附錄A：SymPy 速查表#

標題#

本附錄彙整本書使用的 SymPy 代數 API。約定：

import sympy as sp
x, y, z = sp.symbols('x y z')

多項式：Poly 與其方法（第 1、3 章）#

API	說明	範例
`sp.Poly(expr, x)`	建立多項式物件	`p = sp.Poly(x*3 - 2x + 1, x)`
`p.all_coeffs()`	由高次到低次的係數表	`p.all_coeffs()` → `[1, 0, -2, 1]`
`p.degree()`	次數	`p.degree()` → `3`
`p.coeffs()`	非零係數	`sp.Poly(x**2 - 3, x).coeffs()`
`p.is_irreducible`	在係數體上是否不可約	`sp.Poly(x**2 + 1, x).is_irreducible` → `True`
`p.roots()`	求根（回傳 dict）	`sp.Poly(x**2 - 1, x).roots()`
`p.div(q)`	帶餘除法，回傳 (商, 餘)	`sp.Poly(x**2, x).div(x + 1)`
`p.gcd(q)`、`p.lcm(q)`	最大公因式、最小公倍式	`sp.Poly(x**2 - 1, x).gcd(x + 1)`
`p.subs(a)`	求值 $p(a)$	`p.subs(2)`
`p.set_domain('GF(p)')`	改換係數域	見下文 GF

因式分解與求根（第 1、3 章）#

API	說明	範例
`sp.factor(expr)`	因式分解（預設在 $\mathbb{Q}$ 上）	`sp.factor(x*2 - 5x + 6)` → `(x - 2)*(x - 3)`
`sp.factor(expr, modulus=p)`	在 $\mathbb{Z}_p$ 上分解	`sp.factor(x2 + 1, modulus=2)` → `(x + 1)2`
`sp.factor(expr, extension=sp.sqrt(2))`	在擴張體上分解	`sp.factor(x**2 - 2, extension=sp.sqrt(2))`
`sp.expand(expr)`	展開合併同類項	`sp.expand((x+1)**2)`
`sp.solve(eq, x)`	解方程（`eq` 視為 $= 0$ ）	`sp.solve(x*2 - 5x + 6, x)` → `[2, 3]`
`sp.roots(f, x)`	根與重數的字典	`sp.roots(x**3 - 1, x)`
`sp.solve([f1, f2], [x, y])`	解聯立方程	`sp.solve([x + y - 2, x - y], [x, y])`
`sp.checksol(eq, {x: val})`	驗證解是否滿足方程	`sp.checksol(x**2 - 4, {x: 2})` → `True`
`sp.nroots(f, n=15)`	數值求根	`sp.nroots(x**5 - x + 1, n=15)`

有限體 GF 與多項式環（第 3、4 章）#

API	說明	範例
`sp.GF(p)`	係數模 $p$ 的域	`sp.Poly(x**2 + 1, x, domain=sp.GF(3))`
`domain=sp.GF(p, symmetric=False)`	餘數取 $0,\dots,p-1$	`sp.Poly(x + 4, x, domain=sp.GF(3, symmetric=False))`
`sp.Poly(f, x, modulus=p)`	等價寫法	`sp.Poly(x**2 + x + 1, x, modulus=2)`
`p.factor_list()`	分解為 (領導係數, 因式串列)	`sp.Poly(x**3 + 1, x, modulus=2).factor_list()`
`sp.primitive_element(gens)`	求本原元素（擴張體構造）	見 4.7 節分圓體
`sp.mod_inverse(a, p)`	模反元素（ $p$ 質數即乘法逆）	`sp.mod_inverse(3, 7)` → `5`
`sp.is_primitive_root(a, p)`	是否為模 $p$ 的本原根	`sp.is_primitive_root(3, 7)` → `True`

# 有限體上的不可約性與分解
p = sp.Poly(x**3 + x + 1, x, domain=sp.GF(2))
p.is_irreducible          # True

極小多項式與代數數（第 3、4 章）#

API	說明	範例
`sp.minimal_polynomial(a, x)`	代數數 $\alpha$ 的極小多項式	`sp.minimal_polynomial(sp.sqrt(2), x)` → `x**2 - 2`
`sp.minimal_polynomial(a, x, domain=sp.QQ)`	指定基礎體	同上
`sp.minpoly`	同義別名	`sp.minpoly(sp.sqrt(2)+sp.sqrt(3), x)` → `x*4 - 10x**2 + 1`
乘法表矩陣	SymPy 1.14 未提供內建函式，須以 `sp.Matrix` 配合 `sp.to_number_field` 自建	進階用法
`sp.to_number_field(a, b)`	把 $\alpha$ 表為 $\mathbb{Q}(\beta)$ 中的元素	見 4.2 節塔式定理
`sp.is_algebraic_integer(a)`	是否為代數整數	`sp.is_algebraic_integer(sp.sqrt(2))` → `True`
`sp.totient(n)`	Euler $\varphi$ 函數（分圓多項式次數）	`sp.totient(5)` → `4`
`sp.cyclotomic_poly(n, x)`	分圓多項式 $\Phi_n$	`sp.cyclotomic_poly(5, x)` → `x4 + x3 + x**2 + x + 1`

Galois 群（第 4 章）#

API	說明	範例
`sp.polys.numberfields.galois_group(f, x)`	求多項式（次數 $\le 6$ ）的 Galois 群	回傳一對 `(G, alt)` ， `alt` 為是否包含於 $A_n$
`sp.Poly(f, x).galois_group()`	等價的物件方法	同上
`G.order()`	群的階	範例見下

from sympy.polys.numberfields import galois_group
f = x**3 - x - 1
G, alt = galois_group(f, x)
print(G.order())   # 6，此三次式的 Galois 群是 S_3
print(alt)         # False：S_3 不包含於 A_3

群論：sympy.combinatorics（第 2、4、6 章）#

下表的 sp.combinatorics.* 需先 import sympy.combinatorics ，或直接 from sympy.combinatorics import Permutation, PermutationGroup 。

API	說明	範例
`sp.combinatorics.Permutation`	置換物件	`Permutation(0 1 2)(3 4)`
`Permutation(list)`	用像序列建構	`Permutation([1, 2, 0])` 即 $(0\,1\,2)$
`s.cycle_structure()`	循環類型	`Permutation(0 1 2).cycle_structure()`
`sp.combinatorics.PermutationGroup`	置換群	`PermutationGroup(Permutation(0 1), Permutation(1 2))` 即 $S_3$
`G.order()`	群的階（拉格朗日定理的計算基礎）	`G.order()`
`G.elements`	全部元素	遍歷用
`G.subgroup(gens)`	生成子群	`G.subgroup([g1, g2])`
`G.coset_transversal(H)`	左陪集代表系	驗證 $
`G.orbits()`	群作用的軌道（Burnside 引理）	見 2.7 節
`G.normal_closure(gens)`	正規閉包	Galois 理論中找正規子群
`G.is_solvable`	是否可解群	五次方程不可解性的驗證
`G.derived_subgroup()`	交換子群 $[G, G]$	可解性的塔式檢驗

內建群建構器（皆由 sympy.combinatorics.named_groups 匯入，回傳 PermutationGroup 物件）：

API	群
`CyclicGroup(n)`	循環群 $C_n$
`DihedralGroup(n)`	二面體群 $D_n$ （階 $2n$ ）
`SymmetricGroup(n)`	對稱群 $S_n$
`AlternatingGroup(n)`	交代群 $A_n$
`RubikGroup(n)`	魔方群（有趣的例子， `RubikGroup(2)` 為 $3\times3\times3$ 魔方，階 $3674160$ ）

from sympy.combinatorics.named_groups import CyclicGroup
C3 = CyclicGroup(3)
[C3.order(), C3.is_abelian]   # [3, True]

矩陣與線性代數（第 5 章）#

API	說明	範例
`sp.Matrix([[1,2],[3,4]])`	建立矩陣	—
`A.det()`	行列式	—
`A.inv()`	逆矩陣	—
`A.rank()`、`A.rref()`	秩、簡化列階梯形	解線性方程組
`A.eigenvals()`	特徵值與重數	`A.eigenvals()` → `{2: 1, -1: 1}`
`A.eigenvects()`	特徵值與特徵向量	—
`A.charpoly(x)`	特徵多項式（Cayley–Hamilton）	`A.charpoly(x).as_expr()`
`A.minimal_polynomial(x)`	最小多項式（Frobenius 理論）	`A.minimal_polynomial().as_expr()`
`A.jordan_cells()`	Jordan 標準形的對角區塊	回傳 `(P, 區塊串列)` ，其中 $A = P\,\mathrm{diag}(\text{區塊})\,P^{-1}$
`A.jordan_form()`	同上（新版名稱）	回傳 `(P, J)` 使 $A = P J P^{-1}$
`A.diagonalize()`	可對角化時回傳 `(P, D)`	—
`sp.linsolve((A, b), xs)`	解 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$	無解回傳 `EmptySet`
`A.nullspace()`、`A.columnspace()`	核空間、行空間基底	求同態的核與像

A = sp.Matrix([[0, -1], [1, 0]])
P, cells = A.jordan_cells()
cells              # [Matrix([[-I]]), Matrix([[I]])]: 兩個 1×1 的 Jordan 區塊
P2, J = A.jordan_form()
J                  # Matrix([[-I, 0], [0, I]]): 拼裝後的 Jordan 矩陣

整數矩陣的不變量（第 5.6 節：主理想環上的模）#

API	說明	範例
`sp.matrices.normalforms.smith_normal_form(m)`	整數矩陣的 Smith 標準形	有限交換群分解
`sp.matrices.normalforms.invariant_factors(m)`	不變量因子	直接給 $\mathbb{Z}^n/\langle A \rangle$ 的結構

from sympy.matrices.normalforms import smith_normal_form, invariant_factors
A = sp.Matrix([[2, 0], [0, 3]])
smith_normal_form(A)      # diag(1, 6)
invariant_factors(A)      # (1, 6)：Z^2/<A> ≅ Z/6Z

有限交換群分類定理即由 Smith 標準形讀出： $\mathbb{Z}^n / A\mathbb{Z}^n \cong \bigoplus_i \mathbb{Z}/d_i\mathbb{Z}$ 。

Groebner 基與交換代數（第 7 章）#

API	說明	範例
`sp.groebner(F, *gens, order='lex')`	計算 Groebner 基	回傳 `GroebnerBasis`
`G.contains(f)`	$f \in \langle F \rangle$ ？ $f$ 須為 SymPy 物件（如 `sp.Integer(1)` ）	理想成員問題
`G.reduce(f)`	以 $G$ 除 $f$ ，回傳 (商組, 餘式)	餘式為 0 ⟺ 成員
`G.polys`	Groebner 基的多項式串列（ `Poly` 形式）	檢視結果
`G.exprs`	Groebner 基的多項式（ `Expr` 形式）	餵給 `solve_poly_system`
`G.gens`	基底生成元	`solve_poly_system` 的變數清單
`G.is_zero_dimensional`	是否零維（有限個解）	判斷可否窮舉解
`sp.solve_poly_system([f1, f2], x, y)`	解多項式聯立方程	底層用 Groebner 基
`sp.symmetrize(f, [x, y], formal=True)`	對稱多項式表為基本對稱式	不變量環的生成元

G = sp.groebner([x**2 - y, x*y - 1], x, y, order='lex')
[G.polys, sp.solve_poly_system(list(G.exprs), *G.gens)]   # 基與聯立解（3 組複數解）

特徵標與對稱函數（第 6 章）#

API	說明	範例
`sp.combinatorics.Partition`	整數分割（楊圖）	`Partition([3, 1])`
`sp.functions.combinatorial.numbers.partition(n)`	分割數 $p(n)$	`partition(4)` → `5`
`sympy.utilities.iterables.partitions`、`sympy.polys.polytools.symmetric_poly`	對稱函數基底（ $s_\lambda$ 等）	`S = sp.symmetrize` 進階見 6.5 節

數論小工具（全書通用）#

API	說明	範例
`sp.Rational(a, b)`	精確有理數	`sp.Rational(3, 4)`
`sp.prime(n)`、`sp.isprime(n)`	質數表、質數判斷	`sp.isprime(7)` → `True`
`sp.factorint(n)`	質因數分解	`sp.factorint(60)` → `{2: 2, 3: 1, 5: 1}`
`sp.divisor_count(n)`	約數個數	—
`sp.bernoulli(n)`	Bernoulli 數（正則質數檢驗）	`sp.bernoulli(10)`
`sp.sqrt(2)`、`sp.I`、`sp.E`	常用常數	—

mermaid：API 與章節對應總覽#

graph TD
    Q[SymPy 速查表] --> P1[Poly / factor / solve]
    Q --> P2[GF / minimal_polynomial]
    Q --> P3[combinatorics 群論]
    Q --> P4[Matrix / Jordan / Smith]
    Q --> P5[groebner / solve_poly_system]
    P1 --> C1[第1、3章]
    P2 --> C2[第3、4章]
    P3 --> C3[第2、4、6章]
    P4 --> C4[第5章]
    P5 --> C5[第7章]

常見陷阱#

浮點誤差：一律用 sp.Rational 或整數，不要用 0.5 這類浮點字面值，否則 factor、solve 的精確性失效。
solve vs Poly.roots：solve 回傳串列（可能有重複根的表達式），roots 回傳「根: 重數」字典。
groebner 的 order：lex 適合消元求解，grevlex 通常計算最快。
jordan_cells 回傳順序：先 $P$ 後 $J$ ，且 $A = P J P^{-1}$ （不同教材約定可能相反）。
GF 域：sp.GF(p) 只支援 $p$ 質數； $\mathbb{Z}_n$ （ $n$ 合數）請用 sp.Mod 自行處理，或意識到那不是體。

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API	說明	範例
`sp.factor(expr)`	因式分解（預設在 \(\mathbb{Q}\) 上）	`sp.factor(x*2 - 5x + 6)` → `(x - 2)*(x - 3)`
`sp.factor(expr, modulus=p)`	在 \(\mathbb{Z}_p\) 上分解	`sp.factor(x2 + 1, modulus=2)` → `(x + 1)2`
`sp.factor(expr, extension=sp.sqrt(2))`	在擴張體上分解	`sp.factor(x**2 - 2, extension=sp.sqrt(2))`
`sp.expand(expr)`	展開合併同類項	`sp.expand((x+1)**2)`
`sp.solve(eq, x)`	解方程（`eq` 視為 \(= 0\) ）	`sp.solve(x*2 - 5x + 6, x)` → `[2, 3]`
`sp.roots(f, x)`	根與重數的字典	`sp.roots(x**3 - 1, x)`
`sp.solve([f1, f2], [x, y])`	解聯立方程	`sp.solve([x + y - 2, x - y], [x, y])`
`sp.checksol(eq, {x: val})`	驗證解是否滿足方程	`sp.checksol(x**2 - 4, {x: 2})` → `True`
`sp.nroots(f, n=15)`	數值求根	`sp.nroots(x**5 - x + 1, n=15)`

API	說明	範例
`sp.GF(p)`	係數模 \(p\) 的域	`sp.Poly(x**2 + 1, x, domain=sp.GF(3))`
`domain=sp.GF(p, symmetric=False)`	餘數取 \(0,\dots,p-1\)	`sp.Poly(x + 4, x, domain=sp.GF(3, symmetric=False))`
`sp.Poly(f, x, modulus=p)`	等價寫法	`sp.Poly(x**2 + x + 1, x, modulus=2)`
`p.factor_list()`	分解為 (領導係數, 因式串列)	`sp.Poly(x**3 + 1, x, modulus=2).factor_list()`
`sp.primitive_element(gens)`	求本原元素（擴張體構造）	見 4.7 節分圓體
`sp.mod_inverse(a, p)`	模反元素（ \(p\) 質數即乘法逆）	`sp.mod_inverse(3, 7)` → `5`
`sp.is_primitive_root(a, p)`	是否為模 \(p\) 的本原根	`sp.is_primitive_root(3, 7)` → `True`

API	說明	範例
`sp.minimal_polynomial(a, x)`	代數數 \(\alpha\) 的極小多項式	`sp.minimal_polynomial(sp.sqrt(2), x)` → `x**2 - 2`
`sp.minimal_polynomial(a, x, domain=sp.QQ)`	指定基礎體	同上
`sp.minpoly`	同義別名	`sp.minpoly(sp.sqrt(2)+sp.sqrt(3), x)` → `x*4 - 10x**2 + 1`
乘法表矩陣	SymPy 1.14 未提供內建函式，須以 `sp.Matrix` 配合 `sp.to_number_field` 自建	進階用法
`sp.to_number_field(a, b)`	把 \(\alpha\) 表為 \(\mathbb{Q}(\beta)\) 中的元素	見 4.2 節塔式定理
`sp.is_algebraic_integer(a)`	是否為代數整數	`sp.is_algebraic_integer(sp.sqrt(2))` → `True`
`sp.totient(n)`	Euler \(\varphi\) 函數（分圓多項式次數）	`sp.totient(5)` → `4`
`sp.cyclotomic_poly(n, x)`	分圓多項式 \(\Phi_n\)	`sp.cyclotomic_poly(5, x)` → `x4 + x3 + x**2 + x + 1`

API	說明	範例
`sp.polys.numberfields.galois_group(f, x)`	求多項式（次數 \(\le 6\) ）的 Galois 群	回傳一對 `(G, alt)` ， `alt` 為是否包含於 \(A_n\)
`sp.Poly(f, x).galois_group()`	等價的物件方法	同上
`G.order()`	群的階	範例見下

API	群
`CyclicGroup(n)`	循環群 \(C_n\)
`DihedralGroup(n)`	二面體群 \(D_n\) （階 \(2n\) ）
`SymmetricGroup(n)`	對稱群 \(S_n\)
`AlternatingGroup(n)`	交代群 \(A_n\)
`RubikGroup(n)`	魔方群（有趣的例子， `RubikGroup(2)` 為 \(3\times3\times3\) 魔方，階 \(3674160\) ）