5.4 最小多項式與 Frobenius（1878）的矩陣理論#

學習目標#

• 定義最小多項式，證明其存在性、唯一性與基本性質（整除特徵多項式）。
• 理解 Frobenius 1878 年論文《Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen》的內容：最小多項式、相似不變量、有理標準形的思想。
• 認識矩陣理論與群表示論（見 第6章）之間「技術需求驅動理論」的關係。
• 能用 SymPy 計算最小多項式與 Frobenius 標準形。

歷史背景#

5.4.1 Frobenius：從行列式到矩陣到表示論#

Ferdinand Georg Frobenius（弗比尼烏斯，1849–1917）是 19 世紀後半最重要的代數學家之一，柏林大學教授。他的生涯本身就是「技術驅動理論」的教科書案例：

1896 年 Dedekind 問 Frobenius 一個具體計算問題：如何分解「群行列式」 \(\det\big(\sum_{g\in G} x_g \rho(g)\big)\) ？Frobenius 為解決它發明了群特徵標——這是 6.1 節的主題。而要在群表示的語言裡工作，就需要 1878 年那套矩陣理論：相似分類、最小多項式、標準形。換言之，1878 年的矩陣理論是 1896 年表示論的基礎設施，正如 5.1 節的矩陣代數是 5.2 節特徵值理論的基礎設施。

5.4.2 為什麼需要「最小」多項式#

Cayley–Hamilton（5.2 節）說 \(A\) 滿足自己的 \(n\) 次特徵方程。但 \(A\) 可能滿足更低次的方程： \(A = \lambda I\) 只需 \(t - \lambda\) 。刻劃「 \(A\) 到底滿足哪個最低次的多項式」就是最小多項式——它是矩陣的「代數指紋」，決定了若爾當塊的最大尺寸（從而與 5.3 節的塊結構直接相連）。

數學理論#

5.4.3 最小多項式#

定義 5.4.1。設 \(A \in M_n(F)\) 。稱多項式 \(f(t) \in F[t]\) 零化 \(A\) ，若 \(f(A) = O\) 。次數最低的首一零化多項式稱為 \(A\) 的最小多項式，記作 \(\mu_A(t)\) 。

定理 5.4.2（存在唯一性）。最小多項式存在且唯一，並且整除所有零化 \(A\) 的多項式。

證明。零化多項式構成 \(F[t]\) 的子集 \(I = \{f : f(A) = O\}\) ，而 \(F[t]\) 是主理想環（PID，見 3.4 節），非零理想由次數最低的元素生成： \(I = (\mu_A)\) 。因此 \(f(A)=O \Rightarrow f \in (\mu_A) \Rightarrow \mu_A \mid f\) 。若 \(\mu_1, \mu_2\) 都是最小多項式，則互相整除且皆首一，故相等。 \(\blacksquare\)

這個證明值得停下來看：它沒有任何矩陣技巧，只用了「 \(F[t]\) 是 PID」+「線性映射 \(f \mapsto f(A)\) 的核是理想」。這種「代數物件由其滿足的關係決定」的思想，正是 5.5 節模論（ \(F[t]\) -模結構）與 5.6 節結構定理的胚芽。

由 Cayley–Hamilton 立即得到：

定理 5.4.3（Cayley–Hamilton 的精煉版）。 \(\mu_A \mid \chi_A\) 。特別地 \(\deg \mu_A \le n\) 。

定理 5.4.4（基本性質）。 1. \(\mu_A\) 與 \(\chi_A\) 有相同的根集（不計重數）： \(A\) 的特徵值恰是 \(\mu_A\) 的根； 2. 若 \(A \sim B\) （相似），則 \(\mu_A = \mu_B\) ——最小多項式是相似不變量； 3. 對若爾當塊， \(\mu_{J_k(\lambda)}(t) = (t-\lambda)^k\) ； 4. 若 \(A = \operatorname{diag}(A_1, \dots, A_r)\) （分塊對角），則 \(\mu_A = \operatorname{lcm}(\mu_{A_1}, \dots, \mu_{A_r})\) 。

證明思路。(1)： \(\lambda\) 是 \(\chi_A\) 的根， \(\chi_A = \mu_A q\) ，故 \(\chi_A(\lambda) = 0 = \mu_A(\lambda)q(\lambda)\) ，而 \(q(\lambda) \neq 0\) （否則 \(\lambda\) 是 \(q\) 的根，與 \(\chi_A = \mu_A q\) 的根集比對矛盾——更嚴格地：若 \(\mu_A(\lambda) \ne 0\) 則 \((t-\lambda)^{-1}\) 層次展開顯示矛盾；標準證法用 \((A-\lambda I)\mathbf{v} \ne 0\) 的廣義特徵向量鏈）。(2)： \(\mu_A(PBP^{-1}) = P\mu_A(B)P^{-1}\) 。(3)： \(N_k^k = O \ne N_k^{k-1}\) 。(4)： \(\mu_A(A_i) = O\) 對所有 \(i\) ，故 \(\mu_{A_i} \mid \mu_A\) ，反之 \(\operatorname{lcm}\) 零化所有塊。 \(\blacksquare\)

5.4.5 最小多項式與可對角化#

定理 5.4.6（Frobenius / 可對角化判準）。 \(A\) 可對角化 \(\iff\) \(\mu_A\) 無重根（在代數閉包中）。

證明思路。 \((\Leftarrow)\) 若 \(\mu_A = \prod_i (t-\lambda_i)\) 無重根，則由 \(\mu_A(A)=O\) 與 Bezout 恆等式 \(\sum p_i(t)\frac{\mu_A(t)}{t-\lambda_i} = 1\) （這裡用到 \(\lambda_i\) 互異），得到 \(F^n = \bigoplus_i \ker(A - \lambda_i I)\) ——全是特徵空間，故可對角化。 \((\Rightarrow)\) 若 \(A\) 可對角化， \(A \sim \operatorname{diag}(\lambda_i)\) ，由性質 4 最小多項式是 \(\prod_i (t - \lambda_i)\) （互異根），無重根。 \(\blacksquare\)

回顧 5.3 節： \(J_k(\lambda)\) 的最小多項式是 \((t-\lambda)^k\) ，故

定理 5.4.7（最小多項式決定最大塊）。設 \(A\) 的若爾當形中，特徵值 \(\lambda\) 的最大塊尺寸為 \(s(\lambda)\) ，則

最小多項式給出塊的「最大尺寸」，特徵多項式給出塊的「總尺寸」。知道這兩個多項式往往足以（在維度小時）唯一決定若爾當形。

5.4.6 Frobenius 標準形（有理標準形）#

Frobenius 1878 年的另一貢獻是把 5.3 節的標準形推廣到任意體（不必代數閉、不必分裂特徵多項式）：

定義 5.4.8。對首一多項式 \(p(t) = t^k + a_{k-1}t^{k-1} + \cdots + a_0\) ，其伴隨矩陣（友矩陣，companion matrix）為

定理 5.4.9（Frobenius，1878）。對任意 \(A \in M_n(F)\) ，存在可逆 \(P\) 使

其中 \(p_1 \mid p_2 \mid \cdots \mid p_r\) （不變因子）， \(p_r = \mu_A\) ， \(p_1 p_2 \cdots p_r = \chi_A\) 。此標準形在唯一性意義下不變。

\(C(p)\) 的特徵多項式與最小多項式都是 \(p\) 。當 \(F = \mathbb{C}\) 進一步把 \(p_i\) 分裂成線性因子，就得到若爾當形——Frobenius 標準形是若爾當形的「算術前身」，它的證明（透過 \(F[t]\) -模的 PID 結構定理）正是 5.6 節的主題。事實上，同一套定理還給出有限交換群的分類（見 2.5 節）——這是數學統一性的絕佳範例。

flowchart LR
    PID["F[t] 是 PID<br/>模的結構定理 (5.6)"] -->|"向量空間 = F[t]-模"| FR["Frobenius 標準形<br/>(1878, 任意體)"]
    FR -->|"F = C, 分裂多項式"| J["若爾當標準形<br/>(1870)"]
    PID -->|"模 = Z/nZ 的直和"| FG["有限交換群分類<br/>(2.5 節)"]

SymPy 實作#

範例 1：計算最小多項式#

import sympy as sp
from itertools import product

t = sp.Symbol('t')

def poly_eval_matrix(f, A):
    """把多項式 f 代入矩陣：f(A)"""
    result = sp.zeros(A.rows)
    for c in sp.Poly(f, t).all_coeffs():
        result = result * A + c * sp.eye(A.rows)
    return result

def minimal_poly(A):
    """最小多項式：枚舉特徵多項式的首一因式，找最低次的零化多項式"""
    coeff, factors = sp.factor_list(A.charpoly(t).as_expr(), t)
    best = None
    for combo in product(*[range(e + 1) for _, e in factors]):
        f = sp.Poly(coeff, t)
        for (g, _), k in zip(factors, combo):
            f *= sp.Poly(g, t) ** k
        if poly_eval_matrix(f.as_expr(), A) == sp.zeros(A.rows):
            if best is None or f.degree() < best.degree():
                best = f
    return sp.factor(best.as_expr())

A = sp.Matrix([[1, 1], [0, 1]])
print("chi_A =", sp.factor(A.charpoly(t).as_expr()))   # (t - 1)**2
print("mu_A  =", minimal_poly(A))                       # (t - 1)**2

B = sp.eye(2)
print("mu_I =", minimal_poly(B))                        # t - 1（一次！）

輸出：

chi_A = (t - 1)**2
mu_A  = (t - 1)**2
mu_I = t - 1

程式說明：SymPy 的 Matrix 類別沒有內建最小多項式方法（sp.minimal_polynomial 是給代數數用的），所以我們自訂 minimal_poly：由 Cayley–Hamilton 知 \(\mu_A \mid \chi_A\) ，故只需枚舉 \(\chi_A\) 的首一因式（factor_list 給出素因式與重數，product 枚舉各指數 \(0..e\) ），取最低次的零化者。poly_eval_matrix 用 Horner 法計算 \(f(A)\) 。

\(I\) 的最小多項式只有一次：雖然 \(\chi_I = (t-1)^2\) ，但 \(I - I = O\) 早就成立了。這正是「最小多項式比特徵多項式更精細」的例子。

範例 2：最小多項式與可對角化判準#

import sympy as sp

tests = [
    ("J2(1)", sp.Matrix([[1, 1], [0, 1]])),
    ("diag(1,2,3)", sp.diag(1, 2, 3)),
    ("diag(J2(2), 2)", sp.Matrix([[2, 1, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 2]])),
]
t = sp.Symbol('t')
for name, M in tests:
    mu = minimal_poly(M)
    print(f"{name}: mu = {mu}, 無重根? {sp.Poly(mu, t).is_squarefree}, 可對角化? {M.is_diagonalizable()}")

輸出：

J2(1): mu = (t - 1)**2, 無重根? False, 可對角化? False
diag(1,2,3): mu = (t - 1)*(t - 2)*(t - 3), 無重根? True, 可對角化? True
diag(J2(2), 2): mu = (t - 2)**2, 無重根? False, 可對角化? False

定理 5.4.6 完全驗證：「 \(\mu_A\) 無重根 \(\iff\) 可對角化」。第三個例子中特徵值 \(2\) 的代數重數是 \(3\) ，但最大塊是 \(J_2\) ，故 \(\mu = (t-2)^2\) 。

範例 3：從塊結構預測最小多項式#

import sympy as sp

t = sp.Symbol('t')
# 若爾當形 diag(J_2(3), J_2(3), J_1(3))
A = sp.Matrix([[3, 1, 0, 0, 0],
               [0, 3, 0, 0, 0],
               [0, 0, 3, 1, 0],
               [0, 0, 0, 3, 0],
               [0, 0, 0, 0, 3]])
print("chi_A =", sp.expand(A.charpoly(t).as_expr()))   # (t-3)^5
print("mu_A  =", A.minimal_polynomial())                # (t-3)**2：最大塊是 2 階
print("lcm 檢查:", sp.lcm(sp.lcm((t-3)**2, (t-3)**2), t-3))

輸出：

chi_A = (t - 3)**5
mu_A  = (t - 3)**2
lcm 檢查: (t - 3)**2

塊是 \(J_2, J_2, J_1\) ；最小多項式 \(= \operatorname{lcm}\big((t-3)^2, (t-3)^2, (t-3)\big) = (t-3)^2\) ——性質 4 的驗證。

範例 4：Frobenius 標準形（伴隨矩陣）#

import sympy as sp

def companion(p):
    """首一多項式 p 的伴隨矩陣 C(p)"""
    coeffs = sp.Poly(p, t).all_coeffs()[::-1]   # [a0, a1, ..., a_{k-1}, 1]
    k = len(coeffs) - 1
    C = sp.zeros(k)
    for i in range(k - 1):
        C[i + 1, i] = 1
    for i, a in enumerate(coeffs[:-1]):
        C[i, k - 1] = -a
    return C

t = sp.Symbol('t')
p = t**3 - 2*t + 5
C = companion(p)
print("C =", C)
print("chi_C =", C.charpoly(t).as_expr())    # t**3 - 2*t + 5
print("mu_C  =", C.minimal_polynomial())     # 同一個 p

輸出：

C = Matrix([[0, 0, -5], [1, 0, 2], [0, 1, 0]])
chi_C = t**3 - 2*t + 5
mu_C  = t**3 - 2*t + 5

伴隨矩陣把「多項式 ↔ 矩陣」對應起來：任何首一 \(n\) 次多項式都可實現為某矩陣的特徵多項式。這是 Frobenius 標準形的積木，也是 3.5 節中「把 \(F(\alpha)\) 實現為矩陣」的關鍵。

習題#

1. 求 \(A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) 的最小多項式（提示： \(A^2 = I\) ），並判斷可對角化性。
2. 證明： \(\deg \mu_A = n \iff \chi_A = \mu_A\) 。
3. 舉例說明：兩個矩陣有相同的特徵多項式但不同的最小多項式；又有相同的 \(\chi, \mu\) 但不相似（ \(n \ge 4\) 時才可能）。
4. 證明定理 5.4.4 的性質 (4)，並用 SymPy 驗證 範例 3。
5. 證明： \(A\) 冪零（ \(A^k = O\) ） \(\iff\) \(\mu_A = t^m\) 。此時 \(m\) 與若爾當塊有什麼關係？
6. 用 SymPy 對所有 \(2\times2\) 首一多項式 \(p\) （係數 \(-2,-1,0,1,2\) ）建立伴隨矩陣，驗證 \(\chi_{C(p)} = p\) 。
7. 證明： \(\mu_A\) 的根必是 \(A\) 的特徵值（完成定理 5.4.4 (1) 的嚴格證明，可用 \(\mu_A(A)\mathbf{v} = (\lambda-\lambda_0)^m\) 式的展開）。
8. （挑戰）查閱 Frobenius 1878 年論文的結構（或任何教科書），寫出「最小多項式是相似不變量，且 \(\chi_A = \mu_A\) 時若爾當形唯一確定」的證明。

SymPy 要點回顧#

下一節：把矩陣理論放進更大的框架——模與向量空間的公理化，見 5.5 節。