附錄C：習題解答提示#
標題#
本附錄為第 1–9 章習題提供提示與部分 SymPy 驗證代碼。建議先自行完成，再回來對照。約定：
import sympy as sp
x, y = sp.symbols('x y')
第 1 章：代數的起源#
1.1 節（巴比倫與二次方程）#
習題 1（ \(x^2 - x = 870\) ）：配方得 \((x - \tfrac12)^2 = 870 + \tfrac14\) ，開方得 \(x = \tfrac12 + \sqrt{870 + \tfrac14} = 30\) 。
sp.solve(x**2 - x - 870, x) # [-29, 30]
習題 2：sp.solve(2*x**2 - 7*x + 3, x) 得 \([\tfrac12, 3]\) ；驗證 \(r_1 + r_2 = \tfrac72 = -\tfrac{b}{a}\) 、 \(r_1 r_2 = \tfrac32 = \tfrac{c}{a}\) ：
roots = sp.solve(2*x**2 - 7*x + 3, x)
[sp.simplify(sum(roots) - sp.Rational(7, 2)), sp.simplify(roots[0]*roots[1] - sp.Rational(3, 2))] # [0, 0]
習題 3（枚舉有理根）： \(\Delta = p^2 - 4q\) 為完全平方數時有理根。雙層迴圈：
[(p, q) for p in range(-5, 6) for q in range(-5, 6)
if sp.sqrt(p**2 - 4*q).is_rational and p**2 - 4*q >= 0]
習題 4：sp.factor(x**2 - 5*x + 6) → \((x-2)(x-3)\) ；分解式的根恰是 solve 的根——分解與求根在 \(\mathbb{Q}\) 上等價（3.4 節主題）。
習題 5（試位法）：假設 \(x_0\) ，算 \(f(x_0) = x_0 + \tfrac{x_0}{4}\) ，乘以修正比例 \(\tfrac{15}{f(x_0)}\) 。一次函數是齊次的（過原點），比例修正在一個步驟內精確；二次函數非齊次，比例修正後仍有誤差，故失效。
習題 6：由 \(x - y = 2\) 得 \(x = y + 2\) ，代入 \(xy = 600\) 得 \(y^2 + 2y - 600 = 0\) ：
sp.solve([x*y - 600, x - y - 2], [x, y]) # [{x: 26, y: 24}, {x: -24, y: -26}]
1.2 節（花拉子米六型）#
習題 1：對消得 \(x^2 + x = 4\) ，屬於「平方加根等於數」（4 型）；sp.solve(x**2 + x - 4, x) 驗證。
習題 2： \(x^2 + 21 = 10x\) 屬於「平方加數等於根」（5 型），口訣 \(x = \tfrac{10}{2} \pm \sqrt{25 - 21}\) ：
sol = sp.solve(x**2 + 21 - 10*x, x) # [3, 7]
sp.checksol(x**2 + 21 - 10*x, {x: 3}), sp.checksol(x**2 + 21 - 10*x, {x: 7}) # (True, True)
習題 3：classify(a, b, c) 依 \(a, b, c\) 正負零分派到六型；用 itertools.product([-1, 0, 1], repeat=3) 窮舉 \(a \ne 0\) 的 18 種情形，每種回傳型號非空即覆蓋。
習題 4：sp.expand((x + 5)**2) - (x**2 + 10*x + 25) 為 \(0\) ；大正方形 \(39 + 25 = 64 = 8^2\) ，即 \(x + 5 = 8\) 、 \(x = 3\) 。
習題 5：花拉子米不接受零係數，且「除以 \(x\) 」會丟失 \(x = 0\) 解：sp.solve(x**2 - 3*x, x) 回傳 \([0, 3]\) ——現代符號計算保留全部根。
習題 6（挑戰）：對 8 種符號組合寫窮舉腳本，每種經「把負項移到對邊（還原）＋合併同類項（對消）」後必化為六型之一；關鍵是證明化簡後至多兩類項。
第 2 章：群論#
2.1 節（拉格朗日與根的置換）#
習題 1：展開 \((r_1 + \omega r_2 + \omega^2 r_3)^3\) ，用 \(\omega^3 = 1\) 、 \(1 + \omega + \omega^2 = 0\) 與韋達關係化為 \(-27q\) ：
r1, r2, r3, p, q = sp.symbols('r1 r2 r3 p q')
w = sp.exp(2*sp.I*sp.pi/3)
expr = (r1 + w*r2 + w**2*r3)**3 + (r1 + w**2*r2 + w*r3)**3
# 代入 r1+r2+r3=0、r1r2+r2r3+r1r3=p、r1r2r3=-q 後 sp.expand(expr) → -27*q
實作技巧：以 \(r_3 = -(r_1 + r_2)\) 、 \(r_1 r_2 = -q/r_3\) 逐步代入，或用 sp.symmetrize。
習題 2：取一具體四次式（如 \(x^4 - 2\) ）的數值根，枚舉 \(\psi = (r_1+r_2)(r_3+r_4)\) 的 6 個值，用 sp.minimal_polynomial 或直接解出的根乘積核對其滿足一個三次方程。
習題 3：固定 \(\varphi\) 的置換 \(H\) ：恆等置換固定一切； \(\sigma\varphi = \varphi\) 蘊含 \(\sigma^{-1}\varphi = \varphi\) （左乘 \(\sigma^{-1}\) ）； \(\sigma\varphi = \tau\varphi = \varphi\) 蘊含 \((\sigma\tau)\varphi = \varphi\) 。三條即子群公理。
習題 4： \(\theta = r_1 r_2 + r_3 r_4\) 在 \(S_4\) 下的像有 \(3\) 個（ \(\{12|34, 13|24, 14|23\}\) 配對），因為分組無序：
from sympy.combinatorics.named_groups import SymmetricGroup
S4 = SymmetricGroup(4)
r = list(sp.symbols('r1 r2 r3 r4'))
imgs = set()
for g in S4.elements:
t = [0]*4
for k in range(4):
t[g(k)] = r[k]
imgs.add((t[0]*t[1] + t[2]*t[3]))
len(imgs) # 3
習題 5： \(S_5\) 的子群階必整除 \(120\) ； \(A_5\) 單且其真子群階最大為 \(12\) （可由共軛類計數論證），故不存在階 \(60\) 或 \(40\) 的其他子群——拉格朗日的「降次」策略在五次失效。
習題 6：仿習題 4 的程式碼，把 \(\varphi = r_1^2 r_2 + r_2^2 r_3 + r_3^2 r_1\) 換入，數出像集合大小（提示：不是 \(6\) ，這個函數的不對稱性更強）。
第 3 章：環、體與多項式#
3.1 節（環論的誕生）#
習題 1： \(\mathbb{Z}_7\) 每個非零元有乘法逆（sp.mod_inverse(a, 7) 全部成功）； \(\mathbb{Z}_6\) 中 \(2 \cdot 3 = 0\) ——零因子即 \(2, 3\) ：
[sp.mod_inverse(a, 7) for a in range(1, 7)] # 全部存在
[(a, b) for a in range(1, 6) for b in range(1, 6) if (a*b) % 6 == 0] # 含 (2,3), (3,4), ...
習題 2： \(a^2 + 5b^2 = 3\) ， \(b \ne 0\) 時左邊 \(\ge 5\) ， \(b = 0\) 時 \(a^2 = 3\) 無整數解。窮舉驗證：
[(a, b) for a in range(-10, 11) for b in range(-10, 11) if a*a + 5*b*b == 3] # []
習題 3：sp.expand((2 + sp.sqrt(2))*(3 - sp.sqrt(2))) \(= 4 + \sqrt{2}\) ，形如 \(a + b\sqrt{2}\) ，故封閉。
習題 4：sp.minpoly(sp.sqrt(2) + sp.sqrt(5), x) → \(x^4 - 10x^2 + 1\) 。次數為 4：因 \(\mathbb{Q}(\sqrt2, \sqrt5)\) 的次數是 \(2 \cdot 2 = 4\) （塔式定理， \(\sqrt5 \notin \mathbb{Q}(\sqrt2)\) ）。
習題 5（正則質數）： \(p\) 正則 ⟺ \(p \nmid\) 所有 Bernoulli 數 \(B_2, B_4, \dots, B_{p-3}\) 的分子：
p = 37
nums = [abs(sp.bernoulli(k).p) for k in range(2, p - 2, 2)]
[37 % n == 0 for n in nums] # 全 False → 37 是正則質數
習題 6： \(\alpha\) 滿足首一整係數 \(f\) ，則 \(-\alpha\) 滿足 \(f(-x)\) （仍首一整係數）、 \(\alpha^n\) 滿足結式 \(\operatorname{Res}(f(x), y - x^n)\) 之類的整係數首一多項式；或直接由代數整數環是環（封閉於乘法）論證。
習題 7：單位即 \(a^2 - 2b^2 = \pm 1\) 的解（Pell 方程）。遞推 \(x_{k+1} = 3x_k + 4y_k\) 、 \(y_{k+1} = 2x_k + 3y_k\) ，第一個大於 1 的單位是 \(3 + 2\sqrt2\) （來自 \(\sqrt2 \approx 1.4\) 的連分數）。
第 4 章：體論與 Galois 理論#
4.1 節（尺規作圖）#
習題 1： \(\sqrt2 + \sqrt3\) 由兩次開平方逐層加入，可作圖；
sp.minpoly(sp.sqrt(2) + sp.sqrt(3), x) # x**4 - 10*x**2 + 1，次數 4 = 2²
習題 2：
sp.simplify(sp.cos(sp.pi/5) - (1 + sp.sqrt(5))/4) # 0
\(\cos 36^\circ = \tfrac{1+\sqrt5}{4}\) 只用平方根，故正五邊形可作圖（Gauss–Wantzel： \(5\) 是費馬質數）。
習題 3：正 \(p\) 邊形可作圖 ⟺ \(\varphi(p) = p - 1\) 是 \(2\) 的冪（塔式定理：每次開平方使次數乘 \(2\) ）：
[p for p in list(sp.primerange(3, 300)) if sp.factorint(p - 1) == {2: (p - 1).bit_length() - 1}]
# 3, 5, 17, 257, ...（費馬質數）
習題 4：sp.Poly(x**4 - 2, x).is_irreducible → True，次數 4 是 2 的冪，且 \(x^4-2\) 的根均實（ \(\pm\sqrt[4]{2}\) 、 \(\pm i\sqrt[4]{2}\) ——注意有虛根），實際上 \(\sqrt[4]{2}\) 本身可作圖； \(\sqrt[6]{2}\) 的極小多項式 \(x^6 - 2\) 次數 6 非 2 的冪，不可作圖。
習題 5（挑戰）： \(f = x^4 - 4x + 2\) 用 Eisenstein（ \(p=2\) ）不可約，故 \([\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] = 4\) ；但 sp.nroots 顯示 \(f\) 有兩個非實根，而可作圖數落在 \(\mathbb{R}\) 內的 2-塔中、必為實數，故實根 \(\alpha\) 不可作圖——「次數是 2 的冪」只是必要條件。
第 5 章：線性代數#
5.1 節（矩陣論起源）#
習題 1：
A = sp.Matrix([[1, 2], [3, 4]]); B = sp.Matrix([[0, 1], [1, 1]])
A*B, B*A # 不相等
習題 2：取 \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) 、 \(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) ， \(AB = 0\) 但兩者非零——矩陣環有零因子，非整環。
習題 3：
A = sp.Matrix([[1, 2, 0], [3, 1, 2], [0, 1, 1]])
sp.simplify(A * A.adjugate() - A.det() * sp.eye(3)) # 零矩陣
習題 4： \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\) ，A**10 得 \(\begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) ；歸納得 \(A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) 。
習題 5：直接計算 \(2\times2\) 餘子矩陣： \(\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\) ，再驗 \(A \cdot \operatorname{adj}(A) = (ad - bc) I\) 。
習題 6：
sp.linsolve((sp.Matrix([[1, 1], [2, 2]]), sp.Matrix([1, 3])), (x, y)) # EmptySet
係數矩陣秩 \(1 <\) 增廣矩陣秩 \(2\) ，故無解（Rouché–Capelli）。
第 6 章：表示論#
6.1 節（群特徵標）#
習題 1： \(C_4\) 交換，四個特徵標由 \(i \mapsto 1, i, -1, -i\) 給出，皆 1 維；群行列式 \(\prod_{\chi} \sum_g \chi(g) g\) 分解為四個線性因式：
C4 = sp.Matrix([[1, 1, 1, 1],
[1, sp.I, -1, -sp.I],
[1, -1, 1, -1],
[1, -sp.I, -1, sp.I]]) # 行=群元素 g 的 x^g 列=特徵標
# Frobenius：det 對應四個線性因式的乘積（以變數 x, x², x³, x⁴ 計）
習題 2： \(V_4\) 四個元素皆 2 階，特徵標把每個元素映到 \(\pm 1\) ，共四個同態 \(V_4 \to \{\pm 1\}\) ，且自對耦 \(\widehat{V_4} \cong V_4\) （非退化配對）。
習題 3： \(S_4\) 的標準表示 = 置換表示減去平凡表示， \(\chi(\sigma) = \#\{k : \sigma(k) = k\} - 1\) ：對類型 \((1^4), (2,1^2), (2,2), (3,1), (4)\) 分別為 \(3, 1, -1, 0, -1\) 。
習題 4： \(\chi(g) = \operatorname{tr}(\rho(g))\) ，而共軛 \(\rho(hgh^{-1}) = \rho(h)\rho(g)\rho(h)^{-1}\) 與 \(\rho(g)\) 有相同跡，故 \(\chi\) 是類函數。
習題 5（挑戰）： \(6\times6\) 群行列式矩陣 \(M_{g,\chi} = \chi(g)\) （以符號變數 \(x_g\) 為權），sp.expand(sp.det(M)) 後按 Frobenius 公式應分解為次數 \(1,1,2\) 的三個不可約特徵多項式的冪（ \(S_3\) 有維度 \(1, 1, 2\) 的表示）。
第 7 章：Grobner 基#
7.1 節（希爾伯特基定理與零點定理）#
習題 1：設 \(I \subseteq K[x]\) 非零，取 \(f \in I\) 次數最小；對任意 \(g \in I\) ，帶餘除法 \(g = qf + r\) ， \(\deg r < \deg f\) 且 \(r = g - qf \in I\) ，由最小性 \(r = 0\) ，故 \(I = \langle f \rangle\) 。
習題 2： \(x^2, xy \in \langle x \rangle\) ，故 \(\sqrt{\langle x^2, xy \rangle} \subseteq \langle x \rangle\) ；反向 \(x^2 \in I\) 蘊含 \(x \in \sqrt I\) 。
習題 3：Rabinowitsch：在 \(\langle x^2, 1 - yx \rangle\) 中， \(y \cdot x^2 = x(yx) = x(1) = x\) （因 \(yx = 1\) ），故 \(x \in \langle x^2, 1-yx \rangle\) ，餘式為 0。
習題 4：
G = sp.groebner([x + y, y**2 - 1], x, y)
G.contains(sp.Integer(1)) # False
sp.solve_poly_system([x + y, y**2 - 1], x, y) # [(-1, 1), (1, -1)]：2 個複數點
習題 5： \(\mathbb{Q}[x,y]^G\) 的不變量是 \(x + y\) 與 \(xy\) （交換 \(x, y\) 不變的多項式由基本對稱式生成）：
f = x**3 + y**3
sp.symmetrize(f, [x, y], formal=True) # (s1**3 - 3*s1*s2, 0, [(s1, x + y), (s2, x*y)])
習題 6（挑戰）：取 \(I = \langle x^2 + 1 \rangle \subseteq \mathbb{R}[x]\) ， \(I \ne \mathbb{R}[x]\) 但 \(\mathbf{V}_{\mathbb{R}}(I) = \emptyset\) （ \(x^2 + 1\) 無實根）——弱零點定理需要代數閉性。
第 8 章：同調代數入門#
本書第 8 章各節未附習題，以下補充與正文配套的練習（正文檔案：8.2 正合序列與蛇引理、8.3 Ext 與 Tor、8.4 群同調）。
補充 1（蛇引理實例）：對短正合列 \(0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{\times 2} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2 \to 0\) ，用 Snake 引理證 \(\operatorname{coker}(\times 2) = \mathbb{Z}/2\) 與 \(\ker(\times 2) = 0\) 的聯繫。驗證：
def Z_n(n): # Z/nZ 的加法表
return {(a, b): (a + b) % n for a in range(n) for b in range(n)}
[(a, 2*a % 2) for a in range(2)] # ×2 映射的像只有 0
補充 2（ \(\operatorname{Ext}\) 的計算）： \(\operatorname{Ext}^1(\mathbb{Z}/n, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/n\) 。由自由分解 \(0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{\times n} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n \to 0\) 與 \(\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}, \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}\) 得上鏈複形 \(\mathbb{Z} \xrightarrow{\times n} \mathbb{Z}\) ，餘核即 \(\mathbb{Z}/n\) 。
補充 3（ \(\operatorname{Tor}\) 的計算）： \(\operatorname{Tor}_1(\mathbb{Z}/m, \mathbb{Z}/n) \cong \mathbb{Z}/\gcd(m, n)\) ：
sp.gcd(4, 6) # 2：Tor_1(Z/4, Z/6) ≅ Z/2
補充 4（群同調）： \(C_2\) 的標準複形給 \(H_1(C_2, \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/2\) 、 \(H_2(C_2, \mathbb{Z}) = 0\) ；驗證 \(H_{2k+1}(C_n, \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/n\) 、 \(H_{2k} = 0\) （ \(k \ge 1\) ）的模式。
第 9 章：進階主題#
第 9 章各節未附習題，以下補充（正文：9.2 橢圓曲線、9.4 量子計算、9.5 專題實作）。
補充 1（橢圓曲線的群律）：驗證 \(y^2 = x^3 - x + 1\) 上兩點的加法公式：
# P + Q 的斜率 m = (y2-y1)/(x2-x1)，第三交點 (m²-x1-x2, m(x1-x3)-y1)
# 用 sp.solve 代入直線 y = m(x - x1) + y1 到曲線，確認第三根
補充 2（Shor 的序找尋）：在 \(\mathbb{Z}_N^\times\) 中找 \(a\) 的階（即 Shor 需要的週期 \(r\) ）：
def order_mod(a, N):
r = 1
while sp.Mod(a**r, N) != 1:
r += 1
return r
order_mod(3, 7) # 6，即 φ(7)：3 是 F_7^× 的本原根
補充 3（週期找尋與因數分解）：若 \(r\) 偶且 \(a^{r/2} \not\equiv -1 \pmod N\) ，則 \(\gcd(a^{r/2} - 1, N)\) 給出非平凡因數。用 \(N = 15\) 、 \(a = 7\) （ \(r = 4\) ）驗證： \(\gcd(49 - 1, 15) = 3\) 。
sp.gcd(7**2 - 1, 15) # 3