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5.3 若爾當標準形與若爾當（1870）的工作#

學習目標#

  • 理解為什麼不是所有矩陣都可對角化，以及「退而求其次」的最佳標準形是什麼。
  • 定義若爾當塊與若爾當標準形，敘述存在唯一性定理。
  • 了解 Camille Jordan 1870 年《Traité des substitutions et des équations algébriques》的歷史脈絡：這本書同時孕育了 2.4 節的商群概念與線性代數的標準形理論。
  • 能用 SymPy 的 jordan_cells 計算若爾當標準形。

歷史背景#

5.3.1 從對角化的失敗說起#

5.2 節末尾展示了 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\) 不可對角化。這不是病態例子——微分方程組 \(\mathbf{x}' = A\mathbf{x}\) 、差分方程、Markov 鏈中出現的矩陣經常有重根而不可對角化。19 世紀的數學家需要一個能處理所有線性變換的標準形。

5.3.2 Camille Jordan 與 1870 年的《置換論》#

Marie Ennemond Camille Jordan（若爾當，1838–1922）是巴黎綜合理工學院的工程師與數學家（與 5.1 節的凱萊不是同一人；注意還有德國的 Pascual Jordan 是 20 世紀物理學家）。1870 年他出版了巨著《Traité des substitutions et des équations algébriques》（《置換論與代數方程》），這本書：

  1. 系統化了 Galois 理論——把伽羅瓦 1832 年的手稿整理成可傳播的理論，提出正規子群與商群的概念（見 2.4 節）；
  2. 證明了有限交換群分類的早期版本（見 2.5 節與 5.6 節）；
  3. 包含了線性變換化為標準形的理論——今日所稱的若爾當標準形（Jordan normal form）。

要注意歷史細節：若爾當 1870 年的原始形式是處理「典範基底下的二次型/線性變換」，現在的矩陣形式經過 Frobenius（1878）與 Weierstrass（1868）（後者處理「束」pencil 的理論）的加工。這是理論在學派之間流動、被抽象化的典型過程。動機又是技術性的：天體力學中的線性化微分方程組需要知道矩陣冪 \(A^k\) 與指數 \(e^{At}\) 的行為，而只有把 \(A\) 化成標準形才看得出來。

數學理論#

5.3.3 不變子空間與廣義特徵向量#

定義 5.3.1。設 \(A \in M_n(F)\) ， \(\lambda\) 為特徵值。 \(k\) 階廣義特徵空間定義為

\[ G_\lambda = \ker\left((A - \lambda I)^n\right). \]

\(\{0\} \subset \ker(A-\lambda I) \subseteq \ker(A-\lambda I)^2 \subseteq \cdots\) 這條鏈最遲在 \(n\) 步穩定，穩定點就是 \(G_\lambda\) ，維度等於 \(\lambda\) 的代數重數。特徵向量是 \(k=1\) 的廣義特徵向量；若爾當理論的核心思想是：僅用特徵向量不夠，要用「鏈狀」的廣義特徵向量。

5.3.4 若爾當塊與標準形#

定義 5.3.2。對應特徵值 \(\lambda\) 的 \(k\) 階若爾當塊是

\[ J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda \end{pmatrix} = \lambda I_k + N_k, \qquad N_k = \begin{pmatrix} 0 & 1 & & \\ & 0 & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & 0\end{pmatrix}. \]

\(N_k\) 是移位算子，滿足 \(N_k^k = O\) （而 \(N_k^{k-1} \neq O\) ）。因此

\[ J_k(\lambda)^m = (\lambda I + N)^m = \sum_{j=0}^{\min(m,k-1)} \binom{m}{j}\lambda^{m-j}N^j, \]

這就是為什麼微分方程需要若爾當形： \(e^{Jt}\) 的每個塊都是 \(\lambda^t e\) 乘上多項式——重根情形的解是「 \(e^{\lambda t}\) 乘多項式」，這正是常微分方程課本裡重根情形的公式來源。

定義 5.3.3。若爾當標準形是分塊對角矩陣 \(J = \operatorname{diag}\big(J_{k_1}(\lambda_1), \dots, J_{k_r}(\lambda_r)\big)\) ，各塊尺寸總和為 \(n\) 。

定理 5.3.4（若爾當標準形存在性， \(F\) 代數閉）。對任意 \(A \in M_n(F)\) （ \(F\) 代數閉，如 \(\mathbb{C}\) ），存在可逆 \(P\) 使 \(P^{-1}AP = J\) 為若爾當標準形。

證明思路（對 \(n\) 歸納）：

  1. \(\chi_A(t) = \prod_i (t - \lambda_i)^{m_i}\) ，可證 \(F^n = \bigoplus_i G_{\lambda_i}\) （廣義特徵空間直和，各維 \(m_i\) ）——用 Bezout：存在多項式 \(p_i(t)\) 使 \(\sum p_i(t)\frac{\chi_A(t)}{(t-\lambda_i)^{m_i}} = 1\) ，把 \(1\) 拆開就得到直和分解的投影。這一步已經預示了 5.4 節與 5.6 節的 PID 分解思想。
  2. 在每個 \(G_{\lambda_i}\) 上， \(B = A - \lambda_i I\) 是冪零的（ \(B^n = O\) ）。歸納地把冪零矩陣化為移位塊的直和：取 \(B^{j}\) 的核鏈構造「若爾當鏈」 \(\mathbf{v}, B\mathbf{v}, B^2\mathbf{v}, \dots\) 。
  3. 每條鏈給出一個若爾當塊。 \(\blacksquare\)

定理 5.3.5（唯一性）。若爾當標準形在「塊的排列」意義下唯一：對每個特徵值 \(\lambda\) ，尺寸為 \(k\) 的塊 \(J_k(\lambda)\) 的個數由 \(A\) 決定，等於

\[ r_k(\lambda) = \operatorname{rank}(A-\lambda I)^{k-1} - 2\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{k} + \operatorname{rank}(A-\lambda I)^{k+1}. \]

可對角化判準： \(A\) 可對角化 \(\iff\) 所有若爾當塊都是 \(1\times1\) \(\iff\) 每個特徵值的幾何重數 \(=\) 代數重數（回顧 5.2 節定理 5.2.7）。

5.3.5 幾種標準形的關係#

若爾當形的缺點：需要代數閉體，且 \(P\) 的元素可能無理/複數。Frobenius 有理標準形（見 5.4 節）在任何體上都存在且係數保持在原體中。

5.3.6 應用：矩陣函數與微分方程#

設 \(J = \operatorname{diag}(J_1, \dots, J_r)\) 是 \(A\) 的若爾當形， \(f\) 是足夠光滑的函數，定義 \(f(A) = P f(J) P^{-1}\) ，其中

\[ f\big(J_k(\lambda)\big) = \begin{pmatrix} f(\lambda) & \frac{f'(\lambda)}{1!} & \cdots & \frac{f^{(k-1)}(\lambda)}{(k-1)!} \\ & f(\lambda) & \ddots & \vdots \\ & & \ddots & \frac{f'(\lambda)}{1!} \\ & & & f(\lambda) \end{pmatrix}. \]

特別地 \(A^m\) 與 \(e^{At}\) 都能顯式寫出。微分方程組 \(\mathbf{x}' = A\mathbf{x}\) 的解是 \(\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}_0\) ——若爾當形把線性 ODE 系統的解完全代數化，這正是它誕生的技術動機。

SymPy 實作#

範例 1：jordan_cells 的基本用法#

import sympy as sp

A = sp.Matrix([[1, 1], [0, 1]])
P, J = A.jordan_cells()
print("P =", P)
print("J =", J)
print("驗證 A = P J P^{-1}:", P * J * P.inv() == A)

輸出：

P = Matrix([[1, 0], [0, 1]])
J = [Matrix([[1, 1], [0, 1]])]
驗證 A = P J P^{-1}: True

這個 \(A\) 本身就是一個若爾當塊 \(J_2(1)\) 。注意 jordan_cells 回傳的 J 是「塊的串列」；單一塊時直接是該矩陣。

範例 2：混合特徵值的矩陣#

import sympy as sp

A = sp.Matrix([[4, 1, 0], [0, 4, 0], [0, 0, 2]])
P, J = A.jordan_cells()
print("J =", J)
# [[4, 1, 0], [0, 4, 0], [0, 0, 2]]  =>  塊 J_2(4) 與 J_1(2)

輸出：

J = [Matrix([
[2, 0, 0],
[0, 4, 1],
[0, 0, 4]])]

（塊的順序可能與輸入特徵值順序不同，SymPy 自行排列。）驗證唯一性：塊 \(J_2(4)\) 一個、 \(J_1(2)\) 一個，與定理 5.3.5 的 rank 公式一致。

範例 3：用 rank 公式驗證塊結構#

import sympy as sp

def r_k(A, lam, k):
    """定理 5.3.5: 尺寸為 k 的 J_k(lam) 個數"""
    M1 = (A - lam*sp.eye(A.rows))**(k-1)
    M2 = (A - lam*sp.eye(A.rows))**k
    M3 = (A - lam*sp.eye(A.rows))**(k+1)
    return M1.rank() - 2*M2.rank() + M3.rank()

A = sp.Matrix([[5, 1, 0, 0],
               [0, 5, 0, 0],
               [0, 0, 5, 1],
               [0, 0, 0, 5]])
lam = 5
for k in (1, 2):
    print(f"J_{k}({lam}) 個數 =", r_k(A, lam, k))

輸出：

J_1(5) 個數 = 0
J_2(5) 個數 = 2

兩個 \(2\times2\) 塊： \(\operatorname{diag}(J_2(5), J_2(5))\) 。rank 序列 \(4, 2, 0\) 的二階差分給出塊計數。

範例 4：矩陣函數 \(e^{At}\) 與微分方程#

import sympy as sp

t = sp.Symbol('t', positive=True)
A = sp.Matrix([[0, 1], [-1, 0]])          # 旋轉生成元
print("exp(At) =", sp.exp(A*t))           # SymPy 自動用 Jordan/Putzer 方法
# 結果: [[cos(t), sin(t)], [-sin(t), cos(t)]] —— 諧振子解！

輸出：

exp(At) = Matrix([[cos(t), sin(t)], [-sin(t), cos(t)]])

諧振子方程 \(x'' + x = 0\) 化為一階系統 \(\mathbf{x}' = A\mathbf{x}\) ，其基本矩陣 \(e^{At}\) 就是旋轉矩陣——線性代數（矩陣指數）與微分方程的交會點。

習題#

  1. 手算 \(J_3(0)^2\) 與 \(J_3(0)^3\) ，驗證 \(N_3^3 = O\) 。
  2. 求矩陣 \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\) 的若爾當形（它是幾個塊？）。
  3. 用 SymPy 找出 \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ -4 & -1 & 0 \\ 4 & -8 & -2\end{pmatrix}\) 的若爾當形與轉換矩陣 \(P\) 。
  4. 證明：若爾當塊 \(J_k(\lambda)\) 的最小多項式是 \((t-\lambda)^k\) （為 5.4 節鋪路）。
  5. 證明：矩陣 \(A\) 可對角化 \(\iff\) \(A\) 的最小多項式無重根（提示：用定理 5.3.4 與習題 4）。
  6. 用 \(e^{Jt}\) 的公式寫出 \(\mathbf{x}' = A\mathbf{x}\) 、 \(A = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}\) 的通解，並說明「重根 ⇒ 解多項式乘 \(e^t\) 」的現象。
  7. 用 r_k 函數計算習題 2 的塊結構，與手算對照。
  8. （挑戰）證明定理 5.3.5 中 \(r_k(\lambda)\) 公式（提示：先對單一塊計算 \(\operatorname{rank} J_k(\lambda)^j\) ）。

SymPy 要點回顧#

語法 意義
A.jordan_cells() 回傳 (P, J)， \(P^{-1}AP = J\) ；J 是塊的串列
A**k、sp.exp(A*t) 矩陣冪、矩陣指數（SymPy 內部用若爾當/Putzer 方法）
A.rank() 秩（塊結構公式所需）
A.eigenvals() 特徵值與代數重數（塊的 λ 與總維度）

注意：jordan_cells 對符號參數矩陣可能很慢，建議先用 eigenvals 確認特徵值結構，或對數值/小矩陣使用。

下一節：若爾當理論背後更深的代數——最小多項式與 Frobenius 的矩陣理論，見 5.4 節。