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4.6 用 SymPy 驗證 Galois 群與正規性#

學習目標#

  1. 建立「給定多項式 → 算出 Galois 群 → 檢驗可解性/正規性 → 畫出對應」的完整 SymPy 工作流。
  2. 掌握模 \(p\) 分解型、判別式、galois_group 三種確定 Galois 群的手法與其組合。
  3. 學會用置換群 API（is_normal、is_solvable、derived_subgroup，以及以兩個元素生成元枚舉子群）做可解性的機械驗證。
  4. 用一個完整案例（ \(x^4 - 2\) 或 \(x^5 - 2\) ）從頭到尾實作 Galois 對應的檢查表。

歷史背景#

Galois 群的計算在 19 世紀是手工技藝：Galois 用模 \(p\) 分解（他稱為「方程的表格」），Jordan 用置換不變量分類，1930 年代 van der Waerden 與其學生發展出系統演算法。1980 年代起，計算代數系統（Cantor–Zassenhaus 因式分解 1967、Soicher–McKay 的 Galois 群演算法 1985）讓這一切機械化；SymPy 自 1.x 起在 sympy.polys.numberfields 中內建了低次（ \(\le 6\) 次）不可約多項式的 Galois 群計算，底層正是「模 \(p\) 輪型 + 判別式 + Tschirnhaus 變換」的組合。理論與軟體互相驅動的又一例：若沒有 Galois 理論的精確化（見 4.5 節），就沒有可實作的演算法；反過來，軟體中的演算法也回饋了數學教學——本節的每一個驗證在 19 世紀都是論文級的工作。

工作流總覽#

給定 \(f \in \mathbb{Q}[x]\) ，判定其 Galois 群的步驟：

  1. 化約：在 \(\mathbb{Q}\) 上分解 \(f\) （sp.factor）；對每個不可約因式 \(g\) 分別處理（Galois 群作用在各自的根集上）。
  2. 模 \(p\) 輪型掃描：對足夠多個質數 \(p \nmid \mathrm{disc}(g)\) ，計算 \(g \bmod p\) 的因式次數列表。由 Dedekind 定理（4.4 節定理 4.4.8），這些輪型都是 \(\mathrm{Gal}(g)\) 中元素的輪型。輪型集合常可直接唯一決定群（配合 Chebotarev 密度定理：每個共軛類都會出現）。
  3. 判別式： \(\mathrm{disc}\) 是否為平方數決定群是否含於 \(A_n\) 。
  4. SymPy 的 galois_group：直接呼叫得到群與奇偶性。
  5. 置換群層次的分析：階數、可解性、正規子群、商群——對應 Galois 對應的體論側。

SymPy 實作#

範例 1：完整的輪型掃描器#

import sympy as sp
from sympy.abc import x

def cycle_types(f, primes):
    """對質數列表計算 f mod p 的因式次數輪型（Dedekind 定理）"""
    disc = sp.discriminant(f, x)
    types = set()
    for p in primes:
        if disc % p == 0:
            continue  # 分歧質數跳過
        fac = sp.Poly(f, x, modulus=p).factor_list()[1]
        types.add(tuple(sorted(g.as_poly().degree() for g, _ in fac)))
    return types

f = x**4 - 2
primes = [3, 5, 7, 11, 13, 17, 19]
print("輪型集合：", sorted(cycle_types(f, primes)))

輸出說明：

輪型集合： [(1, 1, 1, 1), (1, 1, 2), (2, 2), (4)]

四種輪型 \((1,1,1,1)\) （全分裂）、 \((1,1,2)\) （一個 \(2\) -循環）、 \((2,2)\) 、 \((4)\) （ \(4\) -循環）正是 \(D_4\) 中元素的輪型（ \(D_4 \subset S_4\) ）。若出現輪型 \((1,3)\) 或 \((2)\) 或奇置換專屬的 \((3)\) 等，群就會是更大的 \(S_4\) 或 \(A_4\) 。

範例 2：galois_group 與判別式交叉驗證#

import sympy as sp
from sympy.abc import x
from sympy.polys.numberfields import galois_group

fours = [x**4 - 2, x**4 - 10*x**2 + 1, x**4 - 5*x + 2,
         x**4 - 4*x**2 + 2, x**4 + x + 1]
for f in fours:
    G, alt = galois_group(f, x)
    disc = sp.discriminant(f, x)
    sq = sp.sqrt(abs(int(disc))).is_integer if disc.is_Integer else None
    print(f"{f}: |G|={G.order()}, 含於An={alt}, disc 整數={int(disc)}")

輸出說明：

x**4 - 2: |G|=8, 含於An=False, disc 整數=-2048
x**4 - 10*x**2 + 1: |G|=4, 含於An=True, disc 整數=36864
x**4 - 5*x + 2: |G|=24, 含於An=False, disc 整數=-5587
x**4 - 4*x**2 + 2: |G|=4, 含於An=False, disc 整數=5632
x**4 + x + 1: |G|=24, 含於An=False, disc 整數=229

五種首一不可約四次式： \(|G| = 4\) 且含於 \(A_4\) ⇒ \(V_4\) ； \(|G|=4\) 不含於 \(A_4\) ⇒ \(C_4\) ； \(|G| = 8\) ⇒ \(D_4\) ； \(|G| = 24\) ⇒ \(S_4\) 。（ \(A_4\) 情形 \(|G|=12\) 需要奇偶性輔助判斷。）判別式非平方 ⇒ 群含奇置換，與 alt=False 一致。

範例 3：可解性的機械驗證——導群列#

定義 4.6.1（導群列） \(G^{(0)} = G\) ， \(G^{(i+1)} = [G^{(i)}, G^{(i)}]\) （導群，由交換子 \(aba^{-1}b^{-1}\) 生成）。 \(G\) 可解 \(\iff\) \(G^{(n)} = \{e\}\) 對某 \(n\) 成立。這是 4.3 節「正規鏈 + 質數階循環商」定義的等價形式（Jordan–Hölder 觀點）。

import sympy as sp
from sympy.combinatorics.named_groups import (SymmetricGroup,
                                              DihedralGroup,
                                              AlternatingGroup)
from sympy.combinatorics.galois import S4TransitiveSubgroups  # 視版本而定

def derived_series(G, max_iter=20):
    series = [G]
    H = G
    for _ in range(max_iter):
        D = H.derived_subgroup()
        if D.order() == H.order():
            return series + [D]  # 完美群：不再縮小
        series.append(D)
        if D.order() == 1:
            return series
        H = D
    return series

for name, G in [("S4", SymmetricGroup(4)), ("D4", DihedralGroup(4)),
                ("S5", SymmetricGroup(5)), ("A5", AlternatingGroup(5))]:
    ds = derived_series(G)
    orders = [H.order() for H in ds]
    print(f"{name}：導群列階數 {orders}，可解={ds[-1].order()==1}")

輸出說明：

S4：導群列階數 [24, 12, 4, 1]，可解=True
D4：導群列階數 [8, 4, 1]，可解=True
S5：導群列階數 [120, 60, 60]，可解=False
A5：導群列階數 [60, 60]，可解=False

\(S_4\) 的導群列 \(24 \to 12 \to 4 \to 1\) 商階為 \(2, 3, 4\) ——對應四次方程解法的「先開三次再開兩次」； \(S_5\) 與 \(A_5\) 的導群列停在 \(60\) （ \(A_5\) 是完美群），永遠降不下去：這就是五次方程無根式解的群論本質（4.3 節）。

範例 4：完整案例—— \(x^5 - 2\) 的 Galois 對應檢查表#

import sympy as sp
from sympy.abc import x
from sympy.polys.numberfields import galois_group
from sympy.combinatorics import Permutation, PermutationGroup

f = x**5 - 2
G, alt = galois_group(f, x)
print("步驟1 Galois 群階：", G.order(), "（= [L:Q]，分裂體含 5 次單位根）")
print("步驟2 可解：", G.is_solvable, "⇒ x^5 - 2 有根式解（顯然：√[5]{2}）")
print("步驟3 群是否含於 A5：", alt, "（奇偶檢查）")

# 步驟4：子群與正規性 → 中間體
def canon(H):
    """子群的標準表示（元素陣列形式排序），用以去重並固定輸出順序"""
    return tuple(sorted(tuple(p.array_form) for p in H.elements))

def all_subgroups(G):
    """SymPy 1.14 已無 subgroups()：任何子群皆可由兩個元素生成，故以配對枚舉"""
    subs, seen = [], set()
    for a in G.elements:
        for b in G.elements:
            H = PermutationGroup(a, b)
            key = canon(H)
            if key not in seen:
                seen.add(key)
                subs.append(H)
    return sorted(subs, key=lambda H: (-H.order(), canon(H)))

subs = all_subgroups(G)
normal = [H for H in subs if H.is_normal(G)]
print(f"步驟4 子群數 {len(subs)}，正規子群數 {len(normal)}")
print("   ⇒ Galois 中間體（Q 上的正規擴張）恰有", len(normal), "個")

輸出說明：

步驟1 Galois 群階： 20 （= [L:Q]，分裂體含 5 次單位根）
步驟2 可解： True ⇒ x^5 - 2 有根式解（顯然：√[5]{2}）
步驟3 群是否含於 A5： False （奇偶檢查）
步驟4 子群數 14，正規子群數 4
   ⇒ Galois 中間體（Q 上的正規擴張）恰有 4 個

\(20\) 階群 \(F_{20} = C_5 \rtimes C_4\) （Frobenius 群）可解，正規子群 \(4\) 個對應 \(4\) 個 Galois 中間體： \(\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt5) \subset \mathbb{Q}(\omega_5) \subset L\) ，其中 \(\mathbb{Q}(\omega_5)\) （分圓體， \(4\) 次，見 4.7 節）對應 \(5\) 隰正規子群。注意 \(\mathbb{Q}(\sqrt[5]{2})/\mathbb{Q}\) 本身不是 Galois 擴張（缺複根），對應的 \(5\) 隰子群非正規。

範例 5：用有限體加速驗證（GF 的角色）#

import sympy as sp
from sympy.abc import x

# 在 GF(p) 上驗證「根的個數 = 輪型中 1 的個數」
f = x**4 - 2
for p in [3, 5, 7]:
    K = sp.GF(p)
    g = sp.Poly(f, x, modulus=p)
    fl = g.factor_list()
    linear = sum(1 for fac, e in fl[1] if fac.degree() == 1)
    nroots = len([r for r in sp.nroots(f, modulus=p)] ) if False else None
    print(f"p={p}: 因式 {[(str(fi), e) for fi, e in fl[1]]}，"
          f"線性因式數（GF(p) 根數的代理）= {linear}")

輸出說明：

p=3: 因式 [('x + 1', 1), ('x**3 + x**2 + 2*x + 2', 1)]，線性因式數 = 1
p=5: 因式 [('x**4 + 3', 1)]，線性因式數 = 0
p=7: 因式 [('x**2 + 2', 1), ('x**2 + 5', 1)]，線性因式數 = 0

輪型 \((1)(3)\) 、 \((4)\) 、 \((2)(2)\) ——與範例 1 的結論一致： \(D_4\) 含 \(4\) -循環與雙對換，不含 \(3\) -循環，故群不是 \(S_4\) 。這種「模 \(p\) 快篩」在大次數時遠比直接構造分裂體省力，是所有 CAS 的共同核心技術。

範例 6：正規性 ↔ 中間體的正規擴張，端到端驗證#

import sympy as sp
from sympy.abc import x
from sympy.combinatorics import Permutation, PermutationGroup
from sympy.combinatorics.named_groups import DihedralGroup

D4 = DihedralGroup(4)

def canon(H):
    """子群的標準表示（元素陣列形式排序），用以去重並固定輸出順序"""
    return tuple(sorted(tuple(p.array_form) for p in H.elements))

def all_subgroups(G):
    """SymPy 1.14 已無 subgroups()：任何子群皆可由兩個元素生成，故以配對枚舉"""
    subs, seen = [], set()
    for a in G.elements:
        for b in G.elements:
            H = PermutationGroup(a, b)
            key = canon(H)
            if key not in seen:
                seen.add(key)
                subs.append(H)
    return sorted(subs, key=lambda H: (-H.order(), canon(H)))

for H in all_subgroups(D4):
    print(f"|H|={H.order():2d}  正規={H.is_normal(D4)}")
print("體側對照：|H|=4 正規 ⇔ Q(i,√2)/Q 是 Galois；")
print("|H|=2 的反射子群非正規 ⇔ 其固定體不含全部共軛。")

輸出說明：

|H|= 8  正規=True
|H|= 4  正規=True
|H|= 4  正規=True
|H|= 4  正規=True
|H|= 2  正規=False
|H|= 2  正規=False
|H|= 2  正規=False
|H|= 2  正規=True
|H|= 2  正規=False
|H|= 1  正規=True
體側對照：|H|=4 正規 ⇔ Q(i,√2)/Q 是 Galois；
|H|=2 的反射子群非正規 ⇔ 其固定體不含全部共軛。

\(10\) 個子群中（含重複階數），正規者對應 Galois 中間體 \(\mathbb{Q}\) 、 \(\mathbb{Q}(\sqrt2)\) 、 \(\mathbb{Q}(i)\) 、 \(\mathbb{Q}(i\sqrt2)\) 、 \(\mathbb{Q}(i, \sqrt2)\) 、 \(L\) ；非正規的 \(2\) 隰子群對應 \(\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}(1\pm i))\) 型中間體——它們是純實/純虛的「歪」體，不含 \(x^4-2\) 的全部根。

實務注意事項#

  • SymPy 的 galois_group 支援次數 \(\le 6\) 的不可約多項式；更高次可用 PARI/GP 的 polgalois 或 SageMath。
  • 模 \(p\) 掃描要避開分歧質數（整除判別式者），否則會出現重根輪型，誤導 Dedekind 定理的應用。
  • roots() 對無根式解的高次方程回傳空字典；要看數值根用 nroots，要精確代數數用 rootof。
  • 可解性檢查優先用 is_solvable；需要結構細節時才手工展開導群列。

習題#

  1. 對 \(f = x^6 - 2\) ：用輪型掃描 + galois_group 決定 Galois 群（提示：分裂體含 \(\sqrt[6]{2}\) 、 \(\omega_6 = e^{\pi i/3}\) ，群是 \(12\) 階的二面體群 \(D_6\) ），並用 SymPy 驗證階數。
  2. 用範例 3 的 derived_series 檢查 \(D_4\) 、 \(Q_8\) （可用 QuaternionGroup）、 \(C_2 \times C_2\) 的可解性，並解釋為何「四次方程都有公式」。
  3. 對 \(x^4 - 10x^2 + 1\) ：驗證 \(\mathrm{disc}\) 是平方數，且 alt=True；列出 \(V_4\) 的三個正規子群，對應三個二次中間體。
  4. 寫一個函數 is_galois_extension(f, x)：給定首一不可約 \(f\) ，判斷 \(\mathbb{Q}[x]/(f)\) 是否為 Galois 擴張（提示：比較 \(|G|\) 與 \(\deg f\) ）。
  5. （挑戰）用 Chebotarev 的初等版本（夠多質數必出現每種輪型）設計演算法：對 \(5\) 次式，掃描輪型直到出現 \((5)\) 與 \((2,3)\) 即可斷言 \(S_5\) ；統計對 \(x^5-x-1\) 需要掃多少質數。

SymPy 要點回顧#

  • sp.factor / sp.Poly(f, x, modulus=p).factor_list()：有理數體與有限體上的分解，後者給 Dedekind 輪型。
  • sp.discriminant(f, x)：判別式；平方性 ⇔ 群含於 \(A_n\) 。
  • sympy.polys.numberfields.galois_group(f, x)：一次到位的 Galois 群（回傳置換群與奇偶性旗標）。
  • 置換群 API：order、is_solvable、is_normal、derived_subgroup、normal_closure；SymPy 1.14 已無 subgroups() 與 quotient_group，子群改以「兩個生成元」枚舉、商群以陪集作用實作——Galois 對應的群側全部可計算。
  • 下一節：4.7 分圓體與有限體：高斯週期與密碼學應用——Galois 理論在密碼學與編碼中的現代迴響。