附錄B：群論常用群一覽#

標題#

本附錄彙整全書出現的常用群：階數、定義、重要性質與 SymPy 建構方式。以下 SymPy 建構均假定已執行：

import sympy as sp
from sympy.combinatorics import Permutation, PermutationGroup
from sympy.combinatorics.named_groups import (CyclicGroup, DihedralGroup,
                                              SymmetricGroup, AlternatingGroup)

總覽表#

上表的 CyclicGroup、DihedralGroup、SymmetricGroup、AlternatingGroup 皆是 sympy.combinatorics.named_groups 提供的類別，建構後即為 PermutationGroup 物件。

各群細節#

循環群 \(C_n\)#

• 定義： \(\langle g \mid g^n = 1 \rangle\) ；同構於 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 。
• 性質：交換；唯一性質：每個子群皆為循環且階整除 \(n\) （拉格朗日定理的最乾淨例子）； \(n\) 為質數時是單群。
• 與方程的關聯： \(n\) 次單位根 \(\{1, \zeta, \dots, \zeta^{n-1}\}\) 在乘法下構成 \(C_n\) （第 4 章分圓體）。

C4 = CyclicGroup(4)
[C4.order(), C4.is_abelian]   # [4, True]

二面體群 \(D_n\)#

• 定義：正 \(n\) 邊形的對稱群， \(D_n = \langle r, s \mid r^n = s^2 = 1,\ srs = r^{-1} \rangle\) ，階 \(2n\) 。
• 性質：非交換（ \(n \ge 3\) ）； \(C_n\) 是其指數 \(2\) 的正規子群； \(n = 3\) 時 \(D_3 \cong S_3\) 。
• SymPy 的置換表示取 \(r = (0\,1\,2\,\dots\,n-1)\) 、 \(s = (0\,n-1)(1\,n-2)\cdots\) 。

D3 = DihedralGroup(3)
D3.order()        # 6
D3.is_abelian     # False

對稱群 \(S_n\) 與交代群 \(A_n\)#

• \(S_n\) ：全體置換，階 \(n!\) ；置換的循環類型決定共軛類（拉格朗日、第 2 章根的置換）。
• \(A_n\) ：偶置換，階 \(n!/2\) ，指數 \(2\) 的正規子群。
• 關鍵事實： \(n \ge 5\) 時 \(A_n\) 是單群——這是五次方程無根式解的群論根源（第 4 章）。

S4 = SymmetricGroup(4)
A4 = AlternatingGroup(4)
[S4.order(), A4.order(), A4.is_normal(S4)]   # [24, 12, True]

四元數群 \(Q_8\)#

• 定義： \(\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}\) ，乘法 \(i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1\) ，階 \(8\) 。
• 性質：非交換；每個子群都正規（Hamilton 群的雛形）；無法嵌入 \(S_3\) 等小置換群，常用 \(4\times 4\) 複矩陣或 \(S_8\) 中的置換嵌入表示。

i, j = sp.I, sp.symbols('j')
# 用矩陣實現：i ↦ diag(i,-i), j ↦ [[0,1],[-1,0]]
I1 = sp.Matrix([[sp.I, 0], [0, -sp.I]])
J1 = sp.Matrix([[0, 1], [-1, 0]])
I1**2, J1**2, I1*J1   # 分別為 -I₂、-I₂、K = [[i,0],[0,-i]] 的負矩陣型元素

Klein 四元群 \(V_4\)#

• 定義： \(C_2 \times C_2\) ，四個元素皆為 \(2\) 階。
• 性質：最小非循環群； \(A_4\) 的正規子群；特徵標群 \(\widehat{V_4} \cong V_4\) （第 6 章習題）。

from sympy.combinatorics import PermutationGroup
V4 = PermutationGroup(Permutation(0, 1)(2, 3), Permutation(0, 2)(1, 3))
V4.order()   # 4

矩陣群 \(GL(n, q)\) 與 \(SL(n, q)\)#

• \(GL(n, q)\) ： \(\mathbb{F}_q\) 上可逆 \(n \times n\) 矩陣，階 \(|GL(n,q)| = (q^n - 1)(q^n - q)\cdots(q^n - q^{n-1})\) 。
• \(SL(n, q)\) ：行列式為 \(1\) ； \(PSL(2, 7)\) （階 \(168\) ）是著名的最小非交錯單群之一。
• 有限體 \(\mathbb{F}_q\) （ \(q = p^n\) ）可用 \(\mathbb{Z}_p\) 上的不可約多項式構造（3.7、4.7 節）。

def GL2_q(q):
    elements = []
    for a in range(q):
        for b in range(q):
            for c in range(q):
                for d in range(q):
                    det = (a*d - b*c) % q
                    if det != 0:
                        elements.append(sp.Matrix([[a, b], [c, d]]))
    return elements

len(GL2_q(2))   # 6：GL(2,2) ≅ S_3

有限體加法群與乘法群#

• \((\mathbb{F}_q, +)\) ： \(q\) 階交換群； \(q = p^n\) 時 \(\cong C_p^n\) 。
• \((\mathbb{F}_q^\times, \cdot)\) ： \(q-1\) 階循環群（有限體乘法群必循環），生成元即本原根。

sp.is_primitive_root(3, 7)       # True，3 生成 F_7^×
[sp.Mod(3**k, 7) for k in range(1, 7)]   # 3, 2, 6, 4, 5, 1 —— 遍歷所有非零元

模 \(n\) 乘法群 \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)#

• 階 \(\varphi(n)\) ；交換；循環 ⟺ \(n = 1, 2, 4, p^k, 2p^k\) 。
• RSA 密碼學的數學基礎（ \(e\) 與 \(\varphi(n)\) 互質保證可逆）。

sp.totient(12)                    # 4
sorted(k for k in range(1, 12) if sp.gcd(k, 12) == 1)   # [1, 5, 7, 11]

群的包含關係與 Galois 對應視角#

graph TD
    S4["S₄ (24)"] --> A4["A₄ (12)"]
    S4 --> D4["D₄ (8)"]
    A4 --> V4["V₄ (4)"]
    D4 --> C4["C₄ (4)"]
    V4 --> C2["C₂ (2)"]
    C4 --> C2

Galois 對應（4.5 節）把「子群鏈」與「中間體鏈」反轉對應： \(S_4 \supset A_4 \supset V_4 \supset C_2 \supset \{1\}\) 對應四次方程的四層根式塔。上圖的反轉即體的塔式結構示意。

如何在 SymPy 中驗證群的性質#

階數與結構速查（小群）#

有限交換群的分類（2.5、5.6 節）由不變量因子給出：

from sympy.matrices.normalforms import invariant_factors
invariant_factors(sp.Matrix([[2, 0], [0, 6]]))   # (2, 6) → Z/2 × Z/6

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