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06.2 舒爾引理與半單性#

學習目標#

  1. 敘述並證明 Maschke 定理（1899）：有限群的複表示完全可約。
  2. 敘述並證明 Schur 引理（1905），及其兩個關鍵推論。
  3. 理解群代數 \(\mathbb{C}[G]\) 、正則表示與半單代數的 Wedderburn 分解。
  4. 用 SymPy 驗證：將一個表示分解為不可約子表示，並檢查與不可約表示交織的矩陣必為純量。

歷史背景#

Frobenius 在 1896 年發明特徵標時，使用的是高度技巧性的行列式與內積計算，整個理論的「為什麼成立」仍隱藏在計算之中。把這座大廈的地基挖出來的，是兩位數學家：

  • 海因里希・馬施克（Heinrich Maschke, 1853–1908）：他在 1899 年證明，特徵不整除 \(|G|\) 的體上（特別是 \(\mathbb{C}\) ），有限群的每個表示都可以完全可約——任何不變子空間都有補空間。這個看似技術性的結果，實際上宣告了表示論是一門「柔性」的理論：沒有若爾當塊、沒有不可約之外的神祕結構，一切表示都由不可約表示拼裝而成（參考 5.3 節中若爾當塊的麻煩，此處它們被消滅了）。
  • 伊薩伊・舒爾（Issai Schur, 1875–1941）：Frobenius 的學生，1905 年前後將表示論改寫成矩陣語言並證明以他命名的引理。Schur 引理是整個表示論中使用頻率最高的一句話：「與不可約表示交織的映射，要嘛是零、要嘛是同構（在 \(\mathbb{C}\) 上還必是純量）」。
  • Emmy Noether（1882–1935）：1929 年她提出決定性的一步——把表示看成模（module over the group algebra \(\mathbb{C}[G]\) ）。表示的子表示就是子模，完全可約就是半單模。這個觀點把 Maschke 定理與 Wedderburn（1907）的半單代數結構定理串成一體，也直接連向 8 章的同調代數（半單性 = 所有 Ext 消失）。
  • 理論與技術的互相驅動：1920 年代量子力學需要處理「對稱性如何約束態向量空間」——這正是完全可約性的問題：一個帶對稱性的大空間如何分解成不可約子空間的直和。沒有 Maschke 定理，光譜的「殼層結構」在數學上就無從保證（見 6.6 節）。

Maschke 定理#

定理 6.2.1（Maschke, 1899）。 設 \(G\) 是有限群， \(K\) 是體， \(\operatorname{char} K \nmid |G|\) 。若 \(\rho: G \to GL(V)\) 是表示且 \(W \subseteq V\) 是 \(G\) -不變子空間，則存在 \(G\) -不變的補空間 \(W'\) 使 \(V = W \oplus W'\) 。

證明思路（平均化技巧）。 這是本書最重要的證明技巧之一，值得完整寫下。

  1. 先在向量空間層面（拋開 \(G\) ）取任意線性補映射 \(\pi_0 : V \to W\) （投影到 \(W\) ，即 \(\pi_0|_W = \operatorname{id}_W\) ）。
  2. 對 \(G\) 平均這個投影：
\[ \pi = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \rho(g)\, \pi_0\, \rho(g)^{-1}. \]
  1. 檢查 \(\pi\) 仍是 \(W\) 上的投影：若 \(w \in W\) ， \(\rho(g)^{-1}w \in W\) （不變性）， \(\pi_0\) 保持它，再被 \(\rho(g)\) 送回 \(w\) ，故 \(\pi(w) = w\) 。
  2. 檢查 \(\pi\) 與 \(G\) 交換：對 \(h \in G\) ，
\[ \pi \rho(h) = \frac{1}{|G|}\sum_g \rho(g)\pi_0\rho(g^{-1}h) = \frac{1}{|G|}\sum_{u}\rho(hu)\pi_0\rho(u) = \rho(h)\pi, \]

（令 \(u = g^{-1}h\) ，用 \(\{g^{-1}h\} = \{g\}\) 這個重標籤——群論在證明中扮演的角色正是「允許平均」）。 5. 令 \(W' = \ker \pi\) 。因 \(\pi\) 與 \(G\) 交換， \(W'\) 是 \(G\) -不變的，且 \(V = W \oplus W'\) 。 \(\blacksquare\)

關鍵點： \(\frac{1}{|G|}\) 必須存在，這就是條件 \(\operatorname{char} K \nmid |G|\) 的來源。特徵 \(p\) 整除 \(|G|\) 時（模表示論，Brauier 1930s 起）完全可約性失效，理論面貌徹底改變——這也再次說明「條件的來源 = 證明中工具的需求」。

Schur 引理#

引理 6.2.2（Schur, 1905）。 設 \(\rho_1 : G \to GL(V_1)\) 、 \(\rho_2 : G \to GL(V_2)\) 是不可約複表示， \(T : V_1 \to V_2\) 滿足 \(T\rho_1(g) = \rho_2(g) T\) 對所有 \(g\) （這樣的 \(T\) 稱為交織算子，intertwiner）。則：

  1. 若 \(\rho_1 \not\cong \rho_2\) ，則 \(T = 0\) 。
  2. 若 \(\rho_1 = \rho_2\) （同一表示），則 \(T = \lambda I\) 是純量矩陣。

證明。

(1) \(\ker T\) 是 \(V_1\) 的 \(G\) -不變子空間： \(T\rho_1(g)v = \rho_2(g)Tv = 0 \Rightarrow \rho_1(g)v \in \ker T\) 。不可約性給 \(\ker T = 0\) 或 \(V_1\) 。同理 \(\operatorname{im} T\) 是 \(V_2\) 的不變子空間，為 \(0\) 或 \(V_2\) 。若 \(T \neq 0\) 則 \(\ker T = 0, \operatorname{im} T = V_2\) ， \(T\) 是同構， \(\rho_1 \cong \rho_2\) ，矛盾（或得結論 \(T\) 同構）。

(2) 取 \(T\) 在 \(\mathbb{C}\) 上的特徵值 \(\lambda\) （ \(\mathbb{C}\) 代數封閉保證存在），則 \(T - \lambda I\) 仍是交織算子，且奇異。由 (1) 的論證，奇異交織算子必為零，故 \(T = \lambda I\) 。 \(\blacksquare\)

注意：(2) 在 \(\mathbb{R}\) 上不成立—— \(\mathbb{C}\) 對 \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) 旋轉群的表示（ \(2 \times 2\) 旋轉矩陣）不可約，但 \(\mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2\) 中所有與旋轉交換的矩陣構成 \(\mathbb{C}\) 自身，是 2 維實代數而非純量。這說明代數封閉性的角色，也埋下了實表示分類（Frobenius–Schur 指標）的伏線（6.6 節中化學的複表示與實表示差異正源於此）。

推論 6.2.3。 不可約表示 \(\rho : G \to GL_d(\mathbb{C})\) 的像落在「所有與 \(\rho(G)\) 交換的矩陣」的中心化子 = 純量矩陣中。反過來，這給出不可約性判據： \(\rho\) 不可約 \(\iff\) 與所有 \(\rho(g)\) 交換的矩陣只有純量矩陣。

推論 6.2.4（正交關係的引擎）。 Schur 引理是 6.1 節正交關係的證明核心：對 \(\chi_i \neq \chi_j\) ，矩陣 \(\sum_g \rho_i(g^{-1}) A \rho_j(g)\) 交織 \(\rho_j\) 與 \(\rho_i\) ，由 Schur 引理必為零；取 \(A\) 的適當元素即可逼出 \(\langle \chi_i, \chi_j \rangle = 0\) 。

群代數與 Wedderburn 分解#

定義。 群代數 \(\mathbb{C}[G]\) 是以 \(\{g : g \in G\}\) 為基的自由向量空間，乘法由群乘法線性延拓：

\[ \left(\sum_g a_g g\right)\left(\sum_h b_h h\right) = \sum_{u} \left(\sum_g a_g b_{g^{-1}u}\right) u. \]

\(\mathbb{C}[G]\) 上的模 \(\iff\) \(G\) 的表示（Noether, 1929）。

定理 6.2.5（Maschke + Wedderburn）。 若 \(\operatorname{char} K \nmid |G|\) ，則

\[ K[G] \cong \prod_{i=1}^{r} M_{d_i}(K) \]

（ \(\mathbb{C}\) 上），其中 \(d_i\) 是不可約表示的次數， \(r\) 是不可約表示個數。比較兩邊維數：

\[ |G| = \sum_{i=1}^{r} d_i^2 . \]

這個平方和公式與 6.1 節群行列式的因式冪次完全吻合——群行列式的「二次因式重複 \(d_i\) 次」正是矩陣代數 \(M_{d_i}\) 維數 \(d_i^2\) 的身影。

正則表示。 \(G\) 作用在 \(\mathbb{C}[G]\) 自身（左乘）得到的表示。它的分解

\[ \mathbb{C}[G] \cong \bigoplus_{i=1}^{r} V_i^{\oplus d_i} \]

說明：每個不可約表示在正則表示中恰好出現 \(d_i\) 次。這是計算特徵標表的實用工具（見 6.3 節）。

SymPy 實作#

範例 1：驗證「平均投影」構造不變補空間#

考慮 \(S_3\) 的三維置換表示，其不變子空間 \(W = \{(1,1,1)\}^\perp\) 的補線 \(W_0 = \mathbb{C}(1,1,1)\) 。我們用平均化技巧構造 \(G\) -等變投影：

import sympy as sp
from sympy.combinatorics.named_groups import SymmetricGroup

G = SymmetricGroup(3)

def rho_matrix(g):
    M = sp.zeros(3)
    for i in range(3):
        M[g(i), i] = 1
    return M

# 任意初始投影: 投到 e1 方向
v = sp.Matrix([1, 0, 0])
n = G.order()

# 平均化: P = (1/|G|) * sum_g  rho(g) * proj0 * rho(g)^{-1}
P = sp.zeros(3)
for g in G.elements:
    R = rho_matrix(g)
    P += R * (v * v.T) * R.T      # 置換矩陣是正交的, R^{-1} = R^T
P = P / n

print("P^2 = P ? ", sp.simplify(P**2 - P) == sp.zeros(3))
print("與所有 rho(g) 交換? ", all(sp.simplify(P*rho_matrix(g) - rho_matrix(g)*P) == sp.zeros(3) for g in G.elements))
print("P =")
sp.pprint(P)

輸出說明：P 等於 \(\frac{1}{3}\mathbf{1}\mathbf{1}^T\) ——投射到 \(\langle(1,1,1)\rangle\) 的 \(G\) -等變投影，滿足冪等與交織兩性質。這正是 Maschke 證明的可計算化身：隨便一個投影，平均之後自動獲得對稱性。

範例 2：Schur 引理的數值驗證#

用 \(S_3\) 的二維標準表示，解「與所有 \(\rho(g)\) 交換的矩陣」的線性方程組：

import sympy as sp
from sympy.combinatorics.named_groups import SymmetricGroup

G = SymmetricGroup(3)
gens = G.generators

# 標準二維表示：以 (1,1,1) 為法向量的平面上, 用基底 u=(1,-1,0)/sqrt2, v=(1,1,-2)/sqrt6
import sympy as sp
u = sp.Matrix([1, -1, 0]) / sp.sqrt(2)
v = sp.Matrix([1, 1, -2]) / sp.sqrt(6)
B = sp.Matrix.hstack(u, v)          # 3x2, 列 = 新基

def std_2d(g):
    R = sp.zeros(3)
    for i in range(3):
        R[g(i), i] = 1
    return sp.simplify(B.T * R * B)   # 2x2

a, b, c, d = sp.symbols('a b c d')
T = sp.Matrix([[a, b], [c, d]])
eqs = []
for g in G.elements:
    eqs += list(T * std_2d(g) - std_2d(g) * T)
sol = sp.solve(eqs, [a, b, c, d], dict=True)
print(sol)

輸出說明：解為 \(\{d: a, b: 0, c: 0\}\) ，即 \(T = aI\) 是純量矩陣——Schur 引理推論 6.2.3 的直接驗證。標準表示不可約 \(\iff\) 中心化子只有純量，程式把「不可約」變成可計算的線性代數問題。

範例 3：檢驗群代數的維數公式 \(|G| = \sum d_i^2\)#

from sympy.combinatorics.named_groups import SymmetricGroup, AlternatingGroup, DihedralGroup, CyclicGroup

def sq_sum_test(G, irreducible_dims):
    n = G.order()
    s = sum(d**2 for d in irreducible_dims)
    print(f"|G| = {n},  sum d_i^2 = {s},  相等: {n == s}")

# S_3: 次數 1,1,2 ; D_4 (8階二面體群): 1,1,1,1,2 ; C_5: 1x5
sq_sum_test(SymmetricGroup(3), [1, 1, 2])
sq_sum_test(DihedralGroup(4), [1, 1, 1, 1, 2])
sq_sum_test(CyclicGroup(5), [1, 1, 1, 1, 1])

輸出說明：三行都是 相等: True。這些已知的不可約次數清單可由 6.3 節的特徵標表程式自動算出，此處先以手算結果核對公式。

SymPy 要點回顧#

  • 平均化構造只需 for g in G.elements 迴圈加上矩陣運算，sp.simplify 清理分數與根號。
  • 檢查交織條件：T * rho(g) - rho(g) * T 是否全為零矩陣；用 sp.solve 解線性方程組即可找出中心化子。
  • 置換矩陣為正交矩陣： \(R^{-1} = R^T\) ，實作時可省去求逆。
  • DihedralGroup(n)、CyclicGroup(n)、AlternatingGroup(n) 提供現成的非交換/交換測試群。

習題#

  1. 寫出 Maschke 定理證明中第 4 步交織性質的完整細節。
  2. 證明：若 \(\rho\) 不可約且 \(\rho(g)\) 全為實矩陣， \(\mathbb{C}\) 上仍可能出現非純量交織算子嗎？說明代數封閉性的角色。
  3. 對 \(C_3\) 計算群代數 \(\mathbb{C}[C_3]\) 的 Wedderburn 分解，並用傅立葉矩陣（DFT 矩陣）明確寫出同構。
  4. 用範例 2 的方法，對 \(D_4\) 的二維不可約表示驗證中心化子為純量。
  5. 說明為何 \(\operatorname{char} K = p\) 、 \(p \mid |G|\) 時，平凡表示可以不斷延拓出非半單的例子（提示： \(C_p\) 用 \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) ）。
  6. （挑戰）證明定理 6.2.5 中 \(\sum d_i^2 = |G|\) ：對 Wedderburn 分解兩邊取維數。

下一節：把 Maschke + Schur 的成果兌現成演算法——特徵標表的構造與正交關係的雙重形式，見 6.3-有限群的不可約表示與特徵標表。