(D4)}")

輸出說明：

D4 階數： 8
子群總數： 10
階 8 的子群，正規於 D4：True
階 4 的子群，正規於 D4：True
階 4 的子群，正規於 D4：True
階 4 的子群，正規於 D4：True
階 2 的子群，正規於 D4：False
階 2 的子群，正規於 D4：False
階 2 的子群，正規於 D4：False
階 2 的子群，正規於 D4：True
階 2 的子群，正規於 D4：False
階 1 的子群，正規於 D4：True

\(D_4\) 的 \(10\) 個子群中， \(2\) 隰旋轉子群 \(\langle r^2\rangle\) 、 \(\langle r\rangle\) 與兩個 Klein 群正規，而 \(4\) 個由反射生成的 \(2\) 隰子群非正規——它們對應的中間體不是 \(\mathbb{Q}\) 的 Galois 擴張。把這份正規性清單與前面的體塔圖對照，Galois 對應就「活」了起來。

範例 4：商群對應相對 Galois 群#

import sympy as sp
from sympy.combinatorics import Permutation, PermutationGroup
from sympy.combinatorics.named_groups import DihedralGroup

D4 = DihedralGroup(4)
# 正規子群 N = <r²>：D4 的中心（唯一的 2 階正規子群），商群 D4/N ≅ V4
# 對應 Gal(Q(√2)/Q) 等
N = D4.center()
print("N = <r²> 的階：", N.order())          # 2

# SymPy 1.14 無 quotient_group：以陪集上的左作用把 D4/N 實現成置換群
reps, seen = [], set()
for g in D4.elements:
    C = frozenset(tuple(p.array_form) for p in (g * n for n in N.elements))
    if C not in seen:
        seen.add(C)
        reps.append(g)
index = {frozenset(tuple(p.array_form) for p in (r * n for n in N.elements)): i
         for i, r in enumerate(reps)}

def coset_index(x):
    return index[frozenset(tuple(p.array_form) for p in (x * n for n in N.elements))]

Q = PermutationGroup(*[Permutation([coset_index(g * r) for r in reps]) for g in D4.elements])
print("D4/<r²> 的階：", Q.order())          # 4
print("是否交換：", Q.is_abelian)            # True（V4）
print("⇒ Q(i,√2)/Q(√2) 等相對擴張的 Galois 群是 V4")

輸出說明：

N = <r²> 的階： 2
D4/<r²> 的階： 4
是否交換： True
⇒ Q(i,√2)/Q(√2) 等相對擴張的 Galois 群是 V4

Galois 對應的威力#

可解性翻譯：根式解 \(\iff\) 群有循環質數階正規鏈 \(\iff\) 體有根式塔。群論問題與體論問題完全等價。
尺規作圖的最終答案：可作圖 \(\iff\) Galois 群是 \(2\) -群（階為 \(2\) 的冪），這是 4.1 節必要條件的充要化。
計算路線：SymPy 的 galois_group + 置換群的子群/正規性/商群操作，把 19 世紀需要「天才直覺」的論證變成可機械驗證的流程。

習題#

寫出 \(\mathbb{Q}(\sqrt2, \sqrt3, \sqrt5)/\mathbb{Q}\) 的 Galois 群（階數與同構類），並列出全部 Galois 二次中間體的個數（提示： \(C_2^3\) 的 \(1\) 維子空間數 \((2^3-1)/(2-1) = 7\) ）。用 SymPy 的 minimal_polynomial 求本原元素驗證次數 \(8\) 。
對 \(x^3 - 2\) ：畫出 \(S_3\) 的子群格與分裂體的中間體格，標出哪條對應是非 Galois 的。
證明：Galois 擴張的中間體 \(E\) ，若 \(E/K\) 不是 Galois，則 \(E\) 在 \(G\) 下的共軛體個數 \(= [G : N_G(\mathrm{Gal}(L/E))]\) （用 SymPy 的 PermutationGroup.conjugate 類功能驗證 \(D_4\) 的反射子群）。
用定理 4.5.5(3) 與 SymPy 驗證： \(\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(i, \sqrt2)/\mathbb{Q}) \cong D_4/\langle r^2\rangle\) 。
（挑戰）證明 Artin 引理中 \([L:L^G] \ge |G|\) 的部分：若 \(u_1, \ldots, u_m\) （ \(m > |G|\) ）在 \(L^G\) 上線性相關，對每個 \(\sigma \in G\) 寫出關係式並組成 \(m \times m\) 行列式論證，導出矛盾（Dedekind–Artin 的「自同構線性無關」引理）。

SymPy 要點回顧#

以兩個元素生成元枚舉子群（SymPy 1.14 已無 subgroups()）+ H.is_normal(G)：檢查正規性，直接實現 Galois 對應的「正規性那一半」。
商群以陪集上的左作用實作（SymPy 1.14 無 quotient_group）：對應相對 Galois 群 \(\mathrm{Gal}(E/K)\) 。
galois_group(f, x) + minimal_polynomial：確定 \([L:K]\) 與本原元素，對應 \(|G| = [L:K]\) 。
PermutationGroup 的 order、is_abelian、conjugate 系列方法支援軌道–共軛體計算。
下一節：4.6 用 SymPy 驗證 Galois 群與正規性——把本節的理論化為系統性的計算工作流。