用 sympy 學分析學#

從牛頓與萊布尼茲的微積分，到勒貝格積分與傅立葉分析： 一本以 SymPy 為工具、以「嚴格化」為主軸的現代分析學教科書。

每一節都會：先交代歷史與問題的來龍去脈 → 推導嚴格的定義 → 用 SymPy 讓符號運算代替手算 → 指出下一個問題從哪裡來。

• 第1章-微積分的誕生：從窮竭法到極限
  • 1.1-阿基米德窮竭法與方法學的確立（公元前 250 年）
  • 1.2-牛頓與萊布尼茲各自發明微積分（1665 / 1684 年）
  • 1.3-SymPy 的極限語言：limit、seq、series 的第一課
• 第2章-極限的嚴格化：柯西、魏爾斯特拉斯與 ε-δ
  • 2.1-柯西把極限寫成不等式（1821 年）
  • 2.2-魏爾斯特拉斯的 ε-δ 演算術（1872 年）
  • 2.3-用 SymPy 驗證極限定理：夾擠、單調、有界
• 第3章-導數：切線、瞬時變化與微分
  • 3.1-費馬的極值法與切線問題（1629 年）
  • 3.2-萊布尼茲的微分記號與導數運算法則（1675 年）
  • 3.3-用 SymPy 微分：從導數定義到差分近似
• 第4章-積分：面積、體積與微積分基本定理
  • 4.1-阿基米德的面積法與卡瓦列里原理（公元前 250 / 17 世紀）
  • 4.2-牛頓-萊布尼茲定理與微積分基本定理（1666 年）
  • 4.3-用 SymPy 積分：不定積分與基本定理的符號驗證
• 第5章-中值定理與泰勒級數
  • 5.1-拉格朗日中值定理與達朗貝爾引理（1787 年）
  • 5.2-泰勒定理與歐拉、麥克勞林、萊布尼茲（1715 年）
  • 5.3-用 SymPy 展開級數並估計餘項
• 第6章-無窮級數與收斂判別
  • 6.1-數列、級數與收斂的觀念（17 至 18 世紀）
  • 6.2-判別法大全：比較、比值、根式、萊布尼茲、交錯級數
  • 6.3-用 SymPy 做級數判定與符號求和
• 第7章-多變量微積分
  • 7.1-偏導數、全微分與方向導數（19 世紀）
  • 7.2-重積分與雅可比變換（1750 至 1850 年）
  • 7.3-用 SymPy 做偏導數、重積分與座標變換
• 第8章-向量分析與場論
  • 8.1-梯度、散度、旋度從何而來（19 世紀）
  • 8.2-格林、斯托克斯與高斯積分定理
  • 8.3-用 SymPy 做向量微積分與保守場判定
• 第9章-偏微分方程
  • 9.1-熱方程與波方程：物理如何逼出數學（1807 / 1822 年）
  • 9.2-拉普拉斯方程與勢論（1843 年）
  • 9.3-用 SymPy 解 PDE：dsolve 與 pdsolve
• 第10章-複變數分析
  • 10.1-複數、高斯平面與兩維微積分（1831 年）
  • 10.2-科西積分定理與留數定理（1831 年）
  • 10.3-用 SymPy 做複變數：留數、展開與圍線積分
• 第11章-傅立葉分析
  • 11.1-傅立葉級數與熱傳導問題（1822 年）
  • 11.2-卷積、傅立葉變換與拉普拉斯變換（1850 至 1900 年）
  • 11.3-用 SymPy 做傅立葉級數與變換
• 第12章-實變論：測度、勒貝格積分與逼近論
  • 12.1-勒貝格測度與積分（1901 年）
  • 12.2-黎曼-羅朗定理、範數與函數空間（1906 年）
  • 12.3-用 SymPy 驗證極限與求和的交換
• 第13章-分析學的現代延伸
  • 13.1-變分法、梯度下降與最佳化（1845 年）
  • 13.2-數值分析的誤差理論與計算機時代的微積分
  • 13.3-用 SymPy 做符號最佳化與自動微分
  • 13.4-總結：從窮竭法到自動微分