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06.4 對稱群的表示：楊圖與楊表#

學習目標#

  1. 敘述 Frobenius（1900）與 Young（1900–02）的定理： \(S_n\) 的不可約表示與 \(n\) 的分割一一對應。
  2. 掌握楊圖、楊表、標準楊表的組合定義，以及次數公式 \(f^\lambda\) 與鉤長公式。
  3. 了解 Specht 模的構造思路與 Murnaghan–Nakayama 法則（邊界情形會用即可）。
  4. 用 SymPy（sympy.combinatorics.partitions、sympy.functions.combinatorial）計算分割、鉤長與不可約表示次數。

歷史背景#

對稱群 \(S_n\) 是所有有限群的「積木供應商」——每個有限群都嵌入某個 \(S_n\) （Cayley 定理，見 2.2 節），因此 \(S_n\) 的表示論有著特殊地位。它被三條獨立的路徑同時打通，堪稱數學史上的「三重發現」：

  • Frobenius（1900）：在完成一般特徵標理論後，Frobenius 直接計算了 \(S_n\) 的特徵標，發現它們由分割 \(\lambda \vdash n\) 索引，特徵標值可由一個稱為 Frobenius 公式的行列式給出——這是他對稱函數研究的直接產物（對稱函數工具見 6.5 節）。
  • Alfred Young（1900–1902）：英國牧師兼數學家 Alfred Young 在研究不變量時，發明了「楊表」——把 \(1,\dots,n\) 填入楊圖的方格中——並用「表格單位」（tabloid）與置換作用造出不可約表示的具體模型。他的系列論文 On quantitative substitutional analysis 跨越 1900–1930 年代。
  • Issai Schur（1901）：Frobenius 的學生 Schur 在博士論文中用雙理想（two-sided ideals of \(\mathbb{C}[S_n]\) ）獨立地重建了同一理論，並證明楊表基底的對稱/反對稱性質——「Schur–Weyl 對偶」的起點，把 \(S_n\) 的表示與 \(GL_m\) 的多項式表示綁在一起，成為今日量子多體物理與機器學習張量網路的數學基礎。
  • 驅動力：這個問題的源頭是不變量理論（19 世紀末 Hilbert 的無限性定理 7.1 節 之前的計算傳統）：如何把 \(n\) 個變數的多項式按對稱性分類？答案必須經過 \(S_n\) 的表示——技術問題（多項式分類）逼出了組合表示論。
  • 現代迴響：1954 年 Robinson–Schensted 演算法、1976 年 Knuth 的應用、以及粒子物理中的置換對稱性（自旋統計），都靠楊圖的語言。楊圖可說是「對稱性的條碼」。

分割、楊圖與楊表#

定義（分割）。 \(n\) 的分割是滿足 \(\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \cdots \ge \lambda_k \ge 1\) 、 \(\sum \lambda_i = n\) 的整數列 \(\lambda = (\lambda_1, \dots, \lambda_k)\) ，記 \(\lambda \vdash n\) 。

楊圖。 分割 \(\lambda\) 對應的楊圖是第 \(i\) 行有 \(\lambda_i\) 格的左對齊方格陣。例如 \(\lambda = (3,1)\) ：

用文字表示（row-major）：第 1 行 3 格、第 2 行 1 格。共軛分割 \(\lambda'\) = 沿主對角線翻轉的圖。

楊表。 把 \(\{1, \dots, n\}\) 各填一格得楊表。若每行由左至右遞增、每列由上至下遞增，稱為標準楊表（SYT）。例如 \(\lambda = (3,1)\) 的一個標準楊表：

1 2 3
4

定理 6.4.1（Frobenius–Young）。 \(S_n\) 的不可約複表示與分割 \(\lambda \vdash n\) 一一對應； \(\lambda\) 對應的不可約表示 \(S^\lambda\) （Specht 模）的次數等於 \(\lambda\) 的標準楊表個數 \(f^\lambda\) 。

鉤長公式#

定義（鉤長）。 格子 \((i,j)\) 的鉤 = 該格本身、其右側同行格子、其下方同列格子；鉤的格數稱鉤長 \(h(i,j)\) 。

定理 6.4.2（Frame–Robinson–Thrall, 1954）。

\[ f^\lambda = \frac{n!}{\prod_{(i,j) \in \lambda} h(i,j)} . \]

例子。 \(\lambda = (3,1)\) ， \(n = 4\) ：鉤長為 \((3, 1, 1)\) 與 \((1)\) ，即

\[ f^{(3,1)} = \frac{4!}{3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1} = 3, \]

與 \(\dim S^{(3,1)} = \dim(\text{標準表示}) = n-1 = 3\) 吻合（ \(S^{(n-1,1)}\) 正是 6.1 節的標準表示）。

證明思路（枚舉法）。 反向歸納：從階乘圖（ \(\lambda = (n)\) ）開始，每次從楊圖移除一個「角格」（同時是最後一行與最後一列的格），證明 \(f^\lambda = \sum_{\mu = \lambda - \text{角格}} f^{\mu}\) （遞迴關係），再驗證鉤長公式滿足同一遞迴與初值。格點組合的細節可參考 Fulton《Young Tableaux》。

Specht 模的構造（思路）#

給定分割 \(\lambda\) ，考慮：

  1. 行安定子 \(R_\lambda\) ：保持每行內部元素集合的置換；列安定子 \(C_\lambda\) ：保持每列。
  2. 對楊表 \(t\) 定義 Young 對稱化子
\[ \mathfrak{S}_t = \sum_{\sigma \in R_\lambda} \sum_{\tau \in C_\lambda} \operatorname{sgn}(\tau)\, \sigma\tau \ \in\ \mathbb{C}[S_n]. \]
  1. Specht 模 \(S^\lambda = \mathbb{C}[S_n]\,\mathfrak{S}_t\) （由單一元素生成的左理想）。

性質： \(S^\lambda\) 是不可約表示； \(\lambda' \neq \mu'\) 時 \(S^\lambda \not\cong S^\mu\) ；且 \(\bigoplus_{\lambda \vdash n} (S^\lambda)^{\oplus f^\lambda} \cong \mathbb{C}[S_n]\) ，由 \(\sum_\lambda (f^\lambda)^2 = n!\) （與 6.2 節定理 6.2.5 一致）。對稱化子的「行對稱化 + 列反對稱化」設計，正是張量分析中對稱/反對稱張量分解的直接來源。

特徵標：Murnaghan–Nakayama 法則#

置換表示的特徵標 = 不動點數（6.1 節範例 3），但 \(S_n\) 的不可約特徵標 \(\chi^\lambda(\mu)\) 有更深刻的組合公式：

定理 6.4.3（Murnaghan–Nakayama, 1937–41）。 將置換寫成循環型 \(\mu = (\mu_1, \dots, \mu_k)\) ，則

\[ \chi^\lambda(\mu) = \sum_{T \in \mathrm{Rim}(\lambda, \mu_1)} (-1)^{\mathrm{ht}(T)}\ \chi^{\lambda \setminus T}(\mu_2, \dots, \mu_k), \]

其中 \(\mathrm{Rim}(\lambda, r)\) 跑遍 \(\lambda\) 中長度為 \(r\) 的「邊界條帶」（rim hooks）， \(T\) 為豎直時貢獻負號。

例子。 \(\chi^{(2,1)}((1,1,1)) = \dim S^{(2,1)} = 2\) （拆掉三個單格條帶，每個貢獻 \(+1\) ）； \(\chi^{(2,1)}((3)) = 0\) （ \((2,1)\) 中無長度 3 的邊界條帶——事實上 \(\chi^{(2,1)}\) 在三循環上取值 \(-1\) ，需細算兩條 rim hook 的正負抵消，見習題 2）。

SymPy 實作#

範例 1：分割與楊圖列印#

import sympy as sp
from sympy.combinatorics.partitions import Partition, IntegerPartition

n = 5
parts = [p for p in sp.utilities.iterables.partitions(n)]
parts = sorted((sorted(p, reverse=True) for p in parts), reverse=True)
print(f"{n} 的分割數 = {len(parts)}")

def young_diagram(lam):
    return "\n".join("■ " * k for k in lam)

for lam in parts:
    print(lam, " =>")
    print(young_diagram(lam))

輸出說明：sp.utilities.iterables.partitions(5) 列出 \(p(5) = 7\) 個分割；每個分割印出對應楊圖。分割個數 \(p(n)\) 的增長（ \(p(10) = 42\) 、 \(p(20) = 627\) 、 \(p(100) \approx 1.9 \times 10^8\) ，由 Hardy–Ramanujan 漸近公式給出）說明 \(S_n\) 不可約表示個數隨 \(n\) 爆炸式增長——這正是分類它們需要組合工具的原因。

範例 2：鉤長公式計算器#

import sympy as sp
from math import factorial

def hook_lengths(lam):
    k = len(lam)
    hl = []
    for i in range(k):
        row = []
        for j in range(lam[i]):
            below = sum(1 for i2 in range(i + 1, k) if lam[i2] > j)
            row.append(lam[i] - j + below)   # 右側格數 + 下方格數 + 本身
        hl.append(row)
    return hl

def f_lambda(lam):
    n = sum(lam)
    hl = hook_lengths(lam)
    denom = sp.prod(sp.Integer(h) for row in hl for h in row)
    return sp.Integer(factorial(n)) // denom

for lam in [(3,1), (2,2), (3,2), (4,1), (2,1,1)]:
    print(lam, "鉤長 =", hook_lengths(lam), " f^λ =", f_lambda(lam))

# 驗證 sum (f^λ)^2 = n!
lam5 = [(5,), (4,1), (3,2), (3,1,1), (2,2,1), (2,1,1,1), (1,1,1,1,1)]
print("sum f^2 =", sum(f_lambda(l)**2 for l in lam5), " 5! =", factorial(5))

輸出說明： \(f^{(3,1)} = 3\) 、 \(f^{(2,2)} = 2\) 、 \(f^{(3,2)} = 5\) 、 \(f^{(4,1)} = 4\) 、 \(f^{(2,1,1)} = 3\) ；最後一行驗證 \(\sum_\lambda (f^\lambda)^2 = 5! = 120\) ——楊圖版本的「次數平方和公式」（6.3 節定理 6.3.3 的 \(S_n\) 特化）。

範例 3：用 SymPy 驗證 \(S_3\) 的特徵標表對應楊圖#

import sympy as sp
from sympy.combinatorics.named_groups import SymmetricGroup

G = SymmetricGroup(3)

# S_3 的三個分割與特徵標:
# (1,1,1): 平凡 ; (3): 符號 ; (2,1): 標準
def chi(lam, g):
    if lam == [1,1,1]:
        return 1
    if lam == [3]:
        return 1 if g.is_even else -1
    if lam == [2,1]:
        fix = sum(1 for i in range(3) if g(i) == i)  # 置換矩陣跡
        return fix - 1                                # 減去平凡分支

# 驗證正交
elems = list(G.elements)
for lam1 in [[1,1,1],[3],[2,1]]:
    for lam2 in [[1,1,1],[3],[2,1]]:
        ip = sp.Rational(1, 6) * sum(sp.conjugate(chi(lam1,g))*chi(lam2,g) for g in elems)
        print(lam1, lam2, "->", ip)

輸出說明：內積矩陣為單位矩陣。三個分割 \((1,1,1), (3), (2,1)\) （即楊圖一列、一列反序、鉤形）恰對應 6.1 節表格中的三個不可約特徵標：平凡、符號、標準——分割與特徵標的對應在此完全具體化。

範例 4：Robinson–Schensted 的次數一致性（挑戰延伸）#

RSK 對應把每個置換對應到一對標準楊表，且 \(\sum_\lambda (f^\lambda)^2 = n!\) 保證了計數吻合。用範例 2 的 f_lambda 對 \(n = 6\) 驗證：

from math import factorial
lam6 = list({tuple(sorted(p, reverse=True)) for p in sp.utilities.iterables.partitions(6)})
lam6 = sorted(lam6, reverse=True)
print("分割數:", len(lam6))
print("sum (f^λ)^2 =", sum(f_lambda(list(l))**2 for l in lam6), " 6! =", factorial(6))

輸出：分割數 11，平方和 \(720 = 6!\) 。這個恆等式是 RSK 雙射性的代數影子。

SymPy 要點回顧#

  • sp.utilities.iterables.partitions(n) 枚舉分割；sympy.combinatorics.partitions.IntegerPartition 提供分割物件操作。
  • 鉤長 = （右側格數）+（下方格數）+ 1，兩個迴圈即可；sp.prod 做精確連乘。
  • 次數公式 \(f^\lambda = n! / \prod h\) 與平方和恆等式 \(\sum (f^\lambda)^2 = n!\) 是程式驗證表示論的最佳測試。
  • 置換表示特徵標 = 不動點數：sum(1 for i in range(n) if g(i) == i)，減去平凡分支得標準表示。

習題#

  1. 畫出 \(\lambda = (4,2,1)\) 的楊圖，計算全部鉤長，並用鉤長公式求 \(f^{(4,2,1)}\) （答案：35）。
  2. 用 Murnaghan–Nayakama 法則手算 \(\chi^{(2,1)}((3))\) （提示：兩條長度 3 的 rim hook，一水平一豎直，貢獻 \(+1\) 與 \(-1\) ？核對 6.1 節表中三循環處的 \(-1\) ）。
  3. 證明： \(S^\lambda\) 的對偶（共軛）表示是 \(S^{\lambda'} \otimes \operatorname{sgn}\) ，並推論 \(\chi^\lambda(\text{奇置換})\) 與 \(\chi^{\lambda'}\) 的關係。
  4. 寫出 \(S_4\) 的 5 個分割，用鉤長公式算 \(f^\lambda\) ，核對總和 \(\sum (f^\lambda)^2 = 24\) ，並與 6.3 節 \(S_4\) 特徵標表的第一列比對。
  5. 證明 \((n-1,1)\) 的標準楊表恰有 \(n-1\) 個（提示：1 必須在第一行第 1 格或第 2 格？其實 1 必在 \((1,1)\) ，然後 \(n\) 的位置決定一切）。
  6. （挑戰）實作 Murnaghan–Nakayama 的 rim hook 枚舉（從楊圖外緣剝離長度 \(r\) 的連通、無 \(2 \times 2\) 的條帶），對 \(S_4\) 的全部 \(\chi^\lambda(\mu)\) 建表，與範例比對。

下一節：楊圖特徵標的「母函數」正是對稱函數——Schur 函數。用 SymPy 的對稱多項式工具直接操作它們，見 6.5-用SymPy操作特徵標與對稱函數。