5.1 矩陣論的起源：凱萊（1858）與線性方程組#

學習目標#

• 了解矩陣記號為何在 19 世紀中葉「被迫」誕生：線性方程組、線性變換的複合。
• 掌握矩陣加法、純量乘法、矩陣乘法的定義，以及乘法為何必須如此定義（對應線性映射的複合）。
• 認識凱萊 1858 年論文《A Memoir on the Theory of Matrices》的核心內容：矩陣代數、單位矩陣、逆矩陣、以及矩陣滿足其特徵方程的初步觀察。
• 能用 SymPy 進行矩陣的加法、乘法、求逆與行列式計算。

歷史背景#

5.1.1 在矩陣之前：行列式與線性方程組#

矩陣的想法並非憑空出現。它的前身是行列式：

• 1683 年，日本的關孝和在解聯立方程組時已使用了類似行列式的計算。
• 1750 年，瑞士數學家 Cramer（克萊姆）發表了著名的 Cramer 法則，用行列式的比值表示線性方程組的解。
• 19 世紀初，Cauchy（柯西，1812）系統地發展了行列式理論，並首創了「determinant」的現代記號。當時的數學家寫一個線性方程組時，把係數排成一個方陣，但這個方陣只被當成計算行列式時的中介物，還不是獨立的數學物件。

換句話說，在 1850 年之前，「矩陣」只是行列式的「附屬品」：人們關心的是一個數（行列式），而不是那個方陣本身。

5.1.2 凱萊與 1858 年的《矩陣論備忘錄》#

Arthur Cayley（凱萊，1821–1895）是英國律師出身的數學家，他在擔任律師期間寫下了近三百篇數學論文。1849 年前後，他與 Sylvester（西爾維斯特）合作研究不變量理論（invariant theory），這是當時最熱門的課題：研究多項式在座標變換下不變的量。

推動凱萊發明矩陣的直接動力有兩個：

1. 線性變換的複合：在幾何中，兩次線性變換接連施行（例如先旋轉再伸縮），其結果也是一次線性變換。凱萊意識到，把線性變換的係數方陣本身當作一個「量」來運算，複合就對應一種新的乘法。
2. 解線性方程組：n 元線性方程組可寫成 \(A \mathbf{x} = \mathbf{b}\) 。若「方陣 \(A\) 有乘法逆」，解就形式上變成 \(\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}\) ——這催生了逆矩陣的概念。

1858 年，凱萊發表《A Memoir on the Theory of Matrices》，首次把矩陣當作獨立的代數物件，定義了：

• 矩陣加法與純量乘法；
• 矩陣乘法（含「不可交換」這個重要觀察）；
• 單位矩陣 \(I\) 與零矩陣；
• 逆矩陣 \(A^{-1}\) ，並證明（對 \(2 \times 2\) 矩陣，且他宣稱對一般矩陣成立） \(A \cdot \operatorname{adj}(A) = \det(A) \cdot I\) ；
• 以及一個驚人的觀察：矩陣似乎滿足它自己的特徵方程——這就是後來的 Cayley–Hamilton 定理（詳見 5.2 節）。

5.1.3 技術與理論互相驅動#

凱萊的抽象化當時並未立刻流行——他的記號太前衛，且矩陣的幾何與物理應用要到 1880 年代（Frobenius、Poincaré、Lorentz 變換）才爆發。這再次說明：好的代數結構往往先於應用被發明。

數學理論#

5.1.4 矩陣的定義#

定義 5.1.1（矩陣）。設 \(F\) 是一個體（數體即可，如 \(\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\) ）。一個 \(m \times n\) 矩陣是 \(F\) 中元素排成的 \(m\) 列 \(n\) 行矩形陣列：

全體 \(m \times n\) 矩陣記作 \(M_{m \times n}(F)\) 。當 \(m = n\) 時稱為方陣， \(M_{n}(F) = M_{n \times n}(F)\) 。

5.1.5 矩陣運算#

定義 5.1.2（加法與純量乘法）。對同尺寸矩陣 \(A = (a_{ij})\) 、 \(B = (b_{ij})\) 與純量 \(c\) ： - \(A + B = (a_{ij} + b_{ij})\) ； - \(cA = (c\, a_{ij})\) 。

在這些運算下， \(M_{m\times n}(F)\) 是一個交換群（加法）加上純量乘法，即 5.5 節將定義的「體上的向量空間」。

定義 5.1.3（矩陣乘法）。設 \(A \in M_{m \times k}(F)\) 、 \(B \in M_{k \times n}(F)\) ，定義 \(AB \in M_{m \times n}(F)\) 為

為什麼乘法必須這樣定義？ 設 \(T: F^k \to F^m\) 與 \(S: F^n \to F^k\) 為線性映射，其矩陣分別為 \(A\) 、 \(B\) （對標準基底）。複合 \(T \circ S: F^n \to F^m\) 是線性的，且

因此複合的矩陣的第 \((i,j)\) 元正是 \(\sum_t a_{it}b_{tj}\) 。矩陣乘法是線性映射複合的代數影子——這是矩陣理論成功的根本原因。

定理 5.1.4（矩陣環的性質）。矩陣乘法滿足： 1. 結合律： \((AB)C = A(BC)\) （由映射複合的結合律直接得到）； 2. 分配律： \(A(B+C) = AB + AC\) ， \((A+B)C = AC + BC\) ； 3. 單位元素： \(AI_n = I_n A = A\) ，其中 \(I_n\) 是單位矩陣； 4. 一般不可交換： \(AB \neq BA\) 通常成立。

性質 1–3 說明 \(M_n(F)\) 是一個有單位元的環（但非交換環）——這是 3.1 節環論的標準例子。事實上， \(M_2(\mathbb{R})\) 是最簡單的非交換環之一。

定理 5.1.5（行列式與乘法）。對 \(A, B \in M_n(F)\) ：

證明思路。固定 \(B\) ，考慮 \(A \mapsto \det(AB)\) 。它是 \(A\) 的 \(n\) 個列的多重線性交錯函數（因為 \(AB\) 的第 \(i\) 列是 \(A\) 的列以 \(B\) 的行組合），由行列式的刻劃唯一性， \(\det(AB) = c(B)\det(A)\) ，其中 \(c(B) = \det(I_n B) = \det(B)\) 。 \(\blacksquare\)

5.1.6 逆矩陣#

定義 5.1.6。 \(A \in M_n(F)\) 稱為可逆，若存在 \(B\) 使 \(AB = BA = I_n\) 。此時 \(B\) 唯一，記作 \(A^{-1}\) 。

定理 5.1.7。 \(A \in M_n(F)\) 可逆 \(\iff \det(A) \neq 0\) 。且

其中 \(\operatorname{adj}(A)\) （伴隨矩陣）的 \((i,j)\) 元是 \(A\) 的 \((j,i)\) 代數餘子式 \(C_{ji}\) 。

證明思路。直接驗證 \(A \cdot \operatorname{adj}(A) = \det(A) I_n\) ：第 \((i,i)\) 元是 \(\sum_k a_{ik} C_{ik} = \det(A)\) （按第 \(i\) 列展開）；第 \((i,j)\) 元（ \(i \neq j\) ）是 \(\sum_k a_{ik} C_{jk}\) ，這是「把第 \(j\) 列換成第 \(i\) 列」的矩陣的行列式，因兩列相同故為 \(0\) 。若 \(\det(A) \neq 0\) ，上式給出 \(A^{-1}\) ；反之若 \(A\) 可逆，則 \(\det(A)\det(A^{-1}) = \det(I) = 1\) ，故 \(\det(A) \neq 0\) 。 \(\blacksquare\)

這正是凱萊 1858 年證明的 \(2\times2\) 情形。注意：可逆性是純代數條件—— \(A\) 可逆當且僅當它對應的線性映射是同構，也當且僅當 \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) 只有零解（三者等價性的完整列表將在 5.2 節給出）。

5.1.7 線性方程組的矩陣觀點#

\(n\) 元線性方程組

可簡寫為 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 。三種情況：

1. \(\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A \,|\, \mathbf{b}) = n\) ：唯一解（ \(A\) 可逆時即 \(\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}\) ）；
2. \(\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A \,|\, \mathbf{b}) < n\) ：無窮多解（解集合是 \(\mathbf{x}_0 + \ker A\) ）；
3. \(\operatorname{rank}(A) < \operatorname{rank}(A \,|\, \mathbf{b})\) ：無解。

這就是 Rouché–Capelli 定理。其中的 \(\ker A = \{\mathbf{x} : A\mathbf{x} = \mathbf{0}\}\) 是核空間（null space），它是 \(\operatorname{im} A = \{A\mathbf{y}\}\) 這個像空間的對偶概念；這組「核—像」的語言是線性代數通向 8.2 節同調代數的第一步。

SymPy 實作#

範例 1：矩陣基本運算#

import sympy as sp

A = sp.Matrix([[1, 2], [3, 4]])
B = sp.Matrix([[0, 1], [1, 0]])

print("A + B =", A + B)
print("A * B =", A * B)
print("B * A =", B * A)
print("AB == BA ?", A * B == B * A)          # False：矩陣乘法不可交換
print("det(A) =", A.det())                    # -2
print("A^{-1} =", A.inv())

輸出：

A + B = Matrix([[1, 3], [4, 4]])
A * B = Matrix([[2, 1], [4, 3]])
B * A = Matrix([[3, 4], [1, 2]])
AB == BA ? False
det(A) = -2
A^{-1} = Matrix([[-2, 1], [3/2, -1/2]])

驗證 \(AB \neq BA\) ：凱萊在 1858 年明確指出這一點，並視之為矩陣代數與「一般數」代數的根本差異。

範例 2：用矩陣解線性方程組#

import sympy as sp

x, y, z = sp.symbols('x y z')
A = sp.Matrix([[2, 1, -1], [-3, -1, 2], [-2, 1, 2]])
b = sp.Matrix([8, -11, -3])

# 方法一：逆矩陣
print("解 =", (A.inv() * b).T)

# 方法二：linsolve
sol = sp.linsolve((A, b), (x, y, z))
print("linsolve:", sol)

# 方法三：rref（簡化列階梯形）
print(A.row_join(b).rref())

輸出：

解 = Matrix([[2, 3, -1]])
linsolve: {(2, 3, -1)}
(Matrix([
[1, 0, 0, 2],
[0, 1, 0, 3],
[0, 0, 1, -1]]), (0, 1, 2))

三種方法一致得到 \((x, y, z) = (2, 3, -1)\) 。rref 的第二個回傳值 (0, 1, 2) 表示主軸（pivot）所在的行。

範例 3：rank 判別解的個數（Rouché–Capelli）#

import sympy as sp

# 一個無窮多解的系統
A = sp.Matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])   # det = 0
b = sp.Matrix([1, 2, 3])

print("rank(A) =", A.rank())                        # 2
print("rank(A|b) =", A.row_join(b).rank())          # 2
print("秩相等且 < 3 => 無窮多解")
print("核空間:", A.nullspace())                     # [(-1, 2, 1)^T]

輸出：

rank(A) = 2
rank(A|b) = 2
秩相等且 < 3 => 無窮多解
核空間: [Matrix([[-1], [2], [1]])]

解集合是 \(\mathbf{x}_0 + t(-1, 2, 1)^T\) ，其中 \(\mathbf{x}_0\) 是任一特解——一條直線。核空間的維度 \(3 - 2 = 1\) 正是「秩—零化度定理」 \(\operatorname{rank} A + \dim \ker A = n\) 的實例。

習題#

1. 計算 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\) 與 \(B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) 的 \(AB\) 與 \(BA\) ，驗證兩者不同。
2. 證明： \(AB = 0\) 不蘊含 \(A = 0\) 或 \(B = 0\) （提示：找兩個非零的 \(2\times2\) 矩陣）。這說明矩陣環不是整環（回顧 3.3 節）。
3. 用 SymPy 的 A.adjugate() 驗證對 \(3\times3\) 矩陣 \(A\) ， \(A \cdot \operatorname{adj}(A) = \det(A) I\) 。
4. 設 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) ，計算 \(A^{10}\) （用 SymPy 與手算對照，並歸納出 \(A^n\) 的通式）。
5. 證明：對 \(2\times2\) 矩陣 \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}\) ， \(\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\) 。
6. 用 linsolve 判斷方程組 \(x + y = 1,\ 2x + 2y = 3\) 無解，並解釋這與秩的關係。

SymPy 要點回顧#

下一節：矩陣與特徵值的相遇——Cayley–Hamilton 定理，見 5.2 節。