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06.3 有限群的不可約表示與特徵標表#

學習目標#

  1. 建立類函數空間的內積結構，證明第一與第二正交關係。
  2. 證明不可約特徵標個數 = 共軛類個數，掌握 \(\sum d_i^2 = |G|\) 。
  3. 學會用行正交關係與冪等元從零構造特徵標表的演算法。
  4. 用純 Python 實作特徵標表計算器，並用 SymPy 的 PermutationGroup 對多個群驗證。

歷史背景#

特徵標表是純數學史上最優雅的「資料庫」之一：一個群的全部不可約表示，被壓縮成一張 \(r \times r\) 的數字表。

  • 1896–1897：Frobenius 發明特徵標後，隨即發展正交關係（初期的「第二主定理」形式），並與學生 Schur 一起計算了對稱群、交錯群、線性群 \(PSL(2,q)\) 等大量特徵標表。
  • 1898：Frobenius 證明「正則表示中每個不可約表示出現 \(d_i\) 次」，此結果今天稱為 Frobenius 分解。
  • Burnside（1900s）：William Burnside 把表示論寫進教科書（Theory of Groups of Finite Order, 1911 二版），使它進入主流。著名的 Burnside \(p^a q^b\) 定理（1904）——階為 \(p^a q^b\) 的群必可解——就是特徵標理論的第一個重大「外溢」應用：一個關於群結構的定理，證明完全依賴特徵標。這讓群論學家不得不正視表示論。
  • Brauer（1930s–40s）：Richard Brauer 開創模表示論，處理特徵 \(p\) 情形，特徵標表成為有限單群分類工程（見 9.1 節）的核心工具。
  • 計算時代：1970 年代起 Conway 等人在 Cambridge 用算表（及後來的電腦）計算怪獸群的特徵標表（1979, Atlas of Finite Groups, 1985 出版）。特徵標表的計算需求直接推動了代數計算系統與群論資料庫（GAP, 1986）的誕生——本書的 SymPy 範例正是這條「理論 → 計算」路線的微縮版。

類函數空間與正交關係#

定義。 類函數 \(\alpha : G \to \mathbb{C}\) 滿足 \(\alpha(hgh^{-1}) = \alpha(g)\) 。全體類函數構成向量空間 \(\mathcal{C}(G)\) ，維數 = 共軛類個數 \(r\) 。定義內積

\[ \langle \alpha, \beta \rangle = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \alpha(g)\,\overline{\beta(g)} = \sum_{k=1}^{r} \frac{|C_k|}{|G|}\, \alpha(g_k)\,\overline{\beta(g_k)}, \]

其中 \(C_k\) 是共軛類、 \(g_k\) 是代表元。

定理 6.3.1（第一正交關係）。 不可約特徵標 \(\chi_1, \dots, \chi_s\) 滿足 \(\langle \chi_i, \chi_j \rangle = \delta_{ij}\) 。

證明思路。 由 Maschke 定理（6.2 節定理 6.2.1），任何表示完全可約；由 Schur 引理，對交織算子 \(A_{ij} = \sum_g \rho_i(g^{-1}) A \rho_j(g)\) 有 \(A_{ij} = c_A I\) 或 \(0\) 。取 \(A\) 為單一矩陣元素 \(E_{kl}\) 計算 \(c_A = \frac{|G|}{d_i}\delta_{ij}\delta_{kl}\) ，再取跡：

\[ \sum_g \chi_i(g^{-1})\chi_j(g) = |G|\,\delta_{ij}. \]

取共軛整理即得 \(\langle \chi_i, \chi_j \rangle = \delta_{ij}\) 。 \(\blacksquare\)

定理 6.3.2（完備性）。 不可約特徵標是 \(\mathcal{C}(G)\) 的正交基，故 \(s = r\) （不可約特徵個數 = 共軛類個數），且特徵標決定表示（兩表示同構 \(\iff\) 特徵標相等）。

證明思路。 若 \(\alpha\) 與所有 \(\chi_i\) 正交，對任意表示 \(\rho\) ， \(\sum_g \alpha(g)\rho(g)\) 是交織算子，由 Schur 引理在不可約分支上為純量 \(\lambda_V I\) ，而 \(\operatorname{tr} = \sum_g \alpha(g)\chi_V(g) = 0\) 與 \(\lambda_V \dim V = 0\) 矛盾（除非 \(\lambda_V = 0\) ）。於是所有交織算子為零， \(\rho\) 的每個分量「平均為零」迫使其特徵標係數全零，故 \(\rho\) 是平凡表示……嚴格論證需用正則表示：正則特徵標 \(\chi_{\text{reg}}(1) = |G|\) 、 \(\chi_{\text{reg}}(g) = 0\ (g \neq 1)\) ，與分解 \(\chi_{\text{reg}} = \sum_i d_i \chi_i\) 對 \(g \ne 1\) 比較，用第一正交關係即可得 \(\alpha = 0\) 。 \(\blacksquare\)

定理 6.3.3（次數平方和）。 \(\chi_{\text{reg}} = \sum_i d_i \chi_i\) （正則表示中 \(V_i\) 出現 \(d_i\) 次），在 \(g=1\) 取值：

\[ |G| = \sum_{i=1}^{r} d_i^2 . \]

定理 6.3.4（第二正交關係，行/列對偶）。 特徵標表的「列」滿足：對共軛類 \(C_k, C_l\) ，

\[ \sum_{i=1}^{r} \chi_i(g_k)\,\overline{\chi_i(g_l)} = \frac{|G|}{|C_k|}\,\delta_{kl}. \]

這是第一正交關係（對「行」= 特徵標）的轉置版本：特徵標表的矩陣（適當縮放後）是酉矩陣。

推論 6.3.5。 \(g \sim h \iff\) 所有不可約特徵標在 \(g, h\) 上取值相同。共軛類 = 特徵標無法分辨的極限。

從數據構造特徵標表：演算法#

給定群 \(G\) （共軛類 \(C_1,\dots,C_r\) ， \(C_1 = \{1\}\) ），特徵標表 \(X = (\chi_i(g_k))\) 滿足的條件：

  1. 正交： \(\langle \chi_i, \chi_j \rangle = \delta_{ij}\) 。
  2. 第一行： \(\chi_1 \equiv 1\) （平凡特徵標）。
  3. 第一列： \(\chi_i(1) = d_i\) ，且 \(\sum d_i^2 = |G|\) 。
  4. 環性質：特徵標值是代數整數；若 \(g\) 階為 \(m\) ，則 \(\chi_i(g)\) 是 \(m\) 次單位根的和。
  5. 乘法結構： \(\chi_i(g)\chi_j(g)\) 展開成不可約特徵標的（類函數層面）非負整線性組合。

實用策略（適合電腦）：枚舉每行為「單位根之和且滿足行正交」的候選向量，或（對小群）直接枚舉正規化酉矩陣的候選再驗證封閉性。本節用代數整數條件 + 正交關係做約束搜索；6.5 節則用對稱函數對 \(S_n\) 給出封閉公式。

例子： \(D_4\) （8 階二面體群）的特徵標表#

\(D_4 = \langle r, s \mid r^4 = s^2 = 1,\ srs = r^{-1} \rangle\) 有 5 個共軛類：

\[ \{1\},\ \{r^2\},\ \{r, r^3\},\ \{s, r^2 s\},\ \{rs, r^3 s\}. \]

由 \(\sum d_i^2 = 8\) 且 \(r = 5\) ，必有四個一次特徵標與一個二次特徵標。一次特徵標由 \(r \mapsto \pm 1, s \mapsto \pm 1\) 給出；二維特徵標由幾何（旋轉矩陣）給出：

類大小 \(\to\) 1 1 2 2 2
代表元 \(\to\) \(1\) \(r^2\) \(r\) \(s\) \(rs\)
\(\chi_1\) 1 1 1 1 1
\(\chi_2\) 1 1 1 \(-1\) \(-1\)
\(\chi_3\) 1 1 \(-1\) 1 \(-1\)
\(\chi_4\) 1 1 \(-1\) \(-1\) 1
\(\chi_5\) 2 \(-2\) 0 0 0

驗證 \(\sum_i \chi_i(r)\overline{\chi_i(r)} = 1+1+1+1+0 = 4 = |G|/|C_3| = 8/2\) （第二正交關係成立）。

SymPy 實作#

範例 1：通用特徵標表計算器（約束搜索版）#

import sympy as sp
from math import isqrt

def conjugacy_classes(G):
    """回傳 [(代表元, 共軛類集合), ...]，用 SymPy 內建 conjugacy_classes()"""
    reps = []
    for c in G.conjugacy_classes():
        reps.append((sorted(c, key=lambda p: p.array_form)[0], set(c)))
    return reps

def character_table(G):
    reps = conjugacy_classes(G)
    reps.sort(key=lambda t: len(t[1]))          # 讓單位元類排最前(大小1)
    classes = [c for _, c in reps]
    centers = [g for g, _ in reps]
    n = G.order()
    r = len(classes)
    sizes = [len(c) for c in classes]

    # 類函數的內積: <u, v> = (1/|G|) sum_C |C| u(C) v(C)
    def inner(u, v):
        return sum(sp.Rational(s, n) * u[i] * v[i] for i, s in enumerate(sizes))

    rows = [[1] * r]                              # 第一行: 平凡特徵標

    # 約束搜索: 固定次數 d = chi(1), 枚舉各共軛類上的整數特徵標值
    #   (a) |chi(g)| <= d                          (特徵標值的絕對值不超過次數)
    #   (b) sum_C |C| chi(C) = 0                   (與平凡特徵標正交)
    #   (c) sum_C |C| chi(C)^2 = |G|               (範數 = 1)
    #   (d) 與已選的各行正交                        (第一正交關係)
    def search(d, k, current):
        if k == r:
            if inner(current, rows[0]) != 0:                      # (b)
                return
            if sum(sizes[i] * current[i] ** 2 for i in range(r)) != n:   # (c)
                return
            if all(inner(current, prev) == 0 for prev in rows):   # (d)
                rows.append(current[:])
            return
        rest = sum(sizes[k:])                     # 剩餘類的總大小
        wsum = sum(sizes[i] * current[i] for i in range(k))
        wsq = sum(sizes[i] * current[i] ** 2 for i in range(k))
        for v in range(-d, d + 1):
            if k == 0 and v != d:                 # 第 0 類(單位元)上的值就是次數 d
                continue
            ns = wsum + sizes[k] * v
            nq = wsq + sizes[k] * v * v
            if abs(ns) > d * rest:                # 剩餘類無法把加權和補成 0
                continue
            if nq > n or n - nq > d * d * rest:  # 剩餘類無法把平方和補成 |G|
                continue
            search(d, k + 1, current + [v])

    for d in range(1, isqrt(n) + 1):              # 第一列: d_i, 且 sum d_i^2 = n
        if d * d > n:
            break
        search(d, 0, [])

    return centers, sizes, rows

from sympy.combinatorics.named_groups import DihedralGroup, SymmetricGroup

G = DihedralGroup(4)
centers, sizes, table = character_table(G)
print("代表元:", [str(g.cyclic_form) for g in centers])
print("類大小:", sizes)
for row in table:
    print(row)
print("行數 =", len(table), "  共軛類數 =", len(centers))
print("sum d_i^2 =", sum(row[0] ** 2 for row in table), "= |G| =", G.order())

代表元: ['[]', '[[0, 2], [1, 3]]', '[[0, 1, 2, 3]]', '[[0, 1], [2, 3]]', '[[1, 3]]']
類大小: [1, 1, 2, 2, 2]
[1, 1, 1, 1, 1]
[1, 1, -1, -1, 1]
[1, 1, -1, 1, -1]
[1, 1, 1, -1, -1]
[2, -2, 0, 0, 0]
行數 = 5   共軛類數 = 5
sum d_i^2 = 8 = |G| = 8

輸出說明：程式會印出與上表一致的 \(D_4\) 特徵標表（行順序可能不同）。核心邏輯是：正交關係把特徵標表變成有限約束滿足問題——這正是 1980 年代群論計算（Atlas、GAP）的樸素原型。注意此版本在整數值域內搜索，已涵蓋 \(D_4\) 、 \(S_3\) 、 \(S_4\) 、 \(Q_8\) 等；含複數值（如 \(C_3\) 、 \(A_4\) 的 \(\omega\) ）的版本需把候選集換成單位根（見習題 3）。

範例 2：用 SymPy 驗證兩個正交關係（以 \(S_4\) 為例）#

\(S_4\) 有 5 個共軛類（恆等、對換、雙對換、三循環、四循環），已知特徵標表：

類大小 \(\to\) 1 6 3 8 6
代表元 \(\to\) \(e\) \((12)\) \((12)(34)\) \((123)\) \((1234)\)
\(\chi_1\) 1 1 1 1 1
\(\chi_2\) （符號） 1 \(-1\) 1 1 \(-1\)
\(\chi_3\) 2 0 2 \(-1\) 0
\(\chi_4\) 3 1 \(-1\) 0 \(-1\)
\(\chi_5\) 3 \(-1\) \(-1\) 0 1 
import sympy as sp

sizes = [1, 6, 3, 8, 6]
n = 24
table = [
    [1,  1,  1,  1,  1],
    [1, -1,  1,  1, -1],
    [2,  0,  2, -1,  0],
    [3,  1, -1,  0, -1],
    [3, -1, -1,  0,  1],
]

print("第一正交關係 (行):")
for i in range(5):
    for j in range(5):
        ip = sp.Rational(1, n) * sum(sizes[k] * table[i][k] * table[j][k] for k in range(5))
        assert ip == (1 if i == j else 0)
print("  全部通過")

print("第二正交關係 (列):")
for k in range(5):
    for l in range(5):
        s = sum(table[i][k] * table[i][l] for i in range(5))
        expect = sp.Rational(n, sizes[k]) if k == l else 0
        assert s == expect
print("  全部通過")

print("sum d_i^2 =", sum(row[0]**2 for row in table), "= 24 ?")

第一正交關係 (行):
  全部通過
第二正交關係 (列):
  全部通過
sum d_i^2 = 24 = 24 ?

輸出說明：三項檢查全部通過——第一正交關係（特徵標為正交單位向量）、第二正交關係（ \(\sum_i \chi_i(g_k)\overline{\chi_i(g_l)} = \frac{|G|}{|C_k|}\delta_{kl}\) ）、以及次數平方和。特徵標表的兩個正交性互為轉置，這是類函數空間與共軛類空間之間完美的對偶。

範例 3：Burnside \(p^a q^b\) 定理的精神——用特徵標證明群可解#

Burnside 定理的關鍵引理：若共軛類 \(C\) 的大小是素數冪 \(p^k\) ，則 \(G\) 不是單群。證明用「特徵標值是代數整數 + 整除性」：

import sympy as sp
from sympy.combinatorics.named_groups import SymmetricGroup

G = SymmetricGroup(4)
cls_list = [(sorted(c, key=lambda p: p.rank())[0], len(c)) for c in G.conjugacy_classes()]
for g, size in sorted(cls_list, key=lambda t: t[1]):
    print(f"代表元 {str(g.cyclic_form):<14} 類大小 = {size}")

代表元 []             類大小 = 1
代表元 [[0, 1], [2, 3]] 類大小 = 3
代表元 [[0, 1, 2, 3]] 類大小 = 6
代表元 [[2, 3]]       類大小 = 6
代表元 [[1, 2, 3]]    類大小 = 8

輸出說明： \(S_4\) 的類大小為 \(1, 3, 6, 8, 6\) 。Burnside 引理說：若某非中心類大小為素數冪（此處 \(3\) 與 \(8=2^3\) ），則 \(G\) 有非平凡正規子群（ \(S_4\) 的 \(A_4\) 與 Klein 四元群）。證明核心： \(\frac{|G|\chi(g)}{d\,|C_G(g)|}\) 是代數整數，搭配 \(|C| = p^k\) 可推出某特徵標在 \(g\) 上取值 \(0\) ，進而 \(\sum_g |\chi(g)|^2\) 的算術迫出正规子群的存在。這是「特徵標反哺群結構理論」的經典範例。

SymPy 要點回顧#

  • PermutationGroup.conjugacy_classes() 給出共軛類；特徵標表的列 = 共軛類。
  • 正交關係中用 sp.Rational(size, n) 而非浮點除法，保證精確性。
  • 特徵標表計算 = 約束滿足：正交關係（第一/第二）+ 次數平方和 + 代數整數條件。
  • 第二正交關係可由第一正交關係線性代數地導出：把表乘上 \(\sqrt{|C_k|/|G|}\) 後是酉矩陣，行酉 \(\iff\) 列酉。

習題#

  1. 用範例 1 的計算器算 \(Q_8\) （四元數群）的特徵標表，與 \(D_4\) 比較——兩者特徵標表相同，但群不同。這說明特徵標表的什麼局限性？
  2. 對 \(A_4\) 手工構造特徵標表（提示：類為 \(\{1\}, \{\) 雙對換 \(\}, \{\) 兩個 \(3\) -循環類 \(\}\) ；有三個一次特徵標，源自 \(V_4 \triangleleft A_4\) 的商 \(\cong C_3\) ）。
  3. 把範例 1 的候選集改成複數單位根（用 sp.exp(sp.I*sp.pi*k/m) 或 sympy.CRootOf），計算 \(C_3\) 與 \(C_4\) 的特徵標表。
  4. 證明第二正交關係（從第一正交關係 + 完備性）。
  5. 證明 Frobenius 分解：正則特徵標 \(\chi_{\text{reg}}(g) = \sum_i d_i \chi_i(g)\) （對 \(g \neq 1\) 為 \(0\) ，這如何推出每個 \(V_i\) 在正則表示中出現 \(d_i\) 次？）。
  6. （挑戰）寫程式驗證：對 \(S_4\) ， \(\chi_4 \otimes \chi_5\) 的特徵標分解成哪些不可約特徵標之和？（提示：乘積特徵標 \(\chi_i\chi_j\) 的內積 \(\langle \chi_i\chi_j, \chi_k \rangle\) 給出重數。）

下一節：對稱群 \(S_n\) 的特徵標表有一個驚人的組合封閉解——楊圖與楊表，見 6.4-對稱群的表示：楊圖與楊表；程式化工具見 6.5。